隨機方程的EM截斷方法

摘要：截斷Euler-Maruyama（EM）方法最初是由毛學(xué)榮老師提出的，在這之后，大量的工作運用了這一思想來構(gòu)造不同類型隨機方程的數(shù)值逼近，由于這方面的研究方興未艾，本文介紹了EM法的背景，討論了這類方法的構(gòu)造步驟及主要結(jié)論.

關(guān)鍵詞：隨機微分方程;非線性系統(tǒng);截斷方法;顯式方法.

1.背景介紹

近幾十年來，隨機微分方程被廣泛應(yīng)用于非定常微分方程的建模等不同領(lǐng)域的現(xiàn)象. 例如：金融、生物、化學(xué)和物理等不同領(lǐng)域的現(xiàn)象.然而，真解的顯式閉式卻很少，即使是線性隨機微分方程，其真解的顯式表達式也涉及隨機積分，因此在大多數(shù)情況下，真解的統(tǒng)計性質(zhì)只能從數(shù)值模擬中看出，隨機微分方程的數(shù)值方法在應(yīng)用中變得非常重要.

在不同的數(shù)值方法中，Euler-Maruyama（EM）方法是最簡單的一種，它是一種非常有效的方法，是一種顯式方法易于實現(xiàn).EM方法是常微分方程正Euler方法的直接推廣，但正Euler方法對常微分方程的求解效率很低.所以，對一類超線性系數(shù)隨機微分方程的迭代算法，EM方法的矩與真解的矩是不同的.從理論上講，如果考慮到強收斂性，用EM方法來逼近超線性系數(shù)的隨機微分方程是不合適的，但由于上述原因，EM型方法仍然受到許多研究者的關(guān)注，已有許多改進的顯式Euler型方法被提出.在EM方法的所有的修改中，馴服歐拉方法將是第一個也是一個很好的嘗試.

本文主要研究截斷EM方法，它是一種改進的顯式Euler型方法，對于漂移系數(shù)和擴散系數(shù)均超線性增長的隨機微分方程，證明了其強收斂性及收斂速度.本文的結(jié)構(gòu)如下：第一節(jié)簡要介紹了截斷EM法的背景介紹.在第二節(jié)中討論了這類方法的構(gòu)造步驟及主要結(jié)論.

2.EM截斷方法的步驟及主要結(jié)論

對于應(yīng)用中的許多隨機微分方程模型，例如，注釋1中的隨機微分方程滿足假設(shè)3，對于任意大的 ，假設(shè)1表明對于某些正常數(shù) 我們可以選擇 .因此，對于任意小的 我們可以選擇 證明了 則對于任意充分小的 都成立.因此不等式（2）就變成了 .這表明，截斷的EM的收斂階數(shù)可以任意接近一半。

參考文獻

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[2]梁健，肖悅，毛學(xué)榮.隨機微分方程截斷EM法的收斂率和穩(wěn)定性[J].計算與應(yīng)用數(shù)學(xué)期刊.2018.377：274-298

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作者簡介：姓名：王鑫，性別：女，出生年月：1996-01，民族：漢，學(xué)歷/職位：在讀研究生二年級，研究方向：統(tǒng)計學(xué)。

（河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 ?河南 ?開封 ?475000）