基于雙弧陣的反卷積波束形成

龐桐桐

(昆明船舶設備試驗中心，云南 昆明 650200)

0 引言

目前世界各大國都致力于水下目標定位技術的研究，可分為主動法和被動法。主動法聲納本身要發射聲波,它把接收目標的反射波作為檢測與估計的基礎，主動聲納是我國海軍的主力水聲設備，但主動聲納的隱蔽性差。被動法聲納本身不發射聲波，它依靠目標輻射的聲波作為檢測和估計的基礎。被動聲納在偵察過程中具有隱蔽性好、不向外發波、不易被發現以及水下連續工作時間長等特點，在實際環境建設中起到的作用越來越大。被動聲定位的研究主要是對波束形成算法的研究。波束形成大致可分為兩類:常規波束形成和自適應波束形成[1]。

常規波束形成實用性強，受到廣泛的使用，但是其角度分辨力差也是不可避免的原因[2]，因此近些年研究人員對傳統方位估計算法進行了改進。比如：Yang TC受到圖像去模糊處理的反卷積算法的啟發，將解卷積算法引入到信號的方位估計中，該方法基于Richardson-Lucy算法提出，稱為反卷積波束形成[3]。但是此種反卷積求解信號方位的方式僅用于移不變陣型(均勻線陣、均勻圓陣)，其他陣型并無法使用。在R-L算法之后，研究人員將更多的優化方法放在了常規波束形成方位譜的后續處理上，比如2019年王悅關和馬曉川利用陣列響應矩陣和半正定規劃，通過卷積反演的方式將陣列孔徑的有限效應消除，在2-范數約束條件下重構空間譜[4]。

雖然反卷積波束形成的理論算法發展很好，但是陣型的使用局限性限制了反卷積波束形成的實際應用。相對來說，近些年提出的反卷積波束形成算法都是基于移不變陣型，如何在其他陣型的基礎上使用反卷積波束形成，是解決反卷積波束形成陣型局限性的關鍵問題。在2016年王瑞革和王法棟提出的基于虛擬陣列變換的共型陣列信號DOA估計中，找到了相應的解決思路：利用虛擬陣列變換的思想，采用ESRRIT算法和MUSIC算法相結合的方法實現了雙弧陣列信號二維角度估計[5]。因此也可以將虛擬陣列變換和反卷積波束形成聯合應用，實現反卷積波束形成在雙弧陣上的應用。

1 虛擬陣列變換

1.1 雙弧陣陣列模型

隨著探測目標的多樣性，水下機器人和陣列的組合逐漸成為一種發展趨勢，因此共形陣得到了極大的發展。

為了克服均勻線陣有效輻射角度僅有120°、均勻圓陣布防空間較大的缺點，在不影響水下機器人水下航行的前提下，采用與水下機器人配合度更高的雙弧陣，雙弧陣既有線陣分布簡單的特點，又存在圓陣一樣的弧度，一定程度上該弧度可以解決左右舷模糊的問題，具體陣列形狀如圖1所示。陣列放置方式為：以直角坐標系的原點為對稱中心，兩條圓弧陣對稱放置，陣元均勻地分布在圓弧上。陣列長度L是雙弧陣的總長度，陣列最大間距D是兩條圓弧間的最大距離。

圖1 雙弧陣陣列模型Fig.1 double arc array model

1.2 虛擬陣列變換

Θ=[θlθl+Δθθl+2Δθ…θr-Δθθr]，

(1)

A=[a(θl)a(θl+Δθ)…a(θr-Δθ)a(θr)]，

(2)

(3)

(4)

根據式(4)得出變換矩陣Bk表達式：

(5)

這樣的直接變換有一定的誤差，為了在區域Θ內得到相對精確的Bk，可以通過計算變換誤差來確定Bk。變換誤差α表示為

(6)

式中，|·|F表示2-范數。當α足夠小時，說明就可以接收當前的變換矩陣Bk，否則就要對觀察區域Θ進一步細分，重新計算變換矩陣Bk。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

2 反卷積波束形成

反卷積是信號處理中的常見手段，圖2所示的信號傳輸過程可表示卷積過程，卷積是在已知系統輸入函數x(t)和系統響應h(t)下求解系統輸出函數y(t)的過程。而反卷積的目的是找到卷積方程的解，反卷積既可作為系統辨識，即求解h(t)，也可作為信號檢測，即求解x(t)。利用時間采樣和空間采樣的對偶性，將原本應用于處理時間序列信號的反卷積技術應用在空間的陣列信號處理，也就是說，求解目標的幅度和角度可以采用信號檢測的思路。

圖2 信號傳輸過程Fig.2 Signal transmission process

圖像去模糊使用的反卷積算法的核心是Richardson-Lucy方法[1]，將圖像去模糊的解卷積方法運用到常規波束形成中，利用反卷積求解信號方向，一來可以避免方位估計中穩健性差的常見問題，二來可保留常規波束形成的低旁瓣。

在陣列信號處理中，陣元接收信號之間的關系可以看作是信源發出信號的平移，若想要得到輸入信號有一個簡單的方式：把每一個陣元接收到的信號平移，使之在時間上對齊，然后相加[8]。過程如圖3所示。

圖3 時域信號卷積過程Fig.3 Time domain signal convolution process

對比時域信號卷積過程(圖3)和信號傳輸過程(圖2)，相對應圖3中的系統函數可以表示為：

(11)

式中，m=0,1,…,M-1，這個處理器稱為延時求和波束形成器或常規波束形成器，根據信號模型可知系統函數可以等效為每一個角度的陣列指向性函數。

所以在陣列信號處理中，陣列的常規波束形成空間譜可以表示為每一個角度指向性函數與該角度信號源強度乘積之和，用積分表示為：

(12)

式中，P(θ)表示常規波束形成空間譜；S(?)表示目標函數，包含信源的方向、強度等信息；?表示信源方向；R(θ|?)表示關于?方向的陣列指向性函數。

對比式(11)和式(12)可得到類比關系：常規波束形成空間譜P(θ)等效為時域系統中的輸出信號y(t)；目標函數S(?)等效為時域系統中的輸入信號x(t)；陣列指向性函數R(θ|?)等效為時域系統中的系統函數h(t)，在反卷積中稱為點擴散函數(PSF)。根據信號線性系統移不變的性質類比指向性函數R(θ|?)的移不變性：當指向性函數R(θ|?)滿足空間移不變性，則有R(θ|?)=R(θ-?)，此時式(12)的疊加積分可以表示為：

(13)

因此，在常規波束形成空間譜P(θ)和自然指向性R(θ)已知的情況下，反卷積可以得到目標函數S(?)，理想情況下形式為δ函數，因此反卷積結果具有高分辨效果。陣列的自然指向性R(θ)是陣列的本身性質，不同的陣列自然指向性也不同，自然指向性的移不變性質直觀描述為：陣列指向性在θ域上，每一個?方向對應指向性函數圖像都一致。

2.1 基于移不變陣型反卷積波束形成

反卷積波束形成目的是在已知陣列自然指向性函數和常規波束形成空間譜的情況下，計算出目標信源的方位和幅度。根據常規波束形成空間譜表達式P(θ)=R(θ)*S(θ)可知，若想要求得目標信源S(θ)，需要知道陣列自然指向性函數R(θ)和常規波束形成空間譜P(θ)。由此就可以通過反卷積計算得出目標信源的方位[9]。反卷積波束形成是在常規波束形成的基礎上發展而來，因而繼承了常規波束形成穩健性和低旁瓣的優點。當真實陣元論陣元位置存在差距時，只要常規波束形成可以正常工作，反卷積波束形成就可以成功分辨出信號的方位。值得注意的是只有自然指向性移不變時，才能使用反卷積求解目標信源方向。

2.2 基于虛擬陣列的反卷積波束形成

由上述內容可知，雙弧陣不屬于移不變陣型，所以在一定的變換區間之內將雙弧陣變換為均勻線陣，根據反卷積波束形成得到該區間內準確的信號估計。基于虛擬陣列變換的反卷積波束形成估計過程如下：

① 將全空間分割成多個區域Θ，并對每一區域求解相應的虛擬線陣陣元數M、陣元間距D、變換矩陣Bk、Tk及相對應的點擴散函數PSF，并做好存儲；

3 仿真結果分析

3.1 均勻線陣常規反卷積波束形成

在仿真實驗中使用的是30元、陣元間距為0.18 m的均勻線陣。入射信號為遠場信號，信號頻率為4.1 kHz，采樣頻率為30 kHz，信號的快拍數為500，噪聲為加性高斯白噪聲。入射信號的入射角為0°，信噪比分別為5 dB和50 dB，常規波束形成(CBF)、反卷積波束形成(dCv)以及MUSIC方位估計對比如圖4所示。

(a) 信噪比為5 dB

從圖4(a)可以看出,反卷積波束形成得到了一個主瓣和旁瓣都優于常規波束形成的波束圖，且反卷積波束旁瓣按照常規波束圖起伏，但是此方法要比MUSIC的主瓣要寬一些，由此說明常規波束形成比反卷積的能量泄露要多；從圖4(b)可以看出,當信噪比增加至50 dB時，反卷積波束得到一個主瓣極窄，沒有旁瓣的波形，在此情況下反卷積波束形成的能量泄露極少。綜上可以得出，反卷積波束形成擁有高分辨的能力。

同時根據上述的對比可以發現反卷積波束形成的主瓣寬度與信噪比有關，而且波束形成的主瓣寬度本身就與陣元數相關，繼而觀察主瓣寬度與信噪比以及陣元數的關系，如圖5所示。

從圖5(a)可以看出,當信噪比達到10 dB時，3種算法的主瓣寬度逐漸趨于穩定，且主瓣寬度始終呈以下關系：CBF>dCv>MUSIC；從圖5(b)可以看出,隨著陣元數的增加、3種算法方位譜的減小，說明陣元數對主瓣寬度影響較大。綜上分析可知，反卷積波束形成在高信噪比和多陣元的情況下，主瓣寬度小，分辨性能好。

(a) 當陣元數為30時，主瓣寬度與陣元數關系

3.2 雙弧陣反卷積波束形成

根據上述雙弧陣模型，假設陣列采用24元雙弧陣，陣元間距為0.18 m，子陣列最大間距D為0.5 m。仿真實驗使用的雙弧陣陣元位置圖如圖6所示。

圖6 雙弧陣陣元坐標仿真圖Fig.6 Element coordinate simulation diagram of double arc array

3.3 雙弧陣反卷積波束形成

3.3.1 單信源雙弧陣反卷積方位估計

根據2.2節描述，對雙弧陣使用反卷積波束形成進行方位估計，將24元雙弧陣虛擬變換為85元均勻線陣，稱之為虛擬線陣。虛擬變換預處理的變換區域為8°～14°，變化步長為0.001°。單信源雙弧陣方位估計對比如圖7所示。表1為圖7信號方位估計的具體數值，由表1可知，3種方法的方位估計值都比較準確，尤其是虛擬線陣dCv的方位估計更貼近真實值。在85元的虛擬線陣下，3種方法波束的寬度如表1所示。綜上在虛擬變換范圍內，反卷積波束形成的波束寬度更小，方位估計更優秀。

圖7 單信源方位估計譜對比Fig.7 Spectrum comparison of single source DOA estimation

表1 信號方位估計與主瓣寬度的對比

3.3.2 相干信源雙弧陣反卷積方位估計

虛擬變換預處理的變換區域為8°～14°，變化步長為0.001°。相干信號雙弧陣方位估計對比如圖8所示。圖8(a)中 T前表示未進行Toeplitz解相干，T后表示Toeplitz解相干后。從圖8可以看出，相干信號解相干前后的區別在于：dCv一直比虛擬線陣CBF的主瓣寬度小，說明dCv算法的分辨性能好于虛擬線陣CBF。但是有一點值得注意，解相干前后虛擬線陣CBF方位譜幾乎重合，反卷積波束形成方位譜也幾乎重合，說明相干信號對CBF的影響較小，而dCv也擁有較為穩定的性質。對比表2中數據可知，反卷積波束形成方位估計值更靠近實際值，說明反卷積波束形成在分辨角度的同時估計效果也不錯。綜上分析可知，說明在相干信號的影響下反卷積波束形成依舊可以保持高分辨性能。

(a) 空間信號方向10°和12°解相干后雙弧陣方位估計對比

表2 信號解相干前后方位估計值對比表

3.3.3 多信源實驗數據處理結果分析

實驗于2018年7月在千島湖進行。實驗采用移動聲源的方式來改變信號方位，聲源位于水下30 m，信號頻率為4.1 kHz，采樣頻率為25 kHz，信號范圍是[-π ,π]。陣元按照雙弧陣的仿真位置固定在架子上保持不動，布放深度30 m，為保證信號方位，以正北方向為參考方向，在實驗過程中需要對陣列做方位變換。為驗證解相干后反卷積波束形成分辨兩相近信號的能力，將兩組實驗數據相加構造相近信號。此時需要說明：① 信號的真實方向由GPS測量獲得，不一定準確；②在實際實驗數據收集過程中，并沒有記錄信號的真實方向；③ 實驗時并沒有實時進行陣列校正，而且現有實驗數據實現不了陣元位置的自校正，所以實驗中使用測量坐標進行方位估計。

舉例對分辨信號能力進行分析，相鄰的兩個信號的方位譜及相加后的方位譜如圖9所示。

(a) 信號S1方位譜

圖中標出兩個相鄰的信號，角度估計分別是111.4°和114.6°，而兩信號相加后CBF和MUSIC算法的估計角度為113.1°，說明CBF和MUSIC算法無法分辨這相差3°的信號。

根據本文給出的虛擬線陣解相干和反卷積波束形成的方式對上述合成信號進行方位估計，方位估計譜如圖10所示，圖中“V”表示虛擬陣列變換，“T”表示Toeplitz解相干后。為分辨上述信號將虛擬變換區間設置為10°，從圖10(b)可以看出，虛擬線陣的常規波束形成(V-CBF、V-CBF-T)可以分辨兩信號，但是信號估計值不夠準確，而反卷積波束形成算法(dCv和dCv-T)是可以準確分辨這兩個相鄰信號，即分辨出相鄰信號111.4°和114.6°，說明該算法可以有效的分辨相鄰兩信號。

(a) 信號S1+S2反卷積波束形成方位譜

因此可以看出，當存在兩個相鄰信號時，解相干前后的虛擬線陣都是失效的，無法使用；而反卷積波束形成在常規波束形成的失效的情況下依然可以準確分辨相鄰兩信號，雖然會出現一個多途信號，但并不影響對信號方位的估計和分辨，為水下定位奠定基礎。

4 結束語

反卷積波束形成是建立在常規波束形成上的算法，所以常規波束形成方位估計的性能決定了反卷積波束形成的方位估計性能。移不變陣型使用傳統的反卷積波束形成；對于移變陣型經過虛擬陣列變換預處理后，再用傳統的反卷積波束形成。從仿真實驗結果可以看出：

① 基于移不變陣列反卷積波束形成有下列優點：反卷積波束形成的波束寬度比常規波束形成小的多；陣列越長，反卷積波束形成波束寬度越小。

② 基于雙弧陣反卷積波束形成在虛擬陣列變換的預處理之后，性能變好，而且解相干處理之后可以準確分辨相鄰2°的信號。

③ 對于多信源實驗數據，經過虛擬陣列變換預處理，解相干和反卷積波束形成效果較好，而且對環境的包容性較好，算法的穩定性也高，雖然出現多途信號，但是并不影響算法的分辨性能和估計準確性。

綜上分析，經過虛擬陣列變換預處理的雙弧陣反卷積波束形成繼承了常規波束形成的穩健性同時，還擁有窄主瓣、低旁瓣的優良性能，因此雙弧陣反卷積波束形成有較好的信號方位估計分辨力。后續研究的重點應該放在兩方面：解決當雙目標位于不同的虛擬陣列變化區域Θ時，反卷積波束形成該如何方位估計；是否可以將反卷積波束形成直接應用于雙弧陣或者其他任意陣型。