時間分割圓弧插補算法的改進

梁曉兵，劉志強，王璠

（河南機電職業學院，鄭州 451191）

0 引言

目前數控系統在插補圓弧的過程中，使用的基本上都是二階近似法進行圓弧插補的，這種方法使用一組直線來逼近圓弧，計算出插補周期的坐標增量值。目前國內外很多學者已經在這方面進行了很多研究，韓賽飛等[1]實現了改進型圓弧插補算法及FPGA實現；劉煥等[2]分析了基于微分模型的空間圓弧與橢圓弧插補算法；姚曉通等[3]分析了圓弧插補算法的FPGA實現；李偉光等[4]分析了無限直線逼近圓弧方法；劉鵬飛等[5]分析了在機器人領域中的應用；何均等[6]實現了短線段空間圓弧轉接與插補；劉放等[7]介紹了基于四元數的空間圓弧插補算法；王中平等[8]基于矢量分析了圓弧插補算法；詹泳等[9]實現了五軸空間圓弧插補；朱國力等[10]介紹了插補算法的應用；賀德華等[11]推導了空間任意圓弧的插補算法；高宏卿等[12]推導了空間圓弧變換插補原理與算法。

在計算過程中，傳統插補算法使用了三角函數的泰勒展開式中的低階近似，使得插補點遠離圓弧，產生一定的累積誤差。針對這種情況，提出一種改進的圓弧插補算法，進一步提高插補運算精度。

1時間分割法插補原理

現以第一象限逆時針插補為例，說明傳統時間分割法實現原理。如圖1所示，設待插補圓弧半徑為R，圓心坐標（0，0），插補速度為F，插補周期為T，每次插補的進給步長f=F·T。

圖1 圓弧逆時針插補兩點位置關系

對圓弧上動點Pi（xi，yi），滿足以下關系：

yi＝R·sinα；xi＝R·cosα。

Pi＋1（xi＋1，yi＋1）是下一插補點坐標，PiPi＋1是每插補周期的進給步長f，其對應的圓心角是θ。

下一插補點坐標值計算方法為

yi＋1＝R·sin（α＋θ）；xi＋1＝R·cos（α＋θ）。

展開后得：

對其中的三角函數泰勒展開并取二階以下變量公式可得：

cosθ≈1－θ2/2；sinθ≈θ。

且由θ＝f/R，代入式（1）、式（2），可得：

設A＝f/R＝θ，B＝θ2/2，代入式（3）、式（4），可得：

取Δyi＝yi＋1－yi＝－B·yi＋A·xi；Δxi＝xi＋1－xi＝－B·xi－A·yi。

弓高誤差δ計算公式為

2 時間分割法改進算法

上面傳統的時間分割法圓弧插補運算，引入了近似計算，存在一定的誤差，而且弓高誤差較大，為了減小誤差，下面提出一種改進的時間分割圓弧插補改進方法。

2.1 改進算法原理

對于有一定誤差的待加工面（如圖2），如果實際加工面位于理論待加工面單側，那么最大誤差就是實際加工最大尺寸減去理論加工面尺寸。如果實際加工面位于理論待加工面兩側，那么，最大誤差就是理論面和實際面兩側尺寸差的最大值，如果兩面對稱，最大誤差就是實際誤差的一半。

圖2 待加工面

2.2 算法實現

對于給定的弓高誤差δ和圓弧半徑R，分別做半徑為R-δ/2、R+δ/2圓弧，已知Pi（xi，yi）點，求下一插補點Pi+1（xi+1，yi+1）坐標。過Pi點做內圓弧的切線交半徑為R-δ/2內圓弧于切點P（xq，yq）點，如圖3所示。

圖3 改進算法逆時針插補點位置關系

由于P點是切點，PPi是內圓弧切線，且PPi長度值為f/2，由幾何關系可得：

代入式（10）、式（11），可以求得P（xq，yq）坐標為：

根據圖3幾何關系，P（xq，yq）為Pi（xi，yi）點和Pi+1（xi+1，yi+1）連線的中點，可知：

聯立式（12）～式（15），可得：

Δyi=yi+1-yi，Δxi=xi+1-xi，改進后的時間分割圓弧插補算法的計算步驟如下。

2.3 特殊點處理

由于上面為了減小誤差，改進了算法，計算過程中插補的點都在半徑為R+δ/2圓弧上，由此引入了2個特殊點即起點P0（x0，y0）和終點Pe（xe，ye），這兩個特殊點需要特殊處理。

對于起點P0（x0，y0），給定的起點坐標位于半徑為R的圓弧上，實際插補計算的起點位于半徑為R+δ/2的圓弧上，因此需要計算插補起點Pc0（xc0，yc0）。

根據圖3幾何關系得：

對于終點坐標Pe（xe，ye），實際需要的終點坐標位于半徑為R圓弧上，實時插補計算的終點位于半徑為R+δ/2圓弧上，因此需要計算實際終點Pea（xea，yea）。根據圖3的幾何關系可得：

3 兩種算法比較分析

在傳統算法中，由于對正弦余弦三角函數進行了二階近似，由式（5）、式（6）求得的下一插補點可能會偏離圓弧產生徑向誤差。插補過程中由于使用了弦線代替圓弧，還會產生弓高誤差。

在改進算法中，由于使用R+δ/2的圓弧代替半徑為R的圓弧，同樣會產生徑向誤差和弓高誤差。

3.1 徑向誤差

徑向誤差即實際插補點坐標與理論坐標點的偏差，實際計算根據實際插補點坐標的坐標值與理論半徑的距離來表示：

由式（5）、式（6）可得傳統插補算法徑向誤差為

由于θ不為0，δci也不等于0，即存在徑向誤差，而且隨著插補次數的增加，徑向誤差也會越來越大。

對于改進后的算法，由圖3幾何關系得

由式（16）、式（17）、式（19）得

代入式（18），可得

經過改進后，算法誤差是恒定值，和插補次數無關，誤差不累計，可以在預插補階段進行誤差補償一個恒定值，進一步減小誤差。

3.2 弓高誤差

3.3 插補速度

在傳統得插補算法中，使用了二階近似來簡化計算過程，改進算法沒有采用近似處理，一方面是因為現在嵌入式系統計算能力越來越強，比如STM32等微控制器都帶了硬件除法器；另一方面是因為本改進算法在插補過程中和傳統插補算法過程一樣，除了常量系數計算不一樣，常量系數計算過程可以放到插補預處理階段進行，而且改進算法比傳統算法只多了一步除法運算。在168 MHz的STM32f407芯片上進行插補系數計算仿真，結果測得傳統算法每次實際計算時間為0.148μs，改進后插補時間為0.369μs，時間基本一致。

綜上，傳統算法徑向誤差隨插補次數的增加不斷增加，改進算法后，徑向誤差不隨插補次數變化而變化，穩定無變化。弓高誤差傳統算法為f2/(8R)，改進后算法誤差為f2/(16R)，只是傳統算法誤差的一半。由于徑向誤差和弓高誤差在相反方向，最大誤差為徑向誤差和弓高誤差的最大值。改進后算法最大誤差為f2/(16R)，只是傳統算法誤差的一半。

4 結語

通過對時間分割圓弧插補算法和改進后的算法對比計算分析，可知改進算法的誤差要比原來的算法誤差減小一半，精度得到了很大提高。改進后插補過程運算速度相同，插補系數計算相對低一些，但是誤差不到1μs，滿足實時插補要求。