定常Navier-Stokes方程的三個梯度-散度穩定化Taylor-Hood有限元

王炷霖， 敬璐如， 馮民富

(四川大學數學學院, 成都 610064)

1 引 言

Navier-Stokes方程(簡稱NS方程)是描述不可壓縮流體運動的非線性偏微分方程.解NS方程的有限元法一直是計算數學領域的重要課題之一.

作為一個比較常用的有限元空間，Taylor-Hood有限元空間(簡稱TH元)采用連續的分片k次多項式空間作為速度逼近空間，連續的分片k-1次多項式空間作為壓力逼近空間.文獻[1-3]介紹了Scott-Vogelius有限元空間(簡稱SV元)，其速度逼近空間也采用連續的分片k次多項式空間，壓力逼近空間則采用非連續的分片k-1次多項式空間.

在解不可壓縮流問題時，TH元有比較廣泛的應用.利用TH元雖能得到連續的速度及壓力，但其離散速度解往往不滿足質量守恒性質.文獻[9-12]討論了NS方程的帶梯度-散度穩定項的有限元法，表明梯度-散度穩定項可以有效降低離散速度解的散度.此外，文獻[13-14]證實當梯度-散度穩定項系數γ→∞時，梯度-散度穩定化TH元離散解逼近SV混合有限元離散解.

有限元法求解偏微分方程最終歸結于解線性方程組.許多研究致力于發展有效求非線性NS方程有限元離散解的算法.其中，文獻[15]介紹了求定常NS方程有限元離散解的迭代方法，并證明了在一定的強唯一性條件下某些迭代格式能夠得到收斂到真解的離散解.文獻[16-17]分別對比了三種求齊次和非齊次定常NS方程有限元離散解的迭代格式.受文獻[13-14，16]啟發，我們將文獻[16]中求NS方程有限元離散解的迭代格式推廣到梯度-散度穩定化迭代格式，用梯度-散度穩定項克服TH元解不滿足質量守恒性質的問題.在強唯一性條件下，我們證明了這些梯度-散度穩定化TH元迭代格式的解在一定的迭代次數下逼近SV混合有限元離散解，且當梯度-散度穩定項系數γ→∞時TH元離散迭代解的散度趨于零.利用TH元求NS方程離散解時，相較于文獻[16]中的三種迭代格式，本文提出的三種穩定化迭代格式的解能夠更好的滿足質量守恒性質.數值模擬驗證了這一結論.

2 預備知識

考慮二維多邊形區域Ω上的定常NS方程

(1)

對X賦予范數‖v‖X=‖?v‖.一般地，f∈X′的范數

眾所周知，TH元取Ω上連續的分片k次多項式空間作為速度逼近空間，壓力逼近空間則是取Ω上連續的k-1次分片多項式空間.SV元同樣以Ω上連續的分片k次多項式空間作為速度逼近空間，其壓力逼近空間也采用k-1次多項式空間，與TH元不同的地方僅在于SV元的壓力逼近空間不要求在Ω上連續.當取特定網格剖分且選擇合適的多項式次數時SV元是LBB穩定的，而TH元在以上情況下都是LBB穩定的.以下假設SV元與TH元是在特定網格剖分Λh下建立的LBB穩定的有限元空間.

定義TH元和SV元的速度有限元逼近空間為

vh=0 on ?Ω}.

對TH元，定義其壓力有限元逼近空間

定義SV元的壓力有限元逼近空間

盡管TH元和SV元有相同的速度有限元逼近空間，但是它們的弱無散有限元子空間是不同的.定義

分別定義X×X,X×Q上的雙線性形式

aγ(u,v)=(?u,?v)+γ(?·u,?·v),

?(u,v)∈X×X，

b(v,q)=-(?·v,q),?(v,q)∈X×Q.

對TH元和SV元，都存在β>0，使得

(2)

定義F(v)=(f,v),?v∈X.

在后面的分析中需要用到以下引理.

引理2.1[16]存在只與Ω，h有關的常數CS，使得對uh,vh,wh∈Xh有

|b*(uh,vh,wh)|≤

CS‖?uh‖·‖?vh‖·‖?wh‖

(3)

引理 2.2[14]?M<∞，使得對任意rh∈Rh，

‖?rh‖≤M‖?·rh‖

(4)

下面我們研究四種求解定常NS方程的有限元.SV混合有限元法：

a0(uh,vh)+b*(uh,uh,vh)+

b(vh,ph)=F(vh),b(uh,qh)=0

(5)

梯度-散度穩定化TH元1：

(6)

梯度-散度穩定化TH元2：

(7)

梯度-散度穩定化TH元3：

(8)

(9)

在唯一性條件

CSν-2‖f‖-1<1

(10)

利用SV元，我們可以得到無散的離散速度解，但得到的離散壓力解是不連續的.另一方面，利用TH元雖得到了連續的離散壓力解，但離散速度解不是無散的.本節中我們將證明在γ→+∞時梯度-散度穩定化TH元1～3可以得到散度趨于零的離散速度解和連續的離散壓力解，且梯度-散度穩定化TH元在強唯一性條件下隨迭代次數增加逼近SV元解.

引理3.1設唯一性條件(10)成立.則對問題(5)的解uh有

‖?uh‖≤ν-1‖f‖-1，?n≥1

(11)

(12)

4CSν-2‖f‖-1<1

(13)

下有

(14)

(15)

下有

(16)

證明 在問題(5)中取vh=uh有

ν‖?uh‖2=(f,uh)≤‖f‖-1‖?uh‖.

由Young不等式得

故

‖?uh‖≤ν-1‖f‖-1.

同理可證式(12).

即式(14)成立.同理可證(16).證畢.

(17)

(18)

(19)

(20)

證明 由問題(5)(6)有

又由式(5)(9)知

故式(18)成立.同理可得式(19).

又由式(16)知

即

顯然，當n=0時(20)式成立.假設n=J時(20)式成立.則由上式可得當n=J+1時(20)式成立.證畢.

C‖f‖-1(CSν-2‖f‖-1)n

(21)

C‖f‖-1(3CSν-2‖f‖-1)n

(22)

(23)

證明 由問題(5)(6)有

故

即(21)式成立.同理可證(22)(23)式成立.證畢.

4 數值算例

例4.1在問題(1)中取Ω=[0,1]×[0,1]，f及邊界條件由二維定常NS方程的精確解確定.設精確解為

u1=10(x4-2x3+x2)(2y3-3y2+y),

u2=-10(y4-y3+y2)(2x3-3x2+x),

p=10(2x-1)(2y-1).

取k=2.采用圖1所示10×10重心細分網格剖分.

圖1 Ω上10×10重心細分的三角形劃分

設(uh,ph)為問題(5)的解.表1，2給出了不同參數下梯度-散度穩定化迭代法1的計算結果，表3，4分別給出了ν=0.5時梯度-散度穩定化迭代法2及梯度-散度穩定化迭代法3的計算結果.

表1 ν=0.5時迭代法1的計算結果

表2 ν=0.25時迭代法1的計算結果

表3 ν=0.5時迭代法2的計算結果

表4 ν=0.5時迭代法3的計算結果

計算結果顯示，經過一定的迭代次數后，三種梯度-散度穩定化TH元迭代方法的解都可以很好的逼近SV混合有限元的離散解.通過增大梯度-散度穩定項系數，我們可以得到散度趨于零的離散速度解，且系數增大并不會造成TH元離散解與SV有限元離散解的誤差增大.換句話說，通過在文獻[16]中的三種迭代格式上加梯度-散度穩定項，利用TH元我們可以得到散度趨于零的離散速度解和連續的離散壓力解.