基于凱恩方法的三自由度Delta并聯機器人動力學建模

劉國軍

（湖南理工學院 機械學院，湖南 岳陽 414006）

0 引言

與串聯機器人相比較，并聯機器人具有承載能力高、精度高、速度快、加速度大等優點，在多個領域得到了廣泛的應用[1]，如六自由度并聯機器人——Gough-Stewart平臺、Delta并聯機器人及其變形體、Tricept并聯機床等。Delta并聯機器人及其變形體在小物品的快速拾取與揀選等應用領域得到了廣泛的應用[2-3]。

若對Delta并聯機器人只采用運動學控制，則性能不會很好[2]。為了得到性能優良，需要考慮動力學反解模型[2]。設計Delta并聯機器人時也需要建立動力學反解模型，得到各個電動機輸出的力矩等。國內外很多學者對Delta并聯機器人的動力學建模進行了研究，如：Tsai[4]引入3個多余的自由度，利用第一類拉格朗日方程建立了三平動Delta并聯機器人動力學反解模型；Hong和Yamamoto[5]利用虛功原理和牛頓-歐拉方程分析得到了三平動Delta并聯機器人的作用力和作用力矩；Brinker[6]分別利用虛功原理、牛頓-歐拉方程和第一類拉格朗日方程三種方法對三平動Delta并聯機器人建立了動力學反解模型，并且進行了對比分析。但第一類拉格朗日方程對三平動Delta并聯機器人建立動力學反解模型時需要引入3個額外的參數；牛頓-歐拉方程對三平動Delta并聯機器人建立動力學反解模型時需要計算各個構件之間的約束力和約束力矩；由于虛位移與實位移相等時要滿足一些特定的條件，但實際中一般不滿足這些條件，從而虛位移一般不是實位移[7]。當用凱恩方程建立動力學模型時，不出現約束力，也不必計算拉格朗日函數等及其導數[8-10]。與第一類拉格朗日方程相比，對于非完整系統，凱恩方程不需要引入拉格朗日算子[10]。本文將采用凱恩方程建立三平動Delta并聯機器人的動力學反解模型。

1 系統描述

瑞士洛桑聯邦理工學院（EPFL）Clavel領導的團隊發明了平移三自由度并聯機器人——三自由度Delta并聯機器人，如圖1所示[11]。Clavel領導的團隊發明的三自由度Delta并聯機器人由1個動平臺、1個靜平臺和3條支路組成。每一條支路通過固定于靜平臺上的電動機和精密減速裝置帶動主動臂轉動，然后通過一個2-SS型（S表示球鉸）空間平行四桿機構連接到動平臺上。

圖1 Clavel等發明的三自由度Delta并聯機器人

如圖2所示，為了分析的需要，在動平臺上建立體坐標系{L}，在靜平臺上建立慣性坐標系{W}，在支路i中轉動副的中點Ai建立體坐標系{Li}。直角坐標系O-XYZ為慣性坐標系{W}，其坐標系原點為O。把直角坐標系{W}移動到動平臺上以點P為原點，則為體坐標系{L}。直角坐標系Ai-XiYiZ i為體坐標系{Li}，其坐標系原點為Ai。Ai為主動轉動副轉軸的中心點。直角坐標系{Li}中Zi軸與坐標系{W}中Z軸平行，Xi軸沿直線OAi，Yi為轉動副軸線方向。B1i和C1i分別為支路i中空間平行四邊形機構同一側球鉸中心，B2i和C2i分別為支路i中空間平行四邊形機構另一側球鉸中心。Bi為B1i與B2i連線的中心點。Ci為C1i與C2i連線的中心點。作如下規定：在慣性坐標系{W}中表示時左上角不用標示上標；在其它坐標系中表示時，則在左上角標示。Gi表示主動臂AiBi的重心，假設它在直線AiBi上，并且AiGi的長度為lG。設定Xi軸與X軸的夾角為φi（i=1，2，3），Xi軸與直線AiBi的夾角為θi（i=1，2，3）。則當整個并聯機器人設計出來后φi（i=1，2，3）為一個已知量。θi（i=1，2，3）為主動副轉角大小，選擇它們為廣義坐標。

圖2 坐標示意圖

2 動力學反解

在支路i中，根據位置矢量關系（如圖2所示），可得到

量在慣性坐標系{W}中的表示為動平臺上中心點P在坐標系｛W｝中的位置矢量，pX、pY和pZ分別為p沿X、Y、Z三個坐標軸的分量；pCi為動平臺上從點P到點Ci的位置矢量在慣性坐標系｛W｝中的表示；pAi為靜平臺上從點O到點Ai的位置矢量在慣性坐標系｛W｝中的表示；p1i為主動臂上從點Ai到點Bi的位置矢量在慣性坐標系｛W｝中的表示。

在支路i中，假設空間平行四邊形機構中從點Bi到點Ci的長度為l2；主動臂上從點Ai到點Bi的長度為l1。

根據圖2，有

式中：RZ（φi）表示繞Z軸轉動φi角的旋轉矩陣；rp表示動平臺上從點P到點Ci的長度。

式中，rb表示靜平臺上從點O到點Ai的長度。

式中：cθi表示cos（θi）；sθi表示sin（θi）。

式（1）兩邊左乘RZ（φi）T（即為RZ（φi）的逆），把各個位置矢量轉換到坐標系｛Li｝中表示，有

根據旋轉矩陣的定義得到

式中：cφi表示cos（φi）；sφi表示sin（φi）。

上式展開后整理得

式中：

由上式得到θi的值為

式中：

式（7）對時間求導得

式中：

設定Ii′、Ji′、Ki′分別為

把式（17）～式（19）分別代入（15），整理后得

把三個支路的關系式（20）合成一個矩陣，得

式中：

式（15）對時間求導得

式中：

設定L1i′、L2i′、L3i′分別為：

則式（24）可寫成

從上式可得到主動轉動副的角加速度θi為

式中L4i′定義為

為了后面動力學建模的需要，現在對主動臂上重心Gi和末端點Bi的速度和加速度進行分析。在支路i中，根據位置矢量關系（如圖2），可得到

式中：pGi為靜平臺上從點O到主動臂重心Gi的位置矢量在慣性坐標系｛W｝中的表示；p1Gi為主動臂上從點Ai到點Gi的位置矢量在慣性坐標系｛W｝中的表示。

根據圖2，有

把式（3）和式（33）代入式（32）中得

上式對時間求導，得到點Gi的平移速度vGi為

上式對時間求導，得到點Gi的平移加速度aGi為

在支路i中，根據位置矢量關系（如圖2所示），可得到

式中，pBi為靜平臺上從點O到主動臂末端Bi的位置矢量在慣性坐標系｛W｝中的表示。

把式（3）和式（4）代入式（37）中得

上式對時間求導，得到點Bi的平移速度vBi為

上式對時間求導，得到點Bi的平移加速度aBi為

當選擇θi（i=1，2，3）為廣義坐標時，在坐標系｛W｝中，根據凱恩方程[9,12]得到

空間平行四邊形機構中桿B1iC1i和B2iC2i的質量都為m2。因為桿B1iC1i和B2iC2i都是輕質桿，采用文獻[13]中對Par4并聯機器人動力學建模時采用的處理方法：忽略桿B1iC1i和B2iC2i轉動慣量的影響，然后把桿B1iC1i和B2iC2i的質量等效為質量為m2的兩個質點—點Bi和Ci。其中廣義主動力Fi為

式中：aP=［aPXaPYaPZ］T表示動平臺的平移加速度；Im表示電動機等效到電動機主軸上繞主軸的轉動慣量；I1表示主動臂AiiB在重心Gi處繞平行于軸Yj的軸的轉動慣量。

由式（20）得到

其中列向量jPi為

由式（35）得到

由式（39）得到

從而有：

把式（42）和式（43）代入式（41）得

把式（44）、式（46）～式（50）代入上式，得

由上式得到第i（i=1，2，3）個支路中電機驅動力τi的大小為

其中：

3 結論

本文忽略桿B1iC1i和B2iC2i轉動慣量的影響，然后把桿B1iC1i和B2iC2i的質量等效為質量為m2的兩個質點—點Bi和Ci。然后利用凱恩方程對三自由度Delta并聯機器人建立了動力學反解模型。在整個推導過程中，只是用到了動平臺的位置、速度和角速度參數和主動轉動副轉角、角速度及角加速度，不需要求出被動臂（即空間平行四邊形機構）的位姿參數、（角）速度和（角）加速度。也不像拉格朗日方程需要引入拉格朗日算子等額外參數進行求解。本文建立的動力學反解模型結構緊湊，方便用于基于模型控制策略的設計中。