建模思想在變力沿直線做功中的應用

張宇姣

摘要：數學不僅在武器上有著廣泛的應用，更是在軍事戰略上影響戰爭的發展。本文內容將軍事背景中變力沿直線做功的實際應用問題與高等數學中定積分建立了關系，主要介紹了定積分在軍事案例中的應用——變力沿直線做功。突出了理論知識在軍事實踐中的應用性，更培養了建模意識，是學生能夠用數學思維分析、解決軍事中的問題。

關鍵詞：數學;定積分;軍事案例;建模意識

偉大的數學大師華羅庚曾說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數學”，而微積分更是被譽為“人類精神的最高勝利”，微積分的產生是數學上的偉大創造，它既來自理論科學和生產技術，反之又推動生產技術和科學的發展，與工程技術和日常生活有著密不可分的聯系。可以說，微積分發揮著文化和應用功能，能夠著力培養數學素養以及數學思維意識。而對于士官學員來說，還能夠形成忠誠、堅定、自信的意志品格，可以養成用數學思維思考問題的習慣，提高職業認知軍事理論的能力。最終將微積分相關知識與軍事案例聯系上，用建模的方法解決好，達到學習目的。

一、問題分析

定積分的概念較為抽象，學生不易理解，利用定積分解決實際問題更加不易，具體到應用定積分解決物理問題上，每個物理問題又對應著不同的物理背景，不同的物理公式，這又增加了解決問題的難度，所以學生在這一部分知識的學習上會出現為難情緒。在教學中，結合學員實際崗位，從學員的實際認知出發，采用貼近學員專業，貼近部隊背景的火箭發射問題，將微元法的思想運用到火箭發射問題中，在學員已有認知基礎上，層層引導，在解決這一問題的基礎上總結出解決變力沿直線做功這一類問題的解決步驟。

二、教學實施

（1）情境設計，提出問題

“遂古之初，誰傳道之？上下未形，何由考之？”，兩千三百年前屈原作《天問》。2020年7月23日，我國火星探測器“天問一號”成功發射，開啟了深空探測的新篇章。從“嫦娥”到“天問”，中國的航天事業迅猛發展，“長征”系列火箭功不可沒。為此，需考慮的一個基本問題是，“天問一號”和“嫦娥三號”需要多大的初速度才能擺脫地球的引力呢？

（2）原理分析，明確方法

火箭在上升過程中，當助推器停止工作時，主要是克服地球引力做功。如果能把火箭擺脫地球引力所需要的總功 求出，而這一總功是由火箭所獲得的動能轉化而得，便可進一步求出所需要的初速度 。因此，若想求出所需的初速度，重點要解決火箭上升克服地球引力所做的功的大小。

建立如圖1所示坐標系，從地面垂直向上發射質量為 的火箭，當火箭距離地面 時，克服地球引力做的功 ，火箭從地面垂直向上發射過程中到每一點 所受的引力為 ，顯然火箭所受的引力是隨著位移的變化而變化的，因此這一個變力沿直線做功的問題。

由物理學知道，如果物理在做直線運動過程中有一個不變的力 作用在這物體上，且這力的方向與物體的運動方向一致，那么，在物體移動了距離 時，力 對物體所做的功為 。

如果物體在運動的過程中所受的力是變化的，則不能直接使用此公式，而采用“微元法”的思想，進行變力沿直線做功的求解，如圖2所示。

（3）問題探究，總結步驟

“微元法”的思想：分割、代替、求和、取極限。但對于火箭升空問題是一個實際問題，如何將微元法與實際相結合，建立相關解決問題的模型是關鍵。

微元法的第一步：分割。在實際問題中，分割的范圍怎樣得到？如何描述分割的始末位置？這需要借助數學上的工具——坐標系，只需沿著運動所在的軌跡，結合實際情況建立坐標系，即可得到分割的范圍，同時也能得到定積分上下限（ ），即為運動的始末位置，則可實現微元法的第一步。微元法的第二步：代替。在實際問題中，對于分割好的每個小區間，將采用以直代曲，以不變代變為原則進行近似代替，即可得到每個小區間的功微元（ ）。微元法的第三、四步：求和和取極限。也就是在確定的范圍內對所求微元累加求和，也就是對得到的功微元在a到b內求積分，我們可以簡稱為求積分（ ）。

對于以上過程，建立其模型可為：建坐標→定區間→求微元→求積分。

（4）問題解決，回扣引例

根據總結的步驟，“天問一號”和“嫦娥三號”擺脫地球的引力為：

1.建坐標。建立如圖1所示坐標系。

2.定區間。確定上、下限 。

3.求微元。根據物理公式，建立所求功的微元。

4.求積分。對所求功的微元在 內積分。

即可得到克服地球引力做功。

此應用知識從實際問題中抽象、提煉出數學問題并建立模型的過程就是數學建模。在解決軍事問題中潛移默化地培養學生建模能力，提高了其應用數學知識解決實際問題的能力。不僅如此，建立的模型也可使用與更多，更廣泛類似問題的求解，可謂一型多用。

三、教學總結

數學問題的解決不僅是答案的求解，更能解決生活中的一些實際問題，因為數學源于生活，更能在軍事案例中找到數學的身影。學生在針對一些抽象問題，可以通過數學建模的方式解決實際問題，不僅便于理解找到答案，更能培養建模思想，提高綜合能力。

（火箭軍士官學校）