時滯依賴狀態的隨機脈沖隨機集值微分方程解的存在性

李文勝

(西安航空學院 理學院，西安 710077)

近些年來，時滯依賴狀態的微分方程或包含理論得到了許多專家學者的關注，取得了一些重要成果[1-3]，最近幾年，有關隨機多值微分系統解的存在性和可控性理論也相繼建立[4-6]。

本文主要考慮一類時滯依賴狀態的隨機脈沖隨機集值微分方程解的存在性：

y0=φ

(2)

y(ξk)=bk(τk)y(ξk)，i=1,2,…,n

(3)

1 預備知識

定義1.4 若以下三個條件成立：

(a) 當0≤s≤r≤t≤a時， 有(t,s)→U(t,s)是強連續的。

(c)U(t,r)U(r,s)=U(t,s)，U(s,s)=I，0≤s≤r≤t≤a。

引理1.3 假如{A(t):t∈Rτ}生成一個線性發展系統{U(t,s):0≤s≤r≤t≤T*}，則當t>s時，{U(t,s):0≤s≤r≤t≤a}是緊算子[9]。

定義1.5t適應隨機過程{y(t):t0-r≤t≤T}稱為問題(1.1)至(1.3)的溫和解，當且僅當

引理1.4[10](Kakutani型非線性抉擇) 令K是Hilbert空間Y中的一個凸閉子集，Λ是K的一個開子集且0∈K.

(ii) 存在v∈?Λ和λ∈(0，1)，使得v∈λGv.

2 主要結果

為了討論隨機集值微分系統(1.1)至(1.3)溫和解的存在性，假設以下四個條件成立：

H1.雙參數發展系統{U(t,s),t>s}是緊算子，且存在M>0，使得當t∈[t0,T*]時，有‖A(t)A(0)-1‖2≤M.

H3(ii) 存在一個可積函數m:Rτ→[0,+∞)和一個連續非負函數W*:[0,T*]→[0,T*]，使得

H4.存在正常數Q，使得

定理2.1.假設上述條件成立.如果

則隨機集值微分系統(1.1)至(1.3)的溫和解是存在的.

令Γ=Γ1+Γ2, 其中

接下來分幾步證明(1.1)至(1.3)的溫和解是存在的:

第一步，對每個y∈B，Γ(y)是凸的.

如果u1，u2∈Γ(y)，則存在g1，g2∈SF,y使得

令γ=(λu1+(1-λ)u2)(t)，0≤λ≤1，則有

因為SG,y是凸的(G有凸值)，所以λu1+(1-λ)u2∈Γ(y)

第二步，證明存在一個開集Ω∈B，使得當λ∈[0,1]，u∈?Ω時，u?λΓy.

記B*={y:(t0,T)→X;y0∈B,y|Rτ∈C(Rτ,X)}，對任意的y∈B*，記‖·‖T是B*的半范數并定義為:

‖y‖T=‖y0‖B+sup{‖y(s)‖:t0≤s≤T*}

令u∈λΓy，則存在g∈SG,y，使得

則有

E‖z(t)‖2≤3Q2M2E‖φ(0)‖2+(‖A(0)-1‖2L1(E‖φ‖2)+1)+3Q2‖A(0)-1‖2(L1(E‖u‖2)+1)

定義μ(t)=sup{E‖us‖2:t0≤s≤t}，t0≤t≤T*，令ζ=3M2max{1,Q2}(T-t0)因此

N=3Q2M2E‖φ(0)‖2+(‖A(0)-1‖2L1(E‖φ‖2)+1)+3Q2‖A(0)-1‖2(L1(E‖u‖2)+1)

因此

由H4可知，存在M，使得‖μ‖≠M，集合Ω={v∈B, ‖v‖B

第三步，Γ1是壓縮的。

如果u,v∈B，有

第四步，Γ2是全連續多值映射。

(i) 顯然Γ1(Br)是有界的，Bi={y∈Y:‖y‖2≤r}

(ii) (Γ2Br)(t)={u(t):u∈Γ2(Br),t∈[t0,T]}是相對緊的。

當t=t0時，易知Γ2(Br)(t)是相對緊的。令t0

因為U(t,s),(t>s)是緊的，則對任意的0<ε

當ε→0時，上式右端一致收斂于零。因此，存在相對緊集序列無限逼近于集合{u(t):u∈Γ2(Br)}，由此可知，集合{u(t):u∈Γ2(Br)}為Y中的相對緊集合。由Arzela-Ascoli引理可知Γ2是全連續集值映射。Γ2有閉圖可參見文獻[5]。所以，Γ2是上半連續算子。 因此Γ=Γ1+Γ2是凝聚且上半連續的映射。由引理2.4可知，隨機集值微分系統(1.1)至(1.3) 有一個溫和解。

3 結語

利用隨機分析有關理論結合適當的集值映射不動點定理結合，在時滯依賴狀態相關方法以及抽象的相空間里所給定的適當條件的基礎上，先將集值微分方程轉化成積分系統，然后按照所給集值映射不動點定理證明了一類時滯依賴狀態的隨機脈沖隨機集值微分方程解的存在性，此存在性的分析方法對同類微分系統解的存在性的研究具有一定的促進意義。