音級乘法技術原理中音組含數的循環排列方法

肖友明

四川文化藝術學院音樂舞蹈學院

從勛伯格的十二音序列到布列茲、巴比特的全面序列；從僅為避開調性因素的簡易十二音矩陣到運用數學方法使其發展成巨大音高材料庫的音級乘法技術體系，整個二十世紀用十二音序列寫作的作曲家不勝枚舉，雖然都是以十二音序列為寫作方法，但對序列的處理卻大相徑庭，其整個發展過程是趨于復雜化和高度技術化的。

音級乘法技術是布列茲在20世紀50年代創作《無主之槌》這部作品首次使用到的作曲技術方法，它是作曲家在音高材料領域的突破和創新。這一技術理論是布列茲運用數學原理將序列的內部結構進行無限延伸處理的一種創作手法，它通過改變序列原型內部的結構，將它以不同的方式進行拆分和重組，由此而派生出新的音高素材，這是布列茲音級乘法技術理論的基本原理。

一、音級乘法技術的概念

音級乘法技術（Pitch-class Multiplication）是將一個序列原型（prototype sequence）劃分成若干個音級組（frequency groups），而音級組的產生又是以序列原型中各音級之間的音程級（interval class）為依據，每一個音級組包含若干個音級，其中包含的音級個數稱其為音組含數（tone number），再將這些音組含數進行循環排列，產生出多個排列形式，所有的排列形式中的音組兩兩相乘派生出更為豐富的音高素材的技術方法。

譜例1《無主之槌》的十二音序列原型（prototype sequence）

上例是作品《無主之槌》的十二音序列原型，在這個序列中兩音之間所包含的音程級有1、2、3、4四種，這就構成了音組拆分的依據，它們一一對應拆分后音組中所包含的音級數量，我們將這種音組中包含的音級數量稱為音組含數（tone number），記為（tn）。

二、音組含數循環排列的基本原理

我們將序列原型拆分后按照一個對稱中心和對稱數字的排列原則所產生的任意一種音組含數的排列形式稱為原始序列（original sequence），記為（os）。那么，所謂音組含數的循環排列（cyclic order，記為co），是指將原始序列按照上述方法拆分后，為了得到更多的分組排列的形式，而將原始序列的音組含數進行循環排序，從而產生出更加豐富的排列方式，可以依次標記為：co1、co2…coN，讀作：循環排列Ⅰ、循環排列Ⅱ…循環排列N。

三、序列[Sm（tn2），asd5]—af（tn1min）的循環排列

下面我們將Ag[Sm（tn2），asd5]—af（tn1），即對稱中心為Sm（tn2），對稱數字為asd5的排列af（tn1）——tn1/tn2/tn2/tn3/tn4進行循環排列。

圖表1 原始序列Ag[Sm（tn2），asd5]—af（tn1）的循環排列

圖表中，第一行是原始序列Ag[Sm（tn2），asd5]—af（tn1）音組含數的排列情況，其后每一行都依次分別將原始序列中的音組含數作為每一行開始的第一個音組含數，即第二行是以原始序列的第二個音組含數tn2開始，第三行是以原始序列的第三個音組含數tn2開始，第四行第五行依此類推。而后是依次從第一個音組含數開始向后面進行循環，所以第二行就得從原始序列第二個音組含數tn2開始進行循環排列依次是tn2、tn2、tn3、tn4、tn1，第三行依次是tn2、tn3、tn4、tn1、tn2，第四行依次是tn3、tn4、tn1、tn2、tn2，第 五 行 依 次 是tn4、tn1、tn2、tn2、tn3。由此，由五個音組含數組成的原始序列就可以得到四個循環排列，那么我們可以假定，如果設原始序列音組含數的個數為n的話，那么循環排列的個數就應為（n-1）個。

上例中，第二行至五行就是原始序列Ag[Sm（tn2），asd5]—af（tn1）的循環排列，依次標記為：co1、co2、co3、co4。這種循環排列是依次將原始序列中的音組含數分別作為循環排列開頭的一個音組含數再將其進行循環，它近似于將原始序列音組含數進行移位。同時我們還會觀察到，第一行與第一列音組含數相同，第二行與第二列的音組含數也是相同的，同理，第三行與第三列，第四行與第四列，第五行與第五列的音組含數也分別是相同的，并且任意一個橫列與任意一個縱列的音組含數相加都等于12。

下面我們將原始序列Ag[Sm（tn2），asd5]—af（tn1）產生出的循環排列進行整理依次是：第一循環排列（co1）的音組含數分別為（tn2/tn2/tn3/tn4/tn1），第二循環排列（co2）的音組含數分別為（tn2/tn3/tn4/tn1/tn2），第三循環排列（co3）的音組含數分別為（tn3/tn4/tn1/tn2/tn2），第四循環排列（co4）的音組含數分別為（tn4/tn1/tn2/tn2/tn3）。

四、序列Ag[Sm（tn4），asd4]—af（tn1）的循環排列

以下是將原始序列Ag[Sm（tn4），asd4]—af（tn1），即tn1/tn2/tn4/tn2/tn3按照以上排列原則進行的循環排列。

圖表2 排列Ag[Sm（tn4），asd4]—af（tn1）的原始序列以及循環排列

Sm(tn2) tn co asd5音組含數（tn）o s tn1 tn2 tn4 tn2 tn3 co1 tn2 tn4 tn2 tn3 tn1 co2 tn4 tn2 tn3 tn1 tn2 co3 tn2 tn3 tn1 tn2 tn4 co4 tn3 tn1 tn2 tn4 tn2

如上圖所示，每一個原始序列可以產生四種循環排列，那么，對稱中心為Sm（tn2），對稱數字為asd5的原始序列共有8個，加上原始序列本身，就產生了5×8=40種新的排列方式，再加上對稱中心為Sm（tn4），對稱數字為asd4的原始序列共有4個，就產生5×4=20種新的排列方式，由此得出這一個十二音序列的序列原型就產生60種不同的音組含數的排列方式。

五、結語

布列茲是20世紀西方音樂發展歷程上一位非常重要的人物。作為先鋒派作曲家最重要的代表之一，其音樂作品結合了嚴密的數學構思與自由的主觀個性，甚至狂暴的情感表達，但他制訂音樂規則時數學般的嚴格給了這些狂暴情感以必要的補償，體現出思想的極其集中和技法運用上的極大自由。同時，他的作品在呈現韋伯恩式的高度組織化明晰織體的同時，又充分表現出德彪西式的精致敏銳的強烈色彩感，因此，他也被人們稱為“德彪西式的韋伯恩”或“抽象的印象主義”。 作為一位作曲家，他在五十年的光陰里書寫了音樂史的嶄新篇章，并以代表作品《無主之槌》樹立了自己的先鋒地位。

布列茲熱衷于現代音樂的創作和實驗，是當代先鋒派作曲家中的佼佼者。他筆下的音樂，能夠使人感受到一種從文雅抒情擴展到狂暴席卷的情感歷程，這種音樂絕不會讓人們懷疑音樂的任何表現力和可能性。他的創作大膽而激進，狂熱而不失秩序，他將理性思維與音樂表現完美地結合在一起。上世紀40年代末到50年代中期，是布列茲創作思想發生重大變化和藝術上逐漸成熟的時期，他從學生時代起就是“新維也納樂派”的積極追隨者，但他并不滿足勛伯格傳統十二音技法對音高的簡易控制，他的理想則是建立一個更全面而合理地組織音響材料的結構體系。在這樣的背景下，其運用數學原理將序列的內部結構進行無限延伸處理的一種技術方法——“音級乘法”就應運而生了。

音級乘法作曲技術理論作為布列茲音樂語言構成的重要手段，對于其作品風格的形成，起到不可估量的重要作用。在他上個世紀五、六十年代的部分作品中，不管是在旋律方面還是在和聲方面，音級乘法技術都是用以組織音高秩序的主要手段。在音樂作品中具體的音高材料的使用方面，作曲家用自己十分獨特而富有個性化的思維，通過對音高材料嚴密的邏輯組織，使這一理論體系極具個性和美感，在其創作中呈現出豐富的音響效果，且極富特異性。可以說，它所呈現出來的獨具一格的特性和規律，是他富于高度個性化色彩的重要因素。

注釋：

1.`Boulez on music today` Pierre Boulez, by Faber and Faber London,1971.