基于卷積神經網絡的拓撲量子碼譯碼研究

馬 鐘，魏 璐，姚璐陽,王云江

(1.西安微電子技術研究所，陜西 西安710065；2.西安電子科技大學ISN國家重點實驗室，陜西 西安710071)

0 引言

量子糾錯編碼是保障量子通信傳輸與量子信息處理可靠性的關鍵手段。目前，關于量子糾錯編碼的研究主要集中在量子穩定子碼領域，特別是拓撲量子糾錯碼更是近年來量子糾錯編碼領域的熱點問題。拓撲量子碼不僅具有容錯閾值高、糾錯能力強的特點，更因為其僅僅需要相鄰量子比特間的關聯操控，使其成為未來最有望硬件實現的量子糾錯編碼方案。然而，除了具有理論較優的性能，是否具有高效的譯碼算法也是量子糾錯碼能否真正落地實現的關鍵。這是因為，相比經典糾錯碼，量子糾錯碼更容易受到外界的干擾，造成信息的塌縮。而高效快速的譯碼策略可以有效縮短譯碼時間，從而極大地降低譯碼過程中的錯誤引入，這對于量子信息的快速處理與可靠存儲至關重要。

目前，對于拓撲量子碼而言，其應用最廣泛的譯碼算法是基于圖論的最小權重最佳匹配譯碼算法(Minimum Weight Perfect Matching，MWPM)[1]。其基本思想是將拓撲量子糾錯碼上的最有可能錯誤映射作為該碼所對應拓撲圖中與錯誤圖樣相對應的最短距離。然而,由于量子糾錯碼獨特的簡并錯誤以及MWPM在錯誤相關性上探測的局限性，其譯碼效果性能仍未能達到人們的期望。

近年來，機器學習正逐步被引入到量子信息與量子計算中來。已有的研究成果表明，借助機器學習可以有效地解決量子信息處理中的若干難題。考慮到量子譯碼算法的重要性，基于神經網絡的譯碼技術正逐步引起人們的關注[2-3]。例如，對于拓撲量子碼而言，文獻[4]提出了一種基于全連接神經網絡的拓撲量子碼的譯碼策略。在該策略中，通過給定訓練樣本與標簽，可以探測錯誤之間的相關性，明顯緩解MWPM算法所固有的譯碼缺陷。

然而，全連接網絡在應用于拓撲量子碼的譯碼時，存在譯碼復雜度高、耗時相對較長的問題，這對拓撲量子碼在實際中的應用十分不利。一方面，卷積神經網絡由于所需的參數相對較少，在圖像分析和處理領域有廣泛應用；另一方面，拓撲量子碼是一種基于拓撲結構的量子糾錯碼，其在平面上的展開就是一個個的二維結構，有著圖的結構特點，這給了我們將卷積神經網絡應用在拓撲碼譯碼器上的新思路。

為此，在本文中，考慮基于卷積神經網絡開展拓撲量子譯碼算法的設計，并通過實驗仿真對構造的卷積神經網絡譯碼器進行測試與驗證。實驗表明，本文所提的譯碼器同樣可以克服MWPM所存在的不能有效識別量子錯誤的相關性這一問題，譯碼性能獲得明顯提升。并且由于相對全連接神經網絡所需的參數更少，因而譯碼時效性也更強。

1 相關背景知識

1.1 量子穩定子碼與拓撲量子碼

量子穩定子碼(Quantum Stabilizer Code)也稱加性量子碼，是目前量子糾錯碼的研究主流[5-9]，其結構類似于經典線性碼，其碼字空間是由所有穩定子生成子的本征值為1的共同本征態所構成[5-8]。這里所謂的穩定子是由Pauli算子的乘積構成，對于量子穩定子碼而言，要求所有的生成子彼此間相互對易，其角色相當于經典線性碼的校驗矩陣[8]。

量子糾錯碼中的錯誤種類很多，但Shor和Steane將復雜的量子態錯誤簡化為單個量子位上的比特翻轉錯誤、相位翻轉錯誤和比特翻轉加相位翻轉錯誤，分別對應X、Y、Z三個Pauli矩陣[5]。隨后，Preskill指出單量子比特上發生的任意錯誤，都可能被視為以上三種錯誤的線性組合。這樣對量子比特上錯誤的糾正，演變成對其上發生的X、Y、Z這三種錯誤的識別。

拓撲量子碼(Topological Quantum Code)是具有良好抵抗噪聲能力的一類穩定子碼[9-10]，區別于其他穩定子碼的顯著特點是其穩定子生成子的幾何局部性。換句話說，該碼的物理比特以規則的拓撲結構相互關聯構成，且在某個幾何區域內，每個穩定子的生成子都由恒定數量的量子比特支撐，例如Toric碼。一般而言，該穩定子的非零元素個數相對物理量子比特的個數要小很多，因此也屬于量子低密度奇偶校驗(Low Density Parity Check)碼的一種，常見的拓撲穩定子碼包括Toric碼、Surface碼、Color碼以及它們的高維形式。

1.2 拓撲碼的最佳匹配算法

拓撲碼最佳匹配算法的基本思想是在圖中求最短路徑和[11]。以Toric碼為例，該算法的匹配過程如圖1所示。

(a) 上下、左右兩個syndrome 之間的最短路徑

圖1(a)和圖1(d)是5×5的Toric碼，其中藍色標識是穩定子測量后得到的錯誤圖樣(Syndrome)為-1的位置。依據編碼理論可知，一個碼字中發生少量錯誤的概率大于發生多個錯誤的概率，同樣的結論也適用于量子糾錯碼。Toric碼里，經過一個量子比特(圖1(a)中的空心圓圈)計為一個單位長度，圖1(a)中任意兩個錯誤之間的最短距離可以表示成圖的形式，如圖1(b)所示。MWPM算法就是找到圖1(b)中包含所有錯誤的最短路徑，如圖1(c)所示，最后再映射回Toric碼上如圖1(d)所示，其中綠色標識就是找到的最短錯誤鏈。從這個匹配過程中可以看出，MWPM算法就是找到能將所有的錯誤圖樣串聯起來的最短路徑。

2 基于卷積神經網絡的拓撲量子碼的譯碼設計

對于量子穩定子碼，之前提到的MWPM譯碼算法并非是最佳的譯碼算法，原因在于其無法最佳地檢測Y錯誤，即同一量子比特上的比特翻轉錯誤和相位翻轉錯誤的結合，MWPM譯碼算法將其視為兩個獨立的錯誤[4,9]，忽略了兩者之間的相關性。雖然可以對該算法進行改進，用來解釋錯誤之間的相關性。但因為在時間開銷上較大，它們并不利于實際應用。

幸運的是，這些錯誤相關性可以用神經網絡的模式匹配能力來識別。在文獻[4]中，蔣良教授課題組提出一種基于神經網絡的量子穩定子碼譯碼器，其中神經網絡用的是全連接前饋神經網絡，隱藏層中的每個神經元都與前后面層中的神經元相連，且有多個隱藏層。該譯碼器在糾錯能力上要優于經典的最小權重最佳匹配譯碼器。但相應的，因為全連接的前饋神經網絡層與層之間是完全關聯的，一旦網絡深度增加，參數量會非常多，整個網絡的計算量將會變得非常大，從而給梯度下降法訓練全連接網絡帶來極大困難。

考慮到卷積神經網絡所需的參數相對較少，在圖像分析和處理領域廣泛應用，而拓撲量子碼在平面上的展開恰是一個個二維結構，具有圖的顯著特征。為此，本文基于卷積神經網絡設計實現拓撲量子碼的譯碼器，用于識別量子比特上的錯誤關聯，在提高譯碼性能表現的同時，降低譯碼時延。基本思路是：以Toric碼的X和Z穩定子的測量結果及其對應的錯誤作為訓練數據訓練網絡，使其具備預測Toric碼中的每個量子比特上發生X和Z錯誤的概率分布的能力，再通過采樣和硬判決取出一個預測的錯誤，驗證該錯誤是否能產生同樣的錯誤圖樣。如果不能，就重復采樣，同時設置最大迭代次數。如果超過最大迭代次數還找不到真正的錯誤，就放棄迭代，認為此次譯碼失敗。如果成功找到了對應的錯誤，則認為此次譯碼是成功的。具體的譯碼流程如圖2所示。

圖2 基于神經網絡的譯碼流程圖Fig.2 Flowchart of a neural network based decoding

這里的卷積神經網絡，需要有有多個卷積層，這是因為單個卷積層學到的特征一般比較局限。其中的下采樣層(池化層)用來完成對特征的篩選，以進一步減少參數量。而Softmax層的作用是對全連接層的輸出做歸一化處理，轉換為概率輸出。卷積網絡的輸入是測量所得的錯誤圖樣，輸出節點數量(輸出層的神經元數量)取為Toric碼量子比特數的兩倍。

3 仿真實驗

此次仿真實驗，考慮不同碼距的Toric碼在所設計的卷積神經網絡譯碼器下的表現。對于每個碼距的Toric碼，通過在譯碼器中輸入數量相同的測量錯誤圖樣，判斷并計算能夠成功找到對應錯誤的比例。訓練數據的生成是采用去極化信道，得到相應的錯誤圖樣和訓練數據。每個噪聲下最好的譯碼性能可能出現在不同的參數設置下，通過網絡搜索法進行迭代，并把相應的譯碼結果和MWPM譯碼器進行對比，如圖3所示。

圖3中橫坐標表示信道錯誤概率，縱坐標表示給定大小相同的驗證集，譯碼器成功譯碼的比例，d表示對應Toric碼的碼距。由圖3可知，CNN譯碼器的閾值門限約為0.162，較MWPM譯碼器有所上升。譯碼器閾值的提高，也表明CNN譯碼器對噪聲的抵抗能力得到相對提升，能夠容納更高的噪聲。

圖3 不同碼長下，CNN和MWPM譯碼器性能對比Fig.3 Decoding comparison between CNN and MWPM under different coding length

當信道錯誤概率低于閾值門限時，噪聲小、影響弱，如果擴大碼距，雖然譯碼器的譯碼能力是增加的，但是增加的程度會越來越小。因為隨著碼距的擴大，會使碼字的錯誤空間迅速增長。而當信道錯誤概率高于閾值門限時，噪聲的影響過大，嚴重干擾譯碼器的工作，如果再增加碼距，反而降低譯碼器的譯碼能力。

在相同的噪聲環境下，CNN譯碼器能夠獲得更高的譯碼性能，原因主要是CNN譯碼器在錯誤相關性上帶來的改善。為了說明這一點，圖4中給出在碼距為7時，只用Z穩定子和同時用X和Z穩定子的測量結果分別訓練卷積神經網絡所得到的譯碼性能圖。

圖4 d=7時CNN譯碼器探測錯誤相關性對比Fig.4 Comparison of CNN decoders on correlated errors under coding length being 7

在去極化信道下，發生X錯誤和Z錯誤是等概的，Y錯誤等價于同時發生X錯誤和Z錯誤；如果X和Z錯誤之間沒有相關性，則兩種錯誤就可以看作是獨立的，圖中的2條曲線應該重合。圖4表明，通過卷積神經網絡借助其特有的學習能力，能探測出來以上2種錯誤的相關性，改善了譯碼器性能，提高了糾錯能力。

卷積神經網絡比起全連接神經網絡，一個顯著特點就是參數量少，并由于卷積層中的參數可以共享，同時池化也降低了計算量。因此，訓練速度相對較快，消耗時間少。表1為bitch_size=512、d=5時，全連接神經網絡和卷積神經網絡在相同大小的訓練集下訓練一輪(epoch)平均所需的時間，從表中清楚地看出，卷積神經網絡的訓練速度明顯快于全連接神經網絡。

表1 兩種神經網絡訓練時間對比

4 結論

本文工作進一步表明，神經網絡譯碼器相比于傳統MWPM譯碼器在探測錯誤相關性上具備更強的能力，有助于提升譯碼器的糾錯能力。卷積神經網絡譯碼器相對于全連接神經網絡，參數量更少，在保證譯碼性能的同時，時間復雜度更低。未來的研究可以注重多元化的神經網絡與量子糾錯碼的編譯策略相結合。另外，目前的研究大多假設穩定子的測量過程是準確的，而實際中測量結果本身錯誤也難以避免，以上問題都將作為我們未來的研究工作。