局部減薄管道極限彎矩計(jì)算新公式

李祚成，李思源，許 可

（1.機(jī)械工業(yè)上海藍(lán)亞石化設(shè)備檢測(cè)所有限公司，上海 201518；2.蘭州石油機(jī)械研究所有限公司，甘肅 蘭州 730050；3.中石油 云南石化有限公司，云南 昆明 650300）

壓力管道，特別是海底管道，由于使用環(huán)境復(fù)雜、管道承受的載荷復(fù)雜、管道的應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜，因此管道剩余強(qiáng)度的評(píng)估也是一個(gè)復(fù)雜的課題。近半個(gè)世紀(jì)以來，國際上對(duì)管道剩余強(qiáng)度評(píng)估開展了許多的硏究工作，其中Bouwkamp J G等[1]和Sherman D R[2]對(duì)無缺陷管道在聯(lián)合載荷下的極限承載力進(jìn)行了大量的數(shù)值分析和實(shí)驗(yàn)硏究?；谒苄允Ю碚?，釆用理想彈塑性本構(gòu)模型，Mohareb M等[3-8]提出了無缺陷管道在內(nèi)壓、軸向力和彎矩聯(lián)合載荷下的極限承載力解析解，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，得出該簡化方法能很好地預(yù)測(cè)管道極限承載力。之后Bai Y等[9-12]將這部分工作擴(kuò)展到了腐蝕管道，將管道腐蝕形狀簡化為減薄深度在環(huán)向不發(fā)生變化，分別針對(duì)4種不同工況的等深減薄管道提出了極限彎矩計(jì)算方法。該方法已經(jīng)被ABS的 《Guide for Building and Classing Subsea Pipeline System》[13]采用，用于評(píng)估腐蝕海底管道剩余強(qiáng)度。文獻(xiàn)[14-15]也釆用Hill屈服準(zhǔn)則，推導(dǎo)了不規(guī)則腐蝕缺陷管道在內(nèi)壓、軸向力和彎矩聯(lián)合作用下極限承載力的廣義計(jì)算公式。但筆者認(rèn)為，文獻(xiàn)[9-15]中提出的當(dāng)管道進(jìn)入全塑性狀態(tài)時(shí)，管道橫截面壓應(yīng)力極限值 σcomp（或 σc）和拉應(yīng)力極限值 σtens（或σt）的計(jì)算式值得進(jìn)一步探討。

本文針對(duì)承受內(nèi)壓p、軸向力F和彎矩M聯(lián)合作用的局部減薄管道，應(yīng)用屈服準(zhǔn)則，給出了管道橫截面彎曲壓縮側(cè)應(yīng)力極限值和彎曲拉伸側(cè)應(yīng)力極限值的計(jì)算式，導(dǎo)出了內(nèi)壓p和軸向力F必須滿足的條件。并釆用理想彈塑性本構(gòu)模型，推導(dǎo)了含等深減薄管道在聯(lián)合載荷作用下極限彎矩計(jì)算的新公式，證明了文獻(xiàn)[9-15]中極限彎矩計(jì)算式的理論依據(jù)不充分。

1 局部減薄管道極限彎矩計(jì)算基本理論

1.1 基本假定和簡化

（1）不考慮管道鋼材應(yīng)變強(qiáng)化作用，釆用理想彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系。

（2）在管道達(dá)到全塑性狀態(tài)前，管道的橫截面形狀不發(fā)生改變。

（3）在管道達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)，塑性中性軸將管道橫截面分為彎曲壓縮和彎曲拉伸2個(gè)區(qū)域，管道截面達(dá)到相應(yīng)的全塑性狀態(tài)。

1.2 局部減薄管道屈服準(zhǔn)則

設(shè)管道的外半徑為Ro，管壁厚度為t，平均半徑 Rm=Ro-t/2，管道內(nèi)壁存在深度為 d、環(huán)向截面夾角為2β的等深減薄缺陷 （圖1），其軸向長度很長。

圖1 含等深減薄管道橫截面幾何尺寸示圖

對(duì)于各向異性材料的管道，在內(nèi)壓p、軸向力F和彎矩M聯(lián)合作用下發(fā)生屈服時(shí)，釆用Hill屈服準(zhǔn)則可以得到：

式中，σz為管道軸向應(yīng)力，σθ為管道環(huán)向應(yīng)力，σzl為管道材料軸向屈服應(yīng)力，σθl為管道材料環(huán)向屈服應(yīng)力，MPa；α為各向異性系數(shù)，一般取α=σθl/（2σzl）[14]。

求解式（1）得到管道軸向應(yīng)力σz的解：

1.3 管道屈服的軸向極限應(yīng)力

在內(nèi)壓p、軸向力F和彎矩M聯(lián)合作用下，含等深減薄管道的環(huán)向應(yīng)力σθ由內(nèi)壓p、且只由內(nèi)壓p產(chǎn)生，內(nèi)壓p對(duì)該管道產(chǎn)生的軸向力Fp為軸向力F的組成部分。管道的軸向應(yīng)力σz只由軸向力F和彎矩M產(chǎn)生。

1.3.1 等深減薄部位

在管道減薄深度為d的部位，管道的環(huán)向應(yīng)力σθd由內(nèi)壓p產(chǎn)生，且近似為：

當(dāng)管道減薄深度為d的部位處于彎曲壓縮側(cè)時(shí)，將式（4）代入式（3），得到該部位屈服的軸向應(yīng)力極限值σcd：

當(dāng)管道減薄深度為d的部位處于彎曲拉伸側(cè)時(shí)，將式（4）代入式（2），得到該部位屈服的軸向應(yīng)力極限值σtd：

1.3.2 未減薄部位

在管道未減薄部位，管道的環(huán)向應(yīng)力σθ0由內(nèi)壓p產(chǎn)生，且近似為：

當(dāng)管道未減薄部位處于彎曲壓縮側(cè)時(shí)，將式（7）代入式（3），得到該部位屈服的軸向應(yīng)力極限值 σc：

當(dāng)管道未減薄部位處于彎曲拉伸側(cè)時(shí)，將式（7）代入式（2），得到該部位屈服的軸向應(yīng)力極限值 σt：

1.3.3 極限應(yīng)力不等式

當(dāng)管道內(nèi)壓p＞0，管道等深減薄深度d＞0時(shí)，極限應(yīng)力σcd和σc滿足不等式：

下面對(duì)式（10）進(jìn)行證明。 由式（4）和式（7）可以得到：

計(jì)及式（11），則有 v0-vd=(1-α2)(σθd-σθ0)×(σθd+σθ0)/σθl2＞0，因此有：

根據(jù)式（11）和式（14），由式（5）和式（8）可以得到：

由此可以證明式（10）成立。

2 等深減薄管道極限彎矩計(jì)算

2.1 等深減薄管道承載彎矩的條件

含等深減薄管道橫截面的面積 S（d，β）用式（16）計(jì)算：

管道在內(nèi)壓p和軸向力F聯(lián)合作用下，管道的軸向應(yīng)力σz近似為：

其中內(nèi)壓p產(chǎn)生的軸向載荷包含在軸向力F當(dāng)中。

含等深減薄管道在內(nèi)壓p和軸向力F聯(lián)合作用下，用式（4）計(jì)算減薄區(qū)的環(huán)向應(yīng)力 σθd，用式（7）計(jì)算未減薄區(qū)的環(huán)向應(yīng)力 σθ0，用式（18）計(jì)算Fl。該管道承載彎矩的條件是 σθd、σθ0和 F同時(shí)滿足以下不等式：

對(duì)式（19）進(jìn)行證明。等深減薄管道在內(nèi)壓p和軸向力F聯(lián)合作用下，管道產(chǎn)生的軸向應(yīng)力σz可用式（17）近似計(jì)算，再應(yīng)用式（18）得到：

亞行預(yù)計(jì)，氣候變暖在經(jīng)濟(jì)方面將帶來負(fù)面影響。東南亞等國家如不及時(shí)采取措施，到本世紀(jì)末，氣候變化每年給相關(guān)國家?guī)淼慕?jīng)濟(jì)損失將超過GDP的5%以上，全球的GDP將下降2.8%，印度尼西亞、菲律賓將下降6.7%，比全球平均數(shù)高得多。相反，到2020年，若東南亞等國家增強(qiáng)應(yīng)對(duì)全球氣候變化措施，增強(qiáng)能力建設(shè)，相應(yīng)地投入一些成本，那么獲得的利潤比投入的成本要高得多。

管道減薄區(qū)產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)力σθ=σθd，應(yīng)用式（20）有：

再利用式（19）中的第1式，得到在管道的等深減薄區(qū)都滿足：

管道未減薄區(qū)產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)力σθ=σθ0，應(yīng)用式（20）得到：

再利用式（19）中的第 2式，得到式（21）在管道的未減薄區(qū)也成立。

因此，等深減薄管道在內(nèi)壓p和軸向力F聯(lián)合作用下沒有屈服，該管道還可以承載一定的彎矩載荷。

2.2 等深減薄管道極限彎矩計(jì)算新公式

2.2.1 計(jì)算工況

根據(jù)承載彎矩的條件，計(jì)算等深減薄管道在內(nèi)壓p、軸向力F和彎矩聯(lián)合作用下的極限彎矩時(shí)，由內(nèi)壓p產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)力σθd、σθ0和軸向力F必須同時(shí)滿足式（19）。又設(shè)管道橫截面彎曲的塑性中性軸夾角為ψ，考慮塑性中性軸位置，可按圖2所示的4種工況計(jì)算管道的極限彎矩。其中工況1的β＜ψ1，減薄區(qū)全部在彎曲壓縮區(qū)；工況2的β＞ψ2，減薄區(qū)部分在彎曲壓縮區(qū)，部分在彎曲拉伸區(qū)；工況3的β＜ψ3，減薄區(qū)全部在彎曲拉伸區(qū)；工況4的β＞ψ4，減薄區(qū)部分在彎曲拉伸區(qū)，部分在彎曲壓縮區(qū)。在工況1和工況2中，塑性中性軸下方為彎曲壓縮區(qū)；在工況3和工況4中，塑性中性軸下方為彎曲拉伸區(qū)。

圖2 含等深減薄管道4種極限彎矩計(jì)算工況

工況1下等深減薄管道橫截面理想應(yīng)力分布見圖 3。

當(dāng)管道在內(nèi)壓p和軸向力F作用下，再逐步施加彎矩載荷，使該管道橫截面每一處的應(yīng)力（σz，σθ）逐步達(dá)到屈服條件（式（1））。 根據(jù)基本假定，釆用理想彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系，且不考慮應(yīng)變強(qiáng)化作用，彎曲載荷使管道橫截面在彎曲的塑性中性軸兩側(cè)逐步達(dá)到屈服極限狀態(tài)，最后使橫截面達(dá)到全塑性狀態(tài)。又由于工況1的管道減薄區(qū)全部在彎曲壓縮側(cè)，因此塑性中性軸在截面未減薄區(qū)，且工況1中的塑性中性軸和截面減薄段兩端點(diǎn)的連線將該橫截面劃分為3個(gè)極限屈服應(yīng)力區(qū)，即圖3中的Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)和Ⅲ區(qū)。等深減薄管道在4種工況中的參量見表1。

表1 等深減薄管道在4種工況中的參量

圖3 工況1下等深減薄管道橫截面理想應(yīng)力分布

在工況1下，軸向力F可近似表示為：

Acd1、Ac1和At1分別為圖3中Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)和Ⅲ區(qū)對(duì)應(yīng)的面積，且 Acd1=2βk1Rmt、Ac1=2(ψ1-β)Rmt、At1=2(π-ψ1)Rmt，k1按下式計(jì)算：

將 Acd1、Ac1和 At1的計(jì)算式代入式 （22），得到塑性中性軸夾角ψ1的計(jì)算式：

當(dāng)式（24）的計(jì)算值 ψ1＞β 時(shí)，減薄管道的極限彎矩 M1（p，F(xiàn)）可表示為：

將 ycd1、yc1、yt1計(jì) 算 式 和 相 關(guān) 各 式 代 入 式（25），得到工況1下減薄管道的極限彎矩M1（p，F(xiàn)）計(jì)算式：

2.2.3 工況2計(jì)算公式

在工況2下，當(dāng)管道達(dá)到全塑性狀態(tài)時(shí)，軸向力F可近似表示為：

Acd2、Atd2和At2分別為對(duì)應(yīng)極限屈服應(yīng)力區(qū)域的面積， 且有 Acd2=2k1ψ2Rmt、Atd2=2k1(β-ψ2)×Rmt、At2=2(π- β)Rmt。將 Acd2、Atd2和 At2的計(jì)算式代入式（28），得到塑性中性軸夾角ψ2的計(jì)算式如下：

當(dāng)式（29）的計(jì)算值 ψ2＜β 時(shí)，減薄管道的極限彎矩 M2（p，F(xiàn)）可表示為：

在工況 2下，管道的極限彎矩 M2（p，F(xiàn)）計(jì)算式為：

2.2.4 工況3計(jì)算公式

工況3下，塑性中性軸夾角ψ3計(jì)算式為：

管道的極限彎矩 M3（p，F(xiàn)）計(jì)算式為：

2.2.5 工況4計(jì)算公式

工況4下，塑性中性軸夾角ψ4計(jì)算式為：

管道的極限彎矩 M4（p，F(xiàn)）計(jì)算式為：

3 幾種局部減薄管道極限彎矩計(jì)算式討論

3.1 文獻(xiàn)[9-13]

上述建立的局部等深減薄管道極限彎矩計(jì)算新公式與文獻(xiàn)[9-12]中推導(dǎo)的計(jì)算式有很大差別。以文獻(xiàn)[9]為例，設(shè)σy為管材的屈服強(qiáng)度，Mises屈服準(zhǔn)則為：

由Mises屈服準(zhǔn)則導(dǎo)出了管道橫截面軸向壓應(yīng)力極限值σcomp和軸向拉應(yīng)力極限值σtenr，即為文獻(xiàn)[9] 中的式（3）和式（4）：

式（39）可參見文獻(xiàn)[9]中的式（5）。 可以看出，當(dāng) p＞0時(shí)，由式（39）確定的環(huán)向應(yīng)力 σθ等于管道等深減薄區(qū)內(nèi)由內(nèi)壓p產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)力 （式（4））。 因此由式（37）、式（38）確定的應(yīng)力值 σcomp、σtenr在管道的等深減薄區(qū)滿足式 （36）的Mises屈服準(zhǔn)則。但是管道未減薄區(qū)內(nèi)由內(nèi)壓p產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)力（式（7））不同于式（39）計(jì)算結(jié)果。因此，用式（39）的 σθ計(jì)算的 σcomp、σtenr在管道未減薄區(qū)域就不一定滿足Mises屈服準(zhǔn)則。這樣，文獻(xiàn)[9]中式（5）之后推導(dǎo)的管道極限彎矩計(jì)算式的理論依據(jù)就不夠充分。只有當(dāng)p=0時(shí)，則σθ=0、σcomp=-σy、σtenr=σy，文獻(xiàn)[9]中推導(dǎo)的管道極限彎矩計(jì)算式才成立。

文獻(xiàn)[10-12]中也存在類似于文獻(xiàn)[9]的問題。文獻(xiàn)[13]第109頁最大允許彎矩Mall的計(jì)算式是采用文獻(xiàn)[11]的彎矩計(jì)算式，因此該計(jì)算式也值得商榷。

3.2 文獻(xiàn)[14-15]

文獻(xiàn)[14-15]釆用Hill屈服準(zhǔn)則硏究腐蝕管道極限承載力，由式（1）得到式（2），當(dāng)管道進(jìn)入全塑性狀態(tài)時(shí)，管道橫截面軸向壓應(yīng)力極限值σc和軸向拉應(yīng)力極限值σt為：

為了計(jì)算方便，也可以表示為：

式中，pL為無缺陷管道的極限內(nèi)壓，并且有pL=σθlt/Rm。

文獻(xiàn) [14-15] 中對(duì)式 （40） 和式 （41）取σθ=pRm/t，又計(jì)及 pL=σθlt/Rm，就得到了式（42）和式（43），即文獻(xiàn)[14-15]中的計(jì)算式（5）和式（6）。因此，式（42）和式（43）在管道未腐蝕區(qū)域滿足Hill屈服準(zhǔn)則。但在腐蝕區(qū)域內(nèi)，其剩余壁厚tθ＜t，因此管壁tθ處由內(nèi)壓 p產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)力 σθ一般都有 σθ＞pRm/t，式（42）和式（43）計(jì)算的 σc、σt在腐蝕區(qū)就不一定滿足Hill屈服準(zhǔn)則。這樣文獻(xiàn)[14-15]中式（5）和式（6）之后推導(dǎo)的管道極限彎矩計(jì)算式的理論依據(jù)就不充分。只有當(dāng)p=0時(shí)，則 σθ=0、σc=-σzl、σt=σzl，文獻(xiàn)[14-15]中推導(dǎo)的管道極限彎矩計(jì)算式才成立。

4 不同方法計(jì)算管道極限彎矩案例分析

4.1 計(jì)算案例

設(shè)管道的平均半徑Rm=500 mm，管壁厚t=20 mm。管道鋼管軸向和環(huán)向極限應(yīng)力σzl=σθl=500 MPa，各向異性系數(shù)α=0.5。設(shè)管道橫截面內(nèi)壁等深減薄深度 d=10 mm，環(huán)向減薄夾角 2β=π（圖 1），其軸向長度很長。減薄區(qū)位于管道彎曲壓縮側(cè)。

該管道承受載荷為內(nèi)壓p和軸向力F（F值中已包括內(nèi)壓p產(chǎn)生的軸向力），其載荷1的p=10 MPa、F=23 000 kN， 載 荷 2 的 p=10 MPa、F=500 kN，載荷 3 的 p=7 MPa、F=-10 000 kN。采用3種方法計(jì)算管道在載荷1下的極限彎矩。

4.2 計(jì)算方法

4.2.1 本文方法

在管道減薄部位，應(yīng)用式 （4）得到由內(nèi)壓p=10 MPa產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)力 σθd=505 MPa，由式（5）和式 （6）得到管道減薄區(qū)的軸向應(yīng)力極限值σcd=10.15 MPa、σtd=494.85 MPa。

在管道未減薄部位，應(yīng)用式 （7）得到內(nèi)壓p=10 MPa產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)力 σθ0=250 MPa，由式（8）和式 （9）得到管道減薄區(qū)的軸向應(yīng)力極限值σc=-325.69 MPa、σt=575.69 MPa。

由式（16）和式（18）得 Fl=23 640.5 kN。 因此，F(xiàn)=23 000 kN、σθd=505 MPa 和 σθ0=250 MPa 滿足管道承載彎矩的條件，即式（19）。

由式（23）和式（27）得 k1=0.505、k2=0.510，由式（29）得塑性中性軸夾角 ψ=0.599 9＜β，最后由工況2的式 （31）計(jì)算得到管道在載荷1下的極限彎矩為4 628.6 kN·m。

4.2.2 文獻(xiàn)[9]方法

用文獻(xiàn)[9]中式（5）計(jì)算得到 σθd=505 MPa，用文獻(xiàn)[9]中式（29）算得 k3=0.505、ψ=0.080 9＜β。再由文獻(xiàn)[9]工況2中的式（28）計(jì)算得到管道在載荷1下的極限彎矩為2 624.6 kN·m。

4.2.3 文獻(xiàn)[15]方法

文獻(xiàn)[15]中表1工況2的計(jì)算公式為：

將 k1=0.505、k2=0.510、σc=-325.69 MPa、σt=575.69 MPa帶入上述公式得到ψ=0.463 3＜β，管道在載荷1下的極限彎矩為4 875.9 kN·m。

4.3 結(jié)果分析

同理，采用3種方法計(jì)算案例管道在載荷2、載荷3下的極限彎矩，結(jié)果見表2。

表2 3種方法計(jì)算的案例管道極限彎矩值

分析比較表2中的管道極限彎矩?cái)?shù)值可知，①在p＞0的每一種載荷下，文獻(xiàn)[9]方法得到的計(jì)算值均最小，文獻(xiàn)[15]方法得到的計(jì)算值均最大，本文方法得到的計(jì)算值居中。且文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[15]方法得到的極限彎矩計(jì)算值相差都很大。②對(duì)比文獻(xiàn)[15]方法和本文方法計(jì)算的管道極限彎矩值，在載荷1下比較接近，而在載荷2、載荷3下相差很大。文獻(xiàn)[9]方法計(jì)算的極限彎矩值比本文方法得到的計(jì)算值都小得多。③當(dāng)p＞0時(shí)，用文獻(xiàn)[9]方法計(jì)算的管道極限彎矩值一般偏保守，甚至出現(xiàn)異常結(jié)果。用文獻(xiàn)[15]方法計(jì)算的管道極限彎矩值可能很不安全。

5 結(jié)語

對(duì)在內(nèi)壓p、軸向力F和彎矩M聯(lián)合作用下的局部減薄管道，存在極限彎矩的條件是，由內(nèi)壓p產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)力σθd、σθ0和軸向力F同時(shí)滿足式（19）。應(yīng)用屈服準(zhǔn)則和理想彈塑性本構(gòu)模型，分4種工況建立了內(nèi)壓、軸向力和彎矩聯(lián)合作用下局部等深減薄管道極限彎矩計(jì)算的新公式。筆者認(rèn)為，文獻(xiàn)[9-12]中定義的環(huán)向應(yīng)力在管道未減薄區(qū)不一定滿足屈服準(zhǔn)則，文獻(xiàn)[14-15]釆用的環(huán)向應(yīng)力σθ=pRm/t在管道腐蝕區(qū)不一定滿足屈服準(zhǔn)則。因此，文獻(xiàn)[9-15]中所推導(dǎo)的極限彎矩計(jì)算式的理論依據(jù)不充分。