基于改進損耗分離模型的鐵磁材料 損耗特性研究

趙志剛 徐 曼 胡鑫劍

（1. 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室（河北工業大學） 天津 300132 2. 河北工業大學河北省電磁場與電器可靠性重點實驗室 天津 300132）

0 引言

隨著電力電子技術的快速發展，電力變壓器的應用越來越廣泛[1-3]。變壓器作為電力電子變換器的重要元件[4-5]，主要由繞組、鐵心、絕緣裝置等部分構成，其中，鐵心通常采用鐵磁材料疊壓制成，為變壓器提供磁回路。當鐵磁材料工作于變化的磁場中時，將會產生磁損耗，并且工作于不同的諧波激勵工況下，鐵磁材料的磁性能也存在很大的差 異[6-8]，因此對于變壓器設計者來說，研究變壓器鐵心鐵磁材料的損耗特性，實現鐵損的準確預測，是變壓器優化設計的基礎和必要環節[9-10]。

在實際的運行過程中，由于鐵磁材料等非線性元件的使用，磁感應強度與磁場強度之間不再是線性關系，變壓器激勵信號也很少會是正弦波，這對變壓器損耗模型的研究提出了新的要求[11]。值得注意的是，傳統的損耗模型大多是基于正弦激勵這一假設前提建立的，若用于計算諧波條件下的鐵損，往往會出現較大的誤差，模型的適用性降低。因此，如何實現諧波激勵條件下損耗的準確計算受到了學者們的廣泛關注，相關的研究文獻也不勝枚舉。

Bertotti損耗分離模型因物理意義明確，計算過程簡單，被廣泛應用于鐵損的計算中[12-15]。隨著損耗研究的發展，國內外學者在經典的Bertotti損耗分離模型基礎之上進行了大量的改進，文獻[16]基于損耗分離模型，考慮了靜態、動態磁滯回線的區別，采用磁通密度多項式表征磁滯、剩余損耗系數，將高頻高磁通密度條件下損耗計算誤差降低到10%左右，但是該方法引入較多的未知參數，并且參數的辨析過程相當復雜。文獻[17]基于損耗分離模型，建立了物理意義明確的動態Energetic模型，實現了正弦條件下鐵磁材料磁滯回線的準確模擬，然而當磁滯回線中存在局部磁滯回環時該方法的有效性有待進一步驗證。華中科技大學陳林認為，低頻條件下，Bertotti損耗分離模型中的系數一般是恒定的，并基于常系數損耗模型實現了鐵氧體材料損耗的準確計算[18]；然而D. M. Ionel等在其研究中指出，相比于常系數損耗模型，變系數模型具有計算精度更高、適用范圍更廣的優點[19]。文獻[20]中，D. Eggers等考慮了趨膚效應以及材料非線性行為對鐵損的影響，提出能夠準確計算鐵磁材料損耗的4參數表達式，但該模型不能用于諧波激勵條件下損耗的計算。

為解決上述研究方法存在的問題，文中針對變壓器鐵心的鐵磁材料——取向硅鋼片B30P105的損耗特性展開研究，并基于損耗分離理論提出一種能夠考慮材料非線性特征的鐵損計算方法，實現了正弦及諧波條件下損耗的準確計算。

1 鐵磁材料磁性能測試系統的搭建

1.1 實驗測量裝置

磁性能測試系統主要由激勵源、測量電路、測量儀器三部分構成，其原理如圖1所示。其中，激勵源由信號發生器WF1974、功率放大器NF4520A構成，輸出實驗所需激勵；測量電路由愛潑斯坦方圈構成，實驗前，將稱重后的24片牌號為B30P105的取向硅鋼片依次搭接插入方圈的四邊，構成磁回路，并在搭接處施加一定的壓力，避免因空氣漏磁通過大而增加測量結果的誤差，表1為取向硅鋼片B30P105的性能參數；測量儀器由功率分析儀LMG500構成，實驗時緩慢調節信號發生器旋鈕，注視功率分析儀示數調節到事先計算好的電壓值，采集實驗測量數據。

表1 取向硅鋼片B30P105的性能參數Tab.1 Performance parameters of grain oriented silicon steel sheets B30P105

圖1 磁性能測試系統原理Fig.1 Schematic diagram of magnetic performance testing system

1.2 激勵的控制方法

實驗時采用上述搭建的磁性能測試系統，通過 調節勵磁電壓的輸出，控制鐵磁材料上的磁通密 度為

式中，Bn=1為基波磁通密度幅值，Bn=3,5,…為n次諧波磁通密度幅值（T）；φn=1為基波相位，實驗中設定φ1=0°，φn=3,5,…為n次諧波相位；ω為角頻率（rad/s）。

理想情況下，根據愛潑斯坦方圈的結構特征，忽略漏磁通的影響，通過電磁感應定律確定感應電壓為

式中，u(t)為測量繞組的感應電壓（V）；N為線圈匝數；S為鐵心的橫截面積（m2）。

諧波激勵條件下，定義諧波含有量kn以及諧波相位差θn分別為

2 正弦條件下鐵磁材料損耗的計算

鐵磁材料損耗不僅取決于材料特性，與磁場中的激勵頻率以及磁通密度的大小也密切相關。因此對于取向硅鋼片材料B30P105來說，在不同的激勵工況下，損耗存在明顯的差異。本節主要通過正弦激勵作用時測量得到的鐵損數據，確定損耗分離模型的表達式。

2.1 經典Bertotti損耗分離模型

意大利學者Bertotti基于磁疇理論，將鐵磁材料損耗按形成機理分為磁滯損耗Ph、經典渦流損耗Pe和剩余損耗Pa三部分[21]。

根據Bertotti損耗分離理論，單位質量的鐵磁材料在正弦激勵（B=Bmcos(2πft)）作用的一個磁化周期內產生的鐵損PBer可以表示為

式中，kh、x為磁滯損耗系數；ke為經典渦流損耗系數；ka為剩余損耗系數；f為勵磁電壓頻率（Hz）；Bm為磁通密度幅值（T）。

大量的實驗研究結果表明，經典Bertotti損耗分離模型僅在Bm≤1.2T,f≤400Hz范圍內能夠準確模擬鐵磁材料損耗的變化，超出此范圍損耗模型的有效性大大降低[20]。

鑒于經典Bertotti損耗分離模型具有物理意義明確、計算方法簡單等優勢，本文旨在其基礎上進行改進，推導建立一個能夠準確計算較高頻率以及較高磁通密度條件下鐵磁材料損耗的改進損耗分離模型。

2.2 磁滯損耗

結合當前損耗計算的相關文獻可以發現，磁滯損耗的計算大致采用兩種方式：一是基于損耗分離理論，認為極低頻率條件下測量得到的總損耗僅為磁滯損耗，然而該假設建立在忽略經典渦流損耗與剩余損耗的基礎之上，并且實驗激勵很難控制在極低頻；二是基于磁滯模型模擬磁滯回線的變化，認為磁滯回線包圍的面積即為磁滯損耗值，需要指出的是，此假設僅適用于靜態磁滯模型中，且計算過程較為繁雜，需要通過數值積分來實現，限制了其應用。為了避免上述兩種方法的不足，在此提出一種計算磁滯損耗的新方法，即基于低頻低磁通密度工況下二頻率法計算得到的磁滯損耗值求解得磁滯損耗表達式。

在實驗測量時，施加正弦激勵信號，按照第1節所述的測量方法，測得低頻低磁通密度條件下鐵損的實驗值，并根據二頻率法求得磁滯損耗[22]，有

式中，Ph(f0)為頻率為f0時對應的磁滯損耗（W/kg）；P(f1)為頻率是f1時測量得到的鐵磁材料損耗（W/kg）；P(f2)為頻率是f2時測量得到的鐵磁材料損耗（W/kg）。

頻率較低的工況下，鐵磁材料損耗主要為磁滯損耗與經典渦流損耗，易分離，因此采用低頻5Hz、20Hz條件下測量得到的損耗數據，根據二頻率法算得磁滯損耗數值。并按照式（4）第一項，實現未知參數的辨識。計算得kh=0.001 99,x=1.960 2。

2.3 經典渦流損耗

正弦激勵條件下，經典渦流損耗表達式可以簡化為式（4）第二項，其中，經典渦流損耗系數ke由Maxwell方程推導所得的宏觀方程表示，主要由鐵磁材料的性能參數決定，有

式中，σ為硅鋼片電導率（S/m）；d為硅鋼片厚度（m）；ρ為硅鋼片密度（kg/m3）。

根據材料出廠時廠家提供的特性參數，求得取向硅鋼片B30P105的經典渦流損耗系數ke值為0.000043。

2.4 剩余損耗

剩余損耗為鐵磁材料總損耗中去掉磁滯損耗、經典渦流損耗后剩下的部分，與經典渦流損耗統稱為動態損耗。

基于以上分析，按照式（4）第三項計算得剩余損耗系數ka與磁通密度以及與頻率的變化關系曲線。圖2為磁通密度恒定時，剩余損耗系數隨頻率的變化關系曲線，可以發現，隨著頻率的增加，ka先增大后減小，但磁通密度不同時，ka的變化趨勢并不一致。圖3為頻率恒定時，磁通密度與ka的變化關系曲線，可以清晰地看出，對于不同的工作頻率，ka隨著磁通密度增加，整體上呈現遞增趨勢，但是很難找到一個具體的、簡單的函數表達式，來表征ka與頻率以及磁通密度之間的數量關系。因此，若想實現剩余損耗的計算，需得到一個能夠同時反映剩余損耗與磁通密度幅值以及頻率之間數量關系的函數。

圖2 頻率與ka關系曲線Fig.2 The relation curves between frequency and ka

圖3 磁通密度與ka關系曲線Fig.3 The relation curves between flux density and ka

為了避開系數ka表達式求解的難題，本文基于經典Bertotti損耗分離模型，將動態損耗與經典渦流損耗的比值確定動態損耗因子，進而實現剩余損耗的求解，有

式中，D為動態損耗因子，應當是大于1的數值。通過式（7）可推導計算得到不同激勵條件下，剩余損耗值=(D-1)×經典渦流損耗值。

根據學者J. Reiner等提出的MSE（modified steinmetz equation）公式可知，磁通密度隨時間的變化率是關于磁通密度幅值與頻率的函數，并且其對損耗的計算產生直接的影響。為此，文中采用磁通密度變化率dB/dt的有效值來確定動態損耗因子表達式，進而構建動態損耗因子與波形參數之間的函數關系。

對于正弦波形，磁通密度變化率dB/dt的有效值可以表示為

按照式（7）與式（8）計算得到的D與dB/dt的關系如圖4所示（由頻率為5～400Hz，Bm為0.1～1.2T工作點測量得到的取向硅鋼片B30P105的鐵損數據繪制而成），隨著dB/dt數值的增加，D逐漸減小，這是因為，當頻率增加到一定程度，經典渦流損耗數值急劇增加。通過曲線的變化趨勢，清晰可見，D與dB/dt呈現出衰減的對數關系，由此采用數學擬合法，得到動態損耗系數D與磁通密度變化率dB/dt有效值之間的函數關系為

圖4 磁通密度變化率有效值與動態損耗因子之間的關系Fig.4 The relationship between equivalent magnetic flux density variation and dynamic loss factor

當dB/dt的數值超過圖示范圍時，按照式（9）采用趨勢外推法計算所需工況下的動態損耗因子D。但是當dB/dt＞5 426，根據式（9）計算得到的D＜1，進而計算得到負的剩余損耗，不符合實際的運行狀態。據此文中假設當激勵頻率與磁通密度幅值均較高時，即dB/dt＞5 426，近似認為剩余損耗為0，動態損耗因子D=1。這是因為，在磁通密度接近飽和工作點時，剩余損耗系數減小為0，剩余損耗接近0[23]。

基于上述分析，可以建立正弦條件下的改進損耗分離模型為

式中，Ps為正弦條件下得到的損耗值（W/kg）。

工程應用中，取向硅鋼片材料一般工作在低頻狀態下，頻率較高時，振動和溫升急劇增大，為此，本節在頻率小于1 000Hz之內的正弦激勵條件下計算鐵損，并與損耗測量結果進行對比，驗證上述正弦條件下改進損耗分離模型的有效性。

圖5給出了Bm=1.7T，激勵頻率分別為200Hz、400Hz、600Hz、800Hz、1 000Hz時，基于式（10）計算得到的損耗結果以及實驗測量數據，圖中數值為損耗的相對誤差，有

圖5 Bm=1.7T，不同頻率下損耗計算值與測量值的對比Fig.5 Comparison of calculated and measured loss at different frequencies when Bm=1.7T

通過圖5可以看出，在磁通密度幅值Bm=1.7T的工作點，基于損耗模型計算的數值與實際測量值的相對誤差均大于10%，當頻率為800Hz時，誤差高達19.7%。

圖6給出了f=800Hz，磁通密度為0.8T、1.2T、1.5T、1.6T、1.7T時鐵損預測值與計算值對比，由圖可知，隨著磁通密度數值的增大（尤其是Bm＞1.2T時），基于損耗模型的預測結果較實際測量結果明顯偏小，且相對誤差隨磁通密度的增加呈現明顯的擴大趨勢。這是因為，當磁通密度增加到接近飽和工作點時，硅鋼片B30P105內部非線性特征格外突出，而正弦條件下建立的改進損耗分離模型未能體現出這一變化，導致損耗計算結果較小。因此需要著重研究較高磁通密度區域鐵磁材料非線性對損耗的影響規律，解決當前損耗預測不準確的問題。

圖6 f =800Hz，不同磁通密度下損耗計算值與 測量值的對比Fig.6 Comparison of calculated and measured loss at different flux densities when f =800Hz

3 建立考慮材料非線性特征的損耗模型

3.1 非線性修正項的確定

從鐵磁材料的性質而言，在較強磁場作用下，材料內部呈現出很強的非線性特性。這時根據磁化線性區域確定的損耗計算模型未能對鐵磁材料非線性特征做出描述，引起一定的計算誤差[24]。本節在經典渦流損耗基礎上引入磁通密度函數對損耗模型進行修正，以表征材料非線性對總損耗的影響，正弦條件下建立的考慮非線性修正項的改進損耗分離模型為

其中

式中，Psin為鐵損計算值（W/kg）；Ps由式（10）計算得到；Pnl為非線性修正項（W/kg）；λ、γ為表征材料非線性的未知參數，與材料特性有關。

簡要分析式（10）在頻率為5～1 000Hz正弦激勵作用下的損耗計算結果，發現在各個磁化頻率點，磁通密度較高時損耗的計算結果均明顯低于測量結果，因此，根據Bm為1.2～1.7T的工作點測量得到的鐵損數值求解式（13）中的未知參數。計算得，λ=0.004 8；γ=7.287 3。

3.2 損耗模型的驗證

根據3.1節確定的正弦條件下考慮非線性修正項的改進損耗分離模型預測鐵損，計算結果見表2。可以看出，在多種正弦激勵信號的作用下，損耗相對誤差基本保持在5%之內。

表2 正弦條件下損耗計算值與測量值的相對誤差Tab.2 Error of calculated and measured loss under sinusoidal condition

對比分析圖5、圖6與表2的計算結果可以發現，引入非線性修正項后，損耗計算誤差明顯減小，由此可以認為，正弦條件下考慮非線性修正項的改進損耗分離模型能夠明顯提升較高磁通密度區域損耗的計算精度，具有更寬的磁通密度適用范圍。

4 諧波條件下考慮非線性修正項的改進損耗分離模型的建立與驗證

4.1 諧波條件下改進損耗分離模型的建立

在實際的運行過程中，鐵磁材料的激勵信號很少會是理想的正弦波，其中，諧波激勵是極為常見的工作條件。為了實現諧波激勵條件下鐵損的準確計算，本文做出如下假設：當磁通密度較低（Bm≤1.2T）時，材料特性近似為線性變化，可采用疊加的方法實現損耗計算；在此基礎上，當磁通密度較高（1.2T≤Bm≤1.7T）時，基于3.1節提出的非線性修正項來表征材料的非線性特征，建立改進損耗分離模型為

式中，Pharm為諧波激勵條件下損耗預測值（W/kg）；fn=1為基波勵磁頻率，fn=3,5,…為n次諧波的勵磁頻率（Hz）；Dn=1為基波動態損耗因子，Dn=3,5,…為n次諧波的動態損耗因子。

4.2 諧波條件下改進損耗分離模型的驗證

實驗時根據變壓器實際運行時可能遇到的激勵條件設計了幾種典型的諧波激勵信號，部分激勵信號如下所述：諧波激勵信號1：基波疊加含量k7=30%的7次諧波，θ7=45°；諧波激勵信號2：基波疊加含量k7=30%的7次諧波，θ7=0°；諧波激勵信號3：基波疊加含量k5=20%的5次諧波，θ5=90°。需要指出的是，文中選取的諧波激勵信號1、2、3是具有代表性的工況，體現出了基波與不同含量、不同相位、不同階次的諧波的疊加。

基于以上諧波激勵信號1、2、3，按照第1節搭建的磁性能測試系統測得損耗實驗結果，并基于本文所提出的諧波條件下考慮非線性修正項的改進損耗分離模型計算鐵損，將二者進行對比分析，進一步驗證該損耗模型的準確性。

圖7所示為諧波激勵信號1工況下各部分損耗計算值與實驗測量值對比，可以較為直觀地看出各部分損耗之間的關系。圖7中，在各個磁通密度工作點，左側為磁滯損耗、動態損耗以及非線性修正項三部分表征的總損耗計算值，右側為損耗測量值，可以發現，損耗計算值與測量值基本一致，例如，當Bm=1.7T時，損耗實測值為2.333 6W/kg，磁滯損耗值為0.282 1W/kg，經典渦流損耗與剩余損耗之和為1.895 1W/kg，非線性修正項為0.071 3W/kg，總損耗為2.248 5W/kg。

圖7 諧波激勵信號1工況下損耗計算值與 測量值的對比Fig.7 Comparison of calculated and measured loss under harmonic excitation signal 1

從圖7還可以看出，隨著磁通密度的增加，三種損耗均呈現出增加的趨勢，并且在較高磁通密度區域經典渦流損耗所占的比重最大。相比之下，在低磁通密度區域非線性修正項數值最小，幾乎可以忽略不計，但隨著磁通密度的增加，逐漸明顯，不可忽略。

類似地，激勵信號2與激勵信號3工況下損耗誤差分析見表3和表4。分別列出了考慮非線性修正項與未考慮非線性修正項時鐵損的計算結果以及相對誤差。

表3 諧波激勵信號2工況下損耗計算值與 測量值的對比Tab.3 Comparison of calculated and measured loss under harmonic excitation signal 2

表4 諧波激勵信號3工況下損耗計算值與 測量值的對比Tab.4 Comparison of calculated and measured loss under harmonic excitation signal 3

對比分析表3、表4中的誤差1與誤差2數據可以發現，雖然當磁通密度較低時，非線性修正項的引入對損耗計算結果的影響幾乎可以忽略不計，但隨著磁通密度的增加，當磁通密度達到1.4T及以上時，相比于未考慮非線性修正項時的損耗計算結果，引入非線性修正項明顯降低了損耗的計算誤差，例如，表3中，當磁通密度為1.7T時，損耗計算誤差由7.5%降低為4.5%，表4中，損耗計算誤差由10.7%降低為5.5%，并且在磁通密度較高的情況下，本文所建立的考慮非線性修正項的改進損耗分離模型均能較為準確地實現鐵磁材料損耗的計算，驗證了該模型的有效性以及可行性。

通過圖7、表3、表4所示結果，可以認為該考慮非線性修正項的改進分離損耗模型可以考慮諧波含量、相位、階次不同時的損耗變化，并且當存在局部磁滯回環時，亦能準確反映鐵磁材料的損耗特征。

綜上所述，本文建立的諧波激勵條件下的改進損耗分離模型可以較為精確、快速地實現鐵磁材料損耗的計算，能夠作為一種解決損耗計算問題的工程應用新方法。

5 結論

文中按照國家標準搭建了磁通密度可控的實驗測試平臺，利用正弦條件下測量的損耗數據，建立了適用于諧波激勵條件下鐵磁材料損耗計算的改進損耗分離模型。重點工作總結如下：

1）根據實驗測量數據，引入動態損耗因子計算剩余損耗，避免因剩余損耗系數求解不精確而導致計算誤差加大。考慮到磁通密度較高時損耗計算結果明顯小于測量結果這一問題，提出采用非線性修正項來彌補損耗計算誤差，進而建立了改進的損耗分離模型。實驗結果表明，無論是正弦較高頻率還是諧波激勵條件下鐵損的計算，必須充分考慮材料非線性的影響。

2）本文建立的考慮非線性修正項的改進損耗分離模型具有物理意義明確、計算方法簡單、計算結果準確等優點，為工程上鐵磁材料損耗的計算提出新的思路。