工藝誤差影響下微電熱驅動器失效分析

陳 浩，曹 云，王新杰，王 炅，席占穩，聶偉榮

（南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京210094）

1 引 言

微機電系統（Micro Electro Mechanical Systems，MEMS）微電熱驅動器利用焦耳熱效應產生熱形變實現位移［1］，是一種較為可靠的驅動方式。相對于壓電［2］、靜電［3］、磁致［4］等驅動器而言，電熱驅動器具有輸出位移大、輸出力穩定以及工藝兼容性好等優點。但MEMS工藝中存在的不確定性會導致電熱驅動器實際測量得到的參數與設計參數產生較大的偏差。這些隨機偏差不僅影響驅動器的性能，而且嚴重降低了驅動器的工作可靠性，甚至導致其失效。

目前關于MEMS隨機工藝誤差的諸多研究主要分為以下三種方式。第一種方式：定性研究單一工藝誤差與結構性能之間的關系［5-7］。例如，曹云等人［5］研究了彈簧線寬、厚度、側壁傾角和兩電極間隙等單一尺寸誤差對萬向慣性開關閾值的影響。第二種方式：采用統計方法模擬得到工藝誤差下結構性能的概率分布［8-9］。例如，J.S.Kong等人［8］對靜電驅動器中的尺寸誤差進行隨機抽樣，通過有限元仿真計算每個樣本點所對應的位移，最終得到靜電驅動器存在加工誤差時的位移統計規律。第三種方式：建立結構性能關于參數的隨機數學模型，量化工藝誤差對結構性能的影響［10-12］。例如，Lili Gao等人［10］采用侵入式混沌多項式展開法（Intrusive Polynomial Chaos Expansions，IPCE）分別建立了MEMS微梁的彈性模量和應力關于加工誤差的模型，分別得到彈性模量和殘余應力的概率分布密度并通過蒙特卡洛法進行驗證。由于MEMS器件性能是多個工藝誤差同時作用的結果，采用第一種分析方式不能全面地反映誤差對器件性能的影響。而基于統計原理的分析方法為了保證結果的全面、準確需要進行大量的隨機抽樣，從而造成計算時間成本的成倍增加。混沌多項式展開方法兼顧了結果精度與計算成本，因此是一種行之有效的工藝誤差不確定性分析方法。

混沌多項式展開法（Polynomial Chaos Expansions，PCE）基于混沌多項式理論，能精確描述任意特征分布的隨機變量的隨機性［13］。非侵入式混沌多項式展開法在進行隨機分析時，只需在系統輸入和輸出兩者之間建立一種映射關系，因此無需知道系統響應函數的具體形式。侵入式混沌多項式展開法會改變原有的系統響應函數形式，從而根據新的系統響應函數得到輸出的隨機分布［14］。本文提出一種非侵入式混沌多項式展開方法（Non-intrusive Polynomial Chaos Expansions，NIPCE）用于V型微電熱驅動器中點處的溫度的不確定性量化及整體結構失效概率研究。本文具體研究步驟如下：首先通過對加工工藝分析，確定微電熱驅動器的主要參數的誤差來源；其次對加工樣品的主要參數進行測量并分析得到誤差下參數的特征分布；接著將參數作為變量，構建微電熱驅動器中心點處溫度的混沌展開多項式，并使用蒙特卡洛法對混沌多項展開模型進行驗證；最后對混沌多項展開模型進行分析，得到V型微電熱驅動器發生溫度失效的概率。

2 器件制作工藝

硅基MEMS電熱驅動器主要采用干法深刻蝕即反應離子深刻蝕工藝（DRIE）制作。以光刻膠為犧牲層、硅片作為器件結構，進行多次掩膜、光刻、刻蝕及去膠等步驟［15-17］，如圖1所示。

圖1 硅基電熱驅動器的制作流程Fig.1 Fabrication process of the silicon-based electrothermal actuator

（a）備片：選擇晶面為（100）的硅片，經摻雜處理后，硅片的電阻率降低到0.01～0.02Ω?cm，并對硅片進行清洗；（b）光刻；（c）刻蝕：深刻蝕8～10μm，得到硅片錨點，清洗去除光刻膠；（d）非對準鍵合：采用7740玻璃片與硅片錨點鍵合；（e）減薄：采用KOH溶液對硅片背面進行濕法刻蝕，刻蝕后的硅片整體厚度約為110μm，從而滿足微電熱驅動器厚度設計要求；（f）濺射：在硅片表面濺射、淀積一層Ti/Au合金薄膜；（g）光刻；（h）刻蝕：對合金層進行刻蝕，從而形成電熱驅動器電極，清洗除膠；（i）合金化：使合金與硅片之間形成低歐姆接觸，同時也增加合金與硅之間的附著力；（j）光刻；（k）刻蝕：采用反應離子刻蝕釋放結構得到電熱驅動器；（m）劃片：涂膠保護結構進行劃片；（n）清洗：使用丙酮溶液去除保護膠，最終完成器件制作。對制作樣品進行分選；準備合適的印刷電路板（PCB）；使用紅膠進行粘片；經烘干、引線；最終完成微電熱驅動器的封裝，如圖2所示。

圖2 微電熱驅動器的封裝樣品Fig.2 Packaged sample of the micro-electro-thermal actuator

3 誤差測量及其特征分布

V型電熱驅動器結構示意圖，如圖3所示。采用高倍顯微鏡（OLYMPUS STM 6）和歐姆表，對同一加工批次的23個樣品分別進行了主要參數的測量，分別測量了電熱驅動器的寬度與電阻。所有樣品參數的測量結果如圖4所示。從圖中可以看出：驅動器寬度和電阻的偏差較大，寬度的變化范圍為：33~39μm，電阻的變化范圍為：130~170Ω。等離子深硅刻蝕工藝（DRIE）中，刻蝕區域深寬比越小，刻蝕速率越快。在本次加工的整體結構中，各部分的刻蝕寬度相差較大，而V型電熱驅動器刻蝕區域的深寬比較小，其刻蝕速率較快導致過刻蝕的產生。此外，由于V型驅動器在硅片上均勻分布且硅片中間和邊緣處的刻蝕速率不一樣，因此硅片不同位置處的驅動器的過刻蝕時間不同。綜上，V型電熱驅動器樣品的寬度誤差較大。對于驅動器電阻而言，由于摻雜工藝中的不均勻性，導致硅片不同區域的電阻率也不同，因此在驅動器寬度和電阻率誤差的共同作用下，其電阻的偏差也會較大。

圖3 V型電熱驅動器結構示意圖Fig.3 Sketch of the V-shaped electro-thermal actuator

圖4 各個樣品參數測量結果Fig.4 Measuring result of the parameters in the samples

樣品的電阻值不僅與材料電阻率有關，也取決于驅動器的尺寸參數。電阻與寬度之間的相關性增加了可靠性分析的復雜性。因此獨立變量電阻率ρ更適用于建立可靠性分析模型。根據（1）式，可計算得到每個樣品的電阻率值。

其中h為驅動器的厚度。由于在加工過程，對硅片進行整體減薄以保證驅動器的厚度（100μm），因此在電阻率計算中各樣品驅動器的厚度可視為恒定值。因為V型電熱驅動器單臂長度l達到1 500μm，所以其相對誤差要遠小于寬度w的相對誤差。因此計算時可忽略長度的尺寸誤差對電阻率的影響。經過計算，得到各個樣品中的電阻率如圖5所示。

圖5 各個樣品的電阻率Fig.5 Resistivity of the samples

電阻率是材料固有屬性，因此實際與驅動器尺寸無關，而在摻雜工藝中，離子注入濃度滿足：

其中：Q為注入離子束劑量，R為摻雜半徑。從該式可以看出：硅片不同區域的電阻率滿足正態分布。由于V型電熱驅動器均勻分布在硅片上，因此驅動器的電阻率應具有正態分布特征。為進一步建立混沌多項式展開模型，這里假設V型驅動器的寬度滿足正態分布。通過對所測量到的數據散點分別進行擬合，得到寬度和電阻率所滿足的正態分布累計密度函數曲線，如圖6所示。從圖中可以看到：擬合得到的正態分布能較好地描述寬度和電阻率的誤差分布特征。表1給出了電熱驅動器測量樣品寬度和電阻率的一階和二階統計矩（均值、方差）以及擬合得到的正態分布特征參數。

圖6 寬度和電阻率累積密度函數曲線Fig.6 Cumulative density function（CDF）curve of width and resistivity

表1 驅動器寬度和電阻率的一、二階統計矩及擬合得到的正態分布參數Tab.1 First and second order statistical moment and pa?rameters of normal distribution by fitting of width and resistivity in the actuator

4 非侵入式混沌多項式展開

在微電熱驅動器中，不僅涉及多物理場耦合而且存在特殊的熱損失形式，導致微電熱驅動器的溫度方程十分復雜，因此宜采用非侵入式混沌多項式展開法對電熱驅動器的溫度進行不確定性分析。基于非侵入式混沌多項式展開法的V型微電熱驅動器溫度分析流程如圖7所示。

圖7 基于非侵入式混沌多項式展開法的驅動器溫度不確定性分析流程Fig.7 Stochastic analysis of temperature on the actuator based on non-intrusive chaos expansion method

4.1 模型構建

通過上述對V型驅動器寬度和電阻率的測量分析，由于寬度和電阻率存在誤差，驅動器溫度分布也相應地存在不確定性。V型電熱驅動器最高溫度存在于驅動器的對稱中心處［18］。基于非侵入式混沌多項式展開方法，建立該處溫度關于寬度和電阻率的數學模型，進而可以分析V型電熱驅動器溫度失效概率。由變換公式（2），變量寬度和電阻率轉化成標準正態分布。

其中：ψ為變換前的變量，滿足正態分布N（μ，σ）；ζ為變換后的變量，滿足標準正態分布N（0，1）。根據非侵入式混沌多項式展開方法，V型電熱驅動器對稱中心處的溫度函數可以展開為二維多項式基函數的線性組合，即：

其中：aij為多項式的系數，p為混沌多項式展開截斷階數，系數aij的個數z：

H i（ζ）為根據變量ζ的特征分布得到的一維i階正交基函數，其正交性質如下：

其中：<·>表示內積，權重函數f（ζ）為變量ζ的概率密度函數：

δij為克羅內克（Kronecker delta）函數。

在式（3）中，可將H i（ζ1）H j（ζ2）整體視為一個二維正交基函數，具有上述類似性質：

此時，權重函數f（ζ1，ζ2）為變量ζ1和ζ2的聯合概率密度函數：

由于ζ1，ζ2均為標準正態分布，根據Askey［19］方案，基函數H（ζ1）H（ζ2）均為一維Hermite正交基函數。以下是5階一維Herimite正交基函數：

4.2 系數求解

通過對上述建立的V型電熱驅動器對稱中心處的溫度混沌展開模型的分析，系數aij為未知量。為對系數aij進行求解，溫度展開方程（3）左右兩端分別與各二維基函數進行加權求內積，得到：

根據式（8）二維正交基函數的性質，式（11）經化簡得到：

其中：分母的內積可直接積分得到，分子的內積可通過高斯數值積分法計算得到，具體如下：

其中：q為高斯積分階數為q階高斯積分的第k個積分點的計算可先對積分點做式（2）的反變換得到對應的電熱驅動器寬度和電阻率值，然后進行有限元仿真得到V型電熱驅動器對稱中心處的溫度；對應為第k，m個積分點處的權重之積。表2［20］給出3，5階高斯積分的積分點和權重。

表2 3、5階高斯積分的積分點和權重Tab.2 Third and fifth order gauss integration point and weight

5 有限元仿真及實驗驗證

由于在混沌多項式系數求解中，需通過有限元仿真計算得到各積分點處的V型電熱驅動器對稱中心處的溫度。為保證非侵入式混沌多項展開模型的精確性，需對有限元仿真模型進行實驗驗證。這里選用20號微電熱驅動器樣品進行實驗測試，具體參數如表3所示。根據20號微電熱驅動器的參數，建立了相應的有限元模型。不同電壓作用下，有限元計算位移和實驗位移如圖8所示。從圖中可以看出：有限元模型位移計算結果與實驗結果一致。因此，該有限元模型能夠準確對V型電熱驅動器進行模擬，基于該有限元模型得到的溫度分布結果是可信的。

圖8 不同電壓作用下電熱驅動器仿真與實驗位移Fig.8 Displacement of the electro-thermal actuator by simulation and experiment under different voltages

表3 20號V型微電熱驅動器樣品參數Tab.3 Parameters of the 20th sample of the V-shaped electro-thermal actuator

6 結果驗證與分析

為對混沌多項式展開方法得到的V型電熱驅動器最高溫度的概率密度分布結果驗證，首先抽取不同樣本數的微電熱驅動器進行蒙特卡洛［21］模擬計算，其最高溫度的均值如表4所示。隨著抽樣數的增加，最高溫度的均值逐漸趨于收斂。從可信度和計算成本角度綜合考慮，1000次抽樣仿真的結果即可用于混沌多項式計算結果的驗證。

表4 不同抽樣數下，V型電熱驅動器最高溫度的均值Tab.4 Mean value of the highest temperature on the Vshaped electro-thermal actuator with different numbers of samples

圖10 18 V電壓作用下電熱驅動器最高溫度概率密度分布Fig.10 Probability density distribution of the highest tem?perature on the electro-thermal actuator applied with 18 V

微電熱驅動器最高溫度的混沌展開多項式的階數分別取3階和5階。高斯積分的階數定為9階，即每個變量維度上有9個高斯積分點。又由于混沌多項式中存在兩個變量，因此共有81個積分點。在16 V，18 V加載電壓下，分別由3階、5階混沌多項式和蒙特卡洛法計算得到的該加工批次的V型電熱驅動器最高溫度的概率密度分布如圖9~10所示。從圖中可以看出：分別由混沌多項式與蒙特卡洛法計算得到的最高溫度概率密度分布曲線幾乎完全重合，因此非侵入式混沌多項式展開方法可以準確對存在工藝誤差的V型電熱驅動器的最高溫度進行不確定性量化。此外，使用蒙特卡洛法需進行1000組仿真，而采用混沌多項式展開方法只需對電熱驅動器進行81組仿真。且隨著混沌多項式中變量的增加，使用蒙特卡洛法抽取的樣本數會呈指數型的增加，因此混沌多項式法有效地降低了計算成本。在16 V電壓作用下，該加工批次的V型電熱驅動器對稱中心處的溫度均值大約為1 600 K，溫度分布范圍大致在1 100～2 500 K；而18 V電壓作用下的溫度均值大約為2 000 K，溫度分布范圍大致在1 300～3 000 K。隨著電壓的增加，V型電熱驅動器對稱中心處的溫度均值不斷升高，溫度分布范圍也不斷增大。在16 V和18 V電壓作用下，5階混沌多項式的溫度概率密度曲線均要比3階混沌多項式的曲線更為接近由蒙特卡洛法得到的曲線。因此，隨著混沌多項式展開階數的增加，V型電熱驅動器最高溫度分布的計算結果更為精確。

圖9 16 V電壓作用下電熱驅動器最高溫度概率密度分布Fig.9 Probability density distribution of the highest tem?perature on the electro-thermal actuator applied with 16 V

在16 V和18 V電壓作用下，V型電熱驅動器最高溫度的累積密度曲線如圖11所示。從圖中可以看出：由于硅的熔點大約為1 700 K，因此在16 V電壓作用下，該加工批次的V型電熱驅動器的失效概率大約為41.4%；而在18電壓作用下，該加工批次的V型電熱驅動器的失效概率急劇增加達到了91.5%。不同電壓下，V型電熱驅動器的溫度失效概率如圖12所示。從圖中可以看出：隨著電壓增大，溫度失效概率逐漸增大；在16~17 V之間，V型電熱驅動器的溫度失效可能性急劇增加。

圖11 16 V，18 V電壓作用下，電熱驅動器最高溫度累積密度分布Fig.11 Cumulative density distribution of the highest temperature on the electro-thermal actuator ap?plied with 16 V and 18 V

圖12 不同電壓作用下，V型電熱驅動器溫度失效概率Fig.12 Failure probability of temperature of the Vshaped electro-thermal actuator with different voltages

7 結 論

本文對V型電熱驅動器加工樣品的寬度和電阻率進行了測量計算，發現其偏差滿足正態分布。在ANSYS中建立的V型電熱驅動器有限元模型的分析結果與實驗結果一致。

基于非侵入式混沌多項式展開方法，根據寬度和電阻率誤差分布，對V型電熱驅動器最高溫度進行不確定性量化分析，其分析結果與蒙特卡洛仿真結果一致，且結果精度與混沌多項式的精度有關。

通過對V型電熱驅動器最高溫度累積概率密度分析，并結合硅的熔點溫度，可以得到：隨著加載電壓升高，驅動器溫度失效概率也不斷增大。當加載18 V電壓時，驅動器的溫度失效概率達到了91.5%。