誤差非線性函數的變步長FxLMS算法研究

李曉龍，盧熾華，魏曉旭，劉志恩，陳 彎

(1. 現代汽車零部件技術湖北省重點實驗室，湖北武漢430070；2. 汽車零部件技術湖北省協同創新中心，湖北武漢430070)

0 引 言

自適應濾波算法是主動噪聲控制研究的重點，基于最速下降算法的最小均方(Least Mean Square,LMS)算法由Windrows等1]于1959年提出，因其易于實現、穩定性好而受到廣泛應用。但 LMS算法的收斂速度與穩態誤差之間存在矛盾，即當步長因子取值較大時可加快收斂速度，但穩態誤差變大；反之步長因子取值較小時，收斂速度變慢，無法滿足算法實時性需求。為解決這一問題，覃景繁等[2]提出了一種步長因子與誤差成Sigmoid函數關系的變步長LMS算法，并給出了步長因子的調整原則：算法收斂初期需具有較大的步長因子以保證收斂速度，在接近收斂時則需較小的步長因子以保證穩態誤差。基于該調整原則，部分文獻提出了其他的基于誤差非線性函數的步長因子調整模型。鄧江波等[3]提出了基于箕舌線的變步長LMS算法，無需指數運算從而降低了算法的復雜度。詹國強等[4]提出了一種新的變步長 LMS算法，該算法步長因子與誤差的關系為抽樣函數，相比于S型函數在更大程度上解決了收斂速度與穩態誤差的矛盾。文獻[5-7]中使用雙曲正切函數作為步長因子的調整函數，結果表明收斂速度和穩態誤差均優于標準LMS算法。朱斌等[8]使用反正切函數控制步長因子，管四海等[9]對其進行改進，全面提升了算法的性能。盧炳乾[10]、王蕾等[11]使用正弦函數來調整步長因子，在降低計算時間的同時有效控制了穩態誤差的失調量。羅海富等[12]為進一步提升收斂精度使用雙曲正弦函數調整步長因子。茹國寶等[13]將劉劍鋒等[14]提出的基于洛倫茲函數的變步長 LMS算法進行了推廣，得到了基于對數函數的變步長 LMS算法，不僅大大降低了計算量，收斂速度和穩態誤差也表現出更好的性能。

將 LMS算法用于主動噪聲控制時，由于未考慮次級通路的影響，權系數的迭代將基于參考信號而非濾波參考信號，導致降噪效果變差。Burgess等[15]提出的濾波-x 最小均方(Filtered-x Least Mean Square, FxLMS)算法考慮了次級通路的影響，成為主動噪聲控制最常用算法。與變步長 LMS算法相似，為改善 FxLMS算法的收斂速度與穩態誤差，部分文獻將上述非線性函數或其改進形式應用于FxLMS算法。Gomathi等[16]引入反正切函數控制FxLMS算法的步長，獲得了更快的收斂速度和更高的消聲量。張帥等[17]對其進行了改進，將步長因子對參考信號的功率做了歸一化處理，提高了控制非穩態噪聲時的穩定性。張帥等[18]還將文獻[11]中的正弦函數推廣到更一般的情況，并應用于變步長主動噪聲均衡控制，進一步降低了車內噪聲響度，而其他非線性函數在變步長 FxLMS算法中的應用還不多見。

本文首先歸納了基于誤差非線性函數的步長因子調整模型，按運算類型將其分為四類。分析了調整模型的參數項對步長因子的影響，為應用算法時參數的選取提供參考。最后以三種常見的噪聲作為輸入參考信號，以收斂速度和穩態誤差為評價指標，通過仿真試驗對比了算法的性能。

1 變步長FxLMS算法

變步長FxLMS基本原理與固定步長FxLMS一致，實際上是考慮了次級通路影響的 LMS算法，其原理如圖1所示。圖1中：x( n)是參考傳感器在噪聲源采集的參考信號，表示初級聲源到誤差麥克風的初級通路，d(n)表示由噪聲源產生的初級噪聲，W(z)表示自適應控制濾波器，配合FxLMS算法控制濾波器的輸出u(n)。Hs(z)表示 u(n)到誤差麥克風的次級通路，( z)是 Hs(z)的估計，通常用長度一定的有限脈沖響應(FIR)濾波器來建模，理想情況下。y(n)為到達誤差麥克風處的抵消噪聲，e(n)是誤差麥克風采集到的誤差信號， xf( n)為濾波參考信號。

圖1 FxLMS算法原理圖Fig.1 Principle diagram of FxLMS algorithm

變步長FxLMS算法計算過程如下：

(1) 通過離線次級通路識別技術，得到次級通路脈沖響應的估計式中：L是FIR濾波器的長度。

(2) 當 u(n)經次級通路傳播到誤差麥克風處時，可表示為

(4) 測量誤差信號 e(n)。控制濾波器輸出信號u(n)經次級通路后得到 y(n)，它與初級噪聲 d(n) 干涉相消，殘余噪聲 e(n) 被誤差麥克風采集，參與權系數的迭代更新。

(5) 更新控制濾波器權系數。權系數更新迭代公式為

式中：μ(n)為步長因子，ψ{e(n)}表示以e(n)為自變量的非線性函數。

2 基于非線性函數的變步長模型

通過已有研究，目前一般采用的 ψ{e(n)} 基本形式共有9種，控制參數最多不超過3個。通過觀察可以發現，Sigmoid函數與雙曲正切函數具有類似的形式，通過簡單的通分運算并將系數參數化即可得到廣義的Sigmoid函數模型，其步長因子表達式為

當 h=1時，式(7)變為 Sigmoid函數；當 m=1時，式(7)變為雙曲正切函數。通過觀察還可以發現，對數函數模型實際上是洛倫茲函模型更一般的情況，其表達式為 μ ( n) = βlg(α| e ( n )|m+1)，當α = 1 /δ2且m=2時，對數函數變為洛倫茲函數。對模型數量進行刪減并按運算類別進行分類，最終非線性函數模型被縮減為7個，可分為4類，即指數運算類、三角函數運算類、對數運算類和基本運算類，如表1所示。

表1 基于不同誤差非線性函數ψ{e(n)}的變步長模型Table 1 Variable step models based on different error nonlinear functions ψ{e(n)}

3 變步長參數影響特性分析

3.1 參數m的影響

參數m表示e(n)次冪運算的次數，先單獨討論m的影響。包含參數m的模型共有4個，分別是廣義Sigmoid函數、雙曲正弦函數、反正切函數和對數函數。固定其他參數，令m=1, 2, 3, 4，分別得到m對誤差-步長因子(e-μ曲線)的影響，結果如圖2所示。

圖2 參數m對不同模型e-μ曲線的影響Fig.2 The influence of parameter m on e-μ curve of different models

由圖2可知，理論上m取值越大，算法性能會越好。在算法計算初期將具有更大的μ( n)，保證算法快速往最優權值方向搜索，在算法接近收斂時μ( n)變化更緩慢，可保證較好的穩態誤差。但 m取值過大會使e-μ曲線底部更為平坦，這將導致在誤差較大時μ( n)就減小到較小的值，導致算法收斂速度變慢，同時增大m會增加算法的計算量，一般m取1或2[6,8]，本節的分析中取m=2。

3.2 指數運算類

3.2.1 廣義Sigmoid函數模型

α、β、h對廣義Sigmoid函數模型e-μ曲線的影響如圖3所示。由圖3可知，參數β直接決定了μ( n )的最大值，在保證算法收斂的情況下，可盡量取較大值。α和h則可以控制曲線底部的平坦程度，若需要在誤差較大時采用較大的μ(n)，則增大α或減小h，反之則減小α或增大h。總之，通過合理設置α和h的值可使算法性能達到最佳。

圖3 參數β、α、h對廣義Sigmoid函數模型e-μ曲線的影響Fig.3 The influence of parameter β, α, h on e-μ curve of generalized Sigmoid function model

3.2.2 雙曲正弦函數

β、α對雙曲正弦函數模型e-μ曲線的影響如圖4所示。β控制曲線的縮放比例，而α則影響曲線的整體形態，增加β、α可提高收斂速度，但穩態誤差會變差。此外，α不可取值過大，否則會使得μ(n)隨著算法的收斂呈直線下降，最終可能出現這種情況：μ(n)雖然小于保證算法收斂的最大步長因子μmax，但由于μ(n)下降得過快，會導致μ(n)較小，而此時μ(n)本可以取更大的值以實現更快的收斂速度。

圖4 參數β、α對雙曲正弦函數模型e-μ曲線的影響Fig.4 The influence of parameter β, α on e-μ curve of hyperbolic sine function model

3.3 三角函數運算類

3.3.1 抽樣函數

β、α對抽樣函數模型e-μ曲線的影響如圖 5所示。與雙曲正弦函數類似，若對收斂速度有較高要求，則選取較大的β和α值；若對穩態誤差有較高要求，則選取較小的β和α值。需要注意，如圖5(b)所示，α取值過大會導致e-μ曲線中出現旁瓣，這意味著隨著誤差e(n)的減小，μ(n)反而可能增大，導致算法不穩定。

圖5 參數β、α對抽樣函數模型e-μ曲線的影響Fig.5 The influence of parameter β, α on e-μ curve of sampling function model

3.3.2 反正切函數

β、α對反正切函數模型e-μ曲線的影響如圖6所示。由圖6可知，β決定了μ(n)的取值范圍，可用于限制μ(n)的最大值，其取值應確保μ(n)值處在算法可收斂的范圍內。α則主要影響曲線底部的形態，其取值越大曲線底部越尖銳，也就是說e(n)接近0時，μ(n)變化越大，算法在收斂時維持穩態誤差精度的能力越差。

圖6 參數β、α對反正切函數模型e-μ曲線的影響Fig.6 The influence of parameter β, α on the curve of arc tangent function model

3.3.3 正弦函數

β、α對正弦函數模型e-μ曲線的影響如圖7所示。β決定了μ(n)的最大值，而α更大程度地影響e-μ曲線的底部形狀。若要獲得較快的收斂速度和跟蹤速度，則應增加β和α；反之，若要獲得較小的穩態誤差，則應減小β和α；若β和α的取值過小，變步長函數將退化為固定步長函數。此外，正弦函數與抽樣函數同樣存在α取值過大使e-μ曲線出現旁瓣的問題。

圖7 參數β、α對正弦函數模型e-μ曲線的影響Fig.7 The influence of parameter β, α on e-μ curve of sinusoidal function model

3.4 對數函數

β、α對對數函數模型 e-μ曲線的影響如圖 8所示。其中，β控制曲線的開口寬度，α控制曲線的底部形態，α取值越大，曲線底部越尖銳，這表示在算法接近收斂時，μ( n )波動較大，使控制濾波器權系數錯過最佳收斂值，導致穩態誤差變大。

圖8 參數β、α對對數函數模型e-μ曲線的影響Fig.8 The influence of parameter β, α on e-μ curve of logarithmic function model

3.5 箕舌線函數

β、α對箕舌線函數模型e-μ曲線的影響如圖9所示。對比圖9和圖6可以發現，兩者具有相似的形態。因此，在主動控制的過程，對于同一噪聲源兩者會表現出相似的性能，但箕舌線函數只包含基本的加減乘除運算而無需計算反三角函數，若要選擇兩者之一，可優先選擇計算量小的箕舌線函數。

圖9 參數β、α對箕舌線函數模型e-μ曲線的影響Fig.9 The influence of parameter β, α on e-μ curve of tongue-like function model

3.6 總 結

通過以上分析可知，當 m確定時，除廣義Sigmoid函數模型有3個可調參數外，其他函數均只有2個可調參數。其中β的主要作用是控制e-μ曲線整體的形態，β越大則μ( n )整體越大；α則主要控制曲線底部的形態，α越大不僅曲線底部更窄，μ( n )也不同程度地增大。因此在調試算法參數時，存在增大其中一個必然要減小另一個的矛盾。若為保證收斂速度而選擇較大的β，則α應取較小的值，e-μ曲線底部會趨于平緩，可能會導致誤差較大時收斂速度變慢；若選取較小的 β，則為保證收斂速度需相應地增加α，這會使e-μ曲線底部趨于尖銳，導致算法穩態誤差變大。通過引入額外的參數可解決此矛盾，例如廣義Sigmoid函數中增加了參數h來調整函數整體的形態，從而使算法性能更好。但參數越多，調整參數所需的試驗時間也越多，因此只有在需要實現特殊的性能時才考慮具有3個以上參數的算法[19]。

4 算法性能對比

為對比不同噪聲環境下算法的性能，選取三種常見噪聲源作為參考輸入信號[20]。假設次級通路Hs(z)與它的估計( z)相等。初級通路 Hp(z)和次級通路Hs(z)均用FIR濾波器建模，濾波器長度均為 128，兩者的頻率響應參考文獻[21]，頻率響應曲線如圖10所示。設置控制濾波器長度N= 1 28。以平均降噪量[22](Average Noise Reduction, ANR)作為評價指標，其定義式為

圖10 初級通路與次級通路頻率響應曲線Fig.10 Frequency response curves of primary path and secondary path

4.1 高斯白噪聲輸入

本例選取均值為 0、方差為 0.1的高斯白噪聲作為參考信號x( n)，仿真參數如表2所示。

表2 參考信號為高斯白噪聲時的仿真參數Table 2 Simulation parameters for Gaussian white noise input

圖 11對比了各算法仿真結果。參考輸入為高斯白噪聲時，各算法性能均優于固定步長 FxLMS算法，其中對數函數算法具有最低的穩態誤差，但收斂速度較快；雙曲正弦函數算法具有最快的收斂速度，但穩態誤差較大；箕舌線函數算法綜合性能最好，其收斂速度和穩態誤差均表現較好。

圖11 參考信號為高斯白噪聲時的ANR曲線Fig.11 ANR curves for Gaussian white noise input

4.2 正弦波輸入

本例選取頻率為 500 Hz的正弦波作為參考信號x( n)，加入信噪比為40 dB的高斯白噪聲，采樣率設置為5 000 Hz，其表達式為

仿真參數如表3所示，圖12給出了各算法仿真結果。參考輸入為正弦波時，各算法性能同樣優于固定步長FxLMS算法，其中廣義Sigmoid函數與對數函數算法性能較好，它們具有相對較快的收斂速度和較低的穩態誤差；正弦函數和抽樣函數算法在迭代過程中有一段收斂速度慢于標準算法，這是因為在誤差較大時步長因子就降低至較小值，導致收斂速度變慢。

圖12 參考信號為正弦波時的ANR曲線Fig.12 ANR curves for sinusoidal wave input

表3 參考信號為正弦波時的仿真參數Table 3 Simulation parameters for sinusoidal wave input

4.3 沖擊噪聲輸入

本例選取沖擊噪聲作為參考信號x(n)。沖擊噪聲用對稱α穩定(SαS)噪聲模型(使用McCullonch[23]開發的Matlab函數stblrnd，α=1.8)建模。仿真參數如表4所示。

表4 參考信號為沖擊噪聲時的仿真參數Table 4 Simulation parameters for impulsive noise input

圖 13給出了各算法的仿真結果。與參考輸入為高斯白噪聲和正弦波時不同，各算法均未能表現出比固定步長更好的性能，這是因為沖擊噪聲幅值較大，導致e(n)較大，為保證算法收斂β取值很小，此時α取值對e-μ曲線影響不大，曲線底部變得平坦，變步長算法退化為固定步長算法；其中雙曲正弦函數算法β取值最小，故收斂速度最慢。

圖13 參考信號為沖擊噪聲時的ANR曲線Fig.13 ANR curves for impulsive noise input

5 實車主動噪聲控制試驗

為驗證變步長模型的實用性，將變步長FxLMS算法應用于某車型的單通道發動機主動噪聲控制試驗中。采用霍爾傳感器作為參考傳感器，獲得單位時間的點火脈沖數，由此計算出當前發動機的轉速，進而獲得要抵消的發動機的噪聲頻率。駕駛員座椅頭枕右側布置兩個麥克風，一個作為主動噪聲控制系統的誤差麥克風，另一個則用于采集開啟主動噪聲控制系統前后頭枕右側噪聲的變化。次級揚聲器固定于中央臺扶手。參考傳感器、麥克風以及次級聲源布置位置分別如圖 14(a)、14(b)所示。

圖14 參考傳感器、誤差麥克風和次級聲源布置位置圖Fig.14 The layout for reference sensor, error microphone and secondary source

本次試驗使用對周期噪聲控制效果較好的廣義Sigmoid函數調整迭代步長。試驗工況分別為定速(3 500 r·min-1)工況和三擋全油門(Wide Open Throttle, WOT)即3WOT加速工況。采用LMS Test.Lab測試系統采集開啟主動噪聲控制系統前后，駕駛員頭枕右側的聲壓變化，由此計算 ANR曲線，用于對比不同算法的性能。

定速工況測試結果如圖 15所示。相較于傳統FxLMS算法，變步長FxLMS算法可以獲得更快的收斂速度和較低的穩態誤差。3WOT工況測試結果如圖16所示。與定速工況結果不同，3WOT工況時，變步長算法并沒有表現出明顯的優越性，這是因為3WOT工況發動機噪聲隨轉速變化速度很快，控制濾波器權系數還未收斂至最佳值，就進入下一個轉速點的迭代。

圖15 定速工況的ANR曲線Fig.15 ANR curve for constant speed condition

圖16 3WOT工況的ANR曲線Fig.16 ANR curve for the 3WOT gear condition

6 結 論

本文總結了現有基于誤差非線性函數模型的變步長LMS算法，分析了各模型中參數項對e-μ曲線的影響，并將其應用于 FxLMS算法，使用三種常用噪聲信號作為參考輸入，對比了各算法的收斂速度和穩態誤差，為不同噪聲源的算法選取提供了參考。結果表明：對于高斯白噪聲，基于箕舌線函數的變步長算法綜合性能最優；對于正弦波，則是廣義Sigmoid函數和對數函數變步長算法性能較好；對于沖擊噪聲，基于誤差非線性函數的變步長算法并不能表現出更好的性能，也就是說，此類變步長算法不適用于沖擊噪聲的主動控制。最后，將基于廣義Sigmoid函數的變步長FxLMS算法應用于某車型的發動機主動噪聲控制，結果顯示：對于定轉速工況，變步長算法能獲得更好的收斂速度和穩態誤差；對于3WOT工況，變步長算法性能則未能表現出明顯的優勢。