Hilbert K-子模上廣義框架的(強)可補性

董芳芳, 裴瑞昌

(天水師范學院數學與統計學院 甘肅 天水 741001)

0 引言

HilbertC*-模和Hilbert空間的主要不同在于： HilbertC*-模不一定可補并且不一定存在標準正交基[1]， 而HilbertK-模是一種特殊的HilbertC*-模， 其中底代數K為作用在Hilbert空間上的全體緊算子組成的C*-代數， 不過文獻[2]中證明了HilbertK-模一定有特殊的標準正交基， 因此研究HilbertK-模上框架的可補性很有意義.

由于對HilbertK-模，I?K， 因此HilbertK-模無法膨脹， 從而只能在HilbertK-模本身上引入(廣義)框架的(廣義)框架變換[3]. 本研究的主要創新點： 一方面， 由于HilbertK-模無法膨脹， 加上可補性揭示兩廣義框架變換的值域是“不交生成”還是“正交生成”整個HilbertK-模M， 因此， 在HilbertK-模M的子模M1(M1?M)到M之間引入了廣義框架的廣義框架變換.另一方面， 在HilbertK-模M到廣義框架變換的值域Φ(M1)之間引入了正交投影， 研究了廣義框架變換和正交投影的關系， 再以廣義框架變換為橋梁和紐帶， 將廣義框架的(強)可補性與正交投影掛鉤， 得到了廣義框架的(強)可補的充要條件， 并將其進行了推廣.

1 預備知識

定義1[2]設K為作用在Hilbert空間Η上的全體緊算子組成的C*-代數，Μ是復數域C上的線性空間，Μ是左K-模， 滿足：μ(kx)=(μk)x=k(μx).其中, ?μ∈C，k∈K，x∈Μ， 若〈·, ·〉:Μ×Μ→K具有性質:

ⅰ) 〈x,x〉≥0， ?x∈Μ； ⅱ) 〈x,x〉=0?x=0， ?x∈Μ；

ⅲ) 〈x,y〉=〈y,x〉*， ?x,y∈Μ； ⅳ) 〈kx,y〉=k〈x,y〉， ?k∈K， ?x,y∈Μ；

ⅴ) 〈x+y,z〉=〈x,z〉+〈y,z〉， ?x,y,z∈Μ.

定義3[5]設M，Nj均為HilbertK-模， 稱{Λj,j∈J}為M關于Nj的廣義標準正交基， 若滿足：

定義6M，Nj，M1和M2同定義5， 設{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}分別為M1和M2關于Nj的廣義框架， 定義直和：Aj⊕Bj:M1⊕M2→Nj， 使得對任意的x∈M1，y∈M2， (Aj⊕Bj)(x⊕y)=Aj(x)+Bj(y).

定義7稱{Aj，j∈J}為HilbertK-模M關于Nj的廣義Hilbert基， 若滿足：

1) {Aj，j∈J}為M關于Nj的廣義框架；

2 正交投影和廣義框架變換之間的關系

定理1設M為HilbertK-模，M1為M的子模， {Aj，j∈J}為M1關于Nj的以a>0為廣義框架界的廣義緊框架，Φ為{Aj，j∈J}的廣義框架變換，P為M到Φ(M1)上的正交投影， 則ΦΦ*=aP.

再由x的任意性有：ΦΦ*=aP.

3 Hilbert K-子模上廣義框架的(強)可補性

定義8M，Nj，M1和M2同定義5， {Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}分別為M1和M2關于Nj的廣義正規緊框架， 若{Aj⊕Bj，j∈J}為M1⊕M2關于Nj廣義標準正交基， 則稱{Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}強可補； 設{Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}分別為M1和M2關于Nj的分別以a>0，b>0為廣義框架界的廣義緊框架， 若{Aj⊕Bj，j∈J}為M1⊕M2關于Nj的廣義Hilbert基， 則稱{Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}可補.

定理2M，Nj，M1和M2同定義5， {Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}依次為M1和M2關于Nj的廣義(正規)緊框架，Φ1:M1→M，Φ2:M2→M分別為其廣義框架變換，P:M→Φ1(M1)和Q:M→Φ2(M2)均為正交投影.則以下結論成立:

① {Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}強可補當且僅當P⊥Q且P+Q=I， 即P=Q⊥；

② {Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}可補當且僅當aP+bQ=I， 且P(M)∩Q(M)={0}.

事實上， 對任意的x∈M1，y∈M2， 有：

最后， 由于{Aj⊕Bj，j∈J}為廣義標準正交基當且僅當對任意的gj∈Nj， 下式成立：

從而結合定理1有：

綜上， {Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}強可補當且僅當P⊥Q且P+Q=I， 即P=Q⊥.

② 由于{Aj⊕Bj，j∈J}為M1⊕M2關于Nj廣義Hilbert基， 從而其一定為M1⊕M2關于Nj的廣義框架.因此， 存在c>0，d>0， 使得對任意的x∈M1，y∈M2， 有:

結合文獻[4]中定理2的證明過程可知： 上式成立當且僅當Φ1(M1)∩Φ2(M2)={0}.而P(M)=θ1(M1)，Q(M)=θ2(M2)， 因此，θ1(M1)∩θ2(M2)={0}當且僅當P(M)∩Q(M)={0}， 即{Aj⊕Bj，j∈J}為M1⊕M2關于Nj廣義框架當且僅當P(M)∩Q(M)={0}.

即aP+bQ=I； 反之， 若aP+bQ=I， 顯然有：

綜上， {Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}當且僅當aP+bQ=I， 且P(M)∩Q(M)={0}.