最大值與最小值的數學期望的幾種求法

王瑞瑞 李金偉 李彩娟

【摘要】針對一類特殊的多維隨機變量函數——最大值和最小值的數學期望求解問題，本文給出了四種計算方法，并指出各種計算方法的適用情況，以期能夠使學生開闊思路，做到舉一反三、觸類旁通.

【關鍵詞】數學期望;分布;最大值;最小值

【基金項目】河南省高等學校教改項目（2019SJGLX504），2020年度信陽市哲學社會科學規劃項目（2020SH021），信陽學院校級教改項目（2020YJG018，2019YJG26）

1引言

數學期望，又稱期望或均值，是隨機變量按概率的加權平均，表征其概率分布的中心位置[1].數學期望是概率論早期發展中就已產生的一個概念，最初起源于歷史上著名的“分賭本問題”[2].隨機變量數學期望研究的文獻較多，如，王瑞瑞等關于負二項分布的數學期望和方差的一種求法[3]，丁黎明關于隨機變量數學期望的教學實踐與探索[4]，孫莉敏等關于連續隨機變量數學期望的定義式的推導[5]等.

在實際生活中，我們常常要用到一類特殊的多維隨機變量的函數——最大值和最小值.如，為研究某地區未來五十年澇災或干旱發生的可能性，我們就需要研究該地區過去五十年中最大年降雨量和最小年降雨量.又如，實際生活中某地區的最大風速、最大車流量、最小損耗等均與最大值和最小值有直接的關系.同時，計算最大降雨量、最大風速、最大車流量等的平均值，均需計算最大值的數學期望;而計算最小降雨量、最小損耗等的平均值，則需要計算最小值的數學期望.

而關于最大值和最小值這類特殊的多維隨機變量函數的數學期望研究的文獻資料較少，羅建華僅給出了二維正態分布的最大值數學期望的求法[6，7].故筆者結合自身教學實踐，給出了最大值和最小值數學期望的四種計算方法，并指出各種計算方法的適用情況.

2預備知識

定理1[1，2]若隨機變量X的分布列為p（xi）或密度函數為p（x），則X的某一函數g（X）的數學期望為

E[g（X）]=∑ig（xi）p（xi），離散，∫+∞-∞g（x）p（x）dx，連續

定理2[1，2]若二維隨機變量（X，Y）的聯合分布列為p（xi，yj）或聯合密度函數為p（x，y），則Z=g（X，Y）的數學期望為

E[g（X，Y）]=∑i∑jg（xi，yj）p（xi，yj），離散，∫+∞-∞∫+∞-∞g（x，y）p（x，y）dxdy，連續

3最大值和最小值數學期望的幾種求法

方法一直接計算法.先寫出（X，Y）的聯合分布列或聯合密度，再利用上述定理2直接對最大值最小值的數學期望進行求解.

例1系統L由兩個相互獨立的子系統L1，L2并聯而成，設L1，L2的壽命分別為X，Y，且均服從指數分布Exp（λ），試求該系統L的平均壽命.

解由于當且僅當L1，L2都損壞時，系統L才停止工作，所以系統L的壽命為Z=max{X，Y}，

故求系統L的平均壽命即求E（max{X，Y}）.

因X和Y獨立同分布于指數分布Exp（λ），從而（X，Y）的聯合密度函數為

p（x，y）=λ2e-λx-λy，x>0，y>0，0，other.

由定理2，得

E（Z）=∫+∞0∫+∞0max{x，y}·λ2e-λx-λydxdy

=∫+∞0∫x0x·λ2e-λx-λydxdy+∫+∞x∫y0y·λ2e-λx-λydxdy

=∫+∞0xλ2e-λxdx∫x0e-λxdy+∫+∞0yλ2e-λydy∫y0e-λxdx=∫+∞0x·λe-λxdx+∫+∞0e-2λxdx=1λ+12λ=32λ.

注1 方法一通過對最大值max{X，Y}討論進行分段積分達到計算的目的（同理可對最小值min{X，Y}討論），在計算過程中充分運用了分部積分法、換元積分法、變上限積分和常見分布的數學期望公式等內容.上述方法雖能將二維隨機變量的最大值或最小值的數學期望求出，但計算過程較煩瑣.特別地，當面對的是n維隨機變量的最大值或最小值的數學期望求解時，上述方法的計算過程會更加復雜，此時我們可采用第二種求解方法.

方法二先求出最大值或最小值的分布，然后根據定理1求出其數學期望.

例2設在區間（0，1）上隨機抽取n個點，求相距最遠的兩點間距離的數學期望.

解若記從區間（0，1）上隨機抽取的n個點為X1，X2，…，Xn，則X1，X2，…，Xn獨立同分布于（0，1）上的均勻分布.又記Y=max{X1，X2，…，Xn}，Z=min{X1，X2，…，Xn}，則相距最遠的兩點間距離即為Y-Z.因此，本題即求最大值與最小值差的數學期望E（Y-Z）.

因X1，X2，…，Xn獨立同分布于（0，1）上的均勻分布，故其密度函數和分布函數分別為

p（x）=1，0

故Y=max{X1，X2，…，Xn}的分布函數為

FY（y）=P（Y≤y）=P（max{X1，X2，…，Xn}≤y）

=P（X1≤y，X2≤y，…，Xn≤y）=P（X1≤y）P（X2≤y）…P（Xn≤y）=[F（y）]n=yn，0

從而Y的密度函數為pY（y）=nyn-1，0

同理Z=min{X1，X2，…，Xn}的分布函數為

FZ（z）=P（Z≤z）=P（min{X1，X2，…，Xn}≤z）

=1-P（min{X1，X2，…，Xn}>z）

=1-P（X1>z，X2>z，…，Xn>z）

=1-（1-F（z））n=1-（1-z）n，0

從而Z的密度函數為pZ（z）=n（1-z）n-1，0

由定理1，可知

E（Y）=∫10y·nyn-1dy=nn+1，

E（Z）=∫10z·n（1-z）n-1dz=∫10（1-t）·ntn-1dt（t=1-z）=tn10-nn+1tn+110=1-nn+1=1n+1.

從而，相距最遠的兩點間距離的數學期望為

E（Y-Z）=nn+1-1n+1=n-1n+1.

注2關于多維隨機變量的最大值、最小值的數學期望的計算，相較于計算多重積分，計算定積分更加容易，故方法二是先求出多維隨機變量的最大值、最小值的分布，然后將多維隨機變量的最大值、最小值的數學期望的多重積分計算轉化為一維隨機變量的數學期望的定

積分計算.

顯然例1可用方法二求解，但例2一般不用方法一求解.由于方法二需要先求出最大值、最小值的分布函數，故當隨機變量Xi的分布函數不存在顯式表達式時，方法二則不適用.如例3，因為服從正態分布的隨機變量的分布函數沒有顯式表達式.此時，可以考慮利用方法三求解最大值、最小值的數學期望.

方法三利用max{X，Y}=X+Y+X-Y2和min{X，Y}=X+Y-X-Y2求解.

例3設隨機變量X與Y相互獨立，都服從正態分布N（μ，σ2），試證E（max{X，Y}）=μ+σπ.

證因max{X，Y}=X+Y+X-Y2，故

E[max{X，Y}]=12[EX+EY+EX-Y].

由X，Y獨立同分布于正態分布N（μ，σ2），可知EX=EY=μ，且Z=X-Y～N（0，2σ2），故Z的密度函數為pZ（z）=12σπe-z24σ2，-∞

EX-Y=EZ=∫+∞-∞z12σπe-z24σ2dz

=2∫+∞0z·12σπe-z24σ2dz（被積函數為偶函數）

=-4σ22σπe-z24σ2+∞0=2σπ.

于是

E[max{X，Y}]=EX+EY+EX-Y2=μ+σπ.

結論得證.

注3方法三更適用于“兩個”隨機變量的最大值、最小值的數學期望的求解問題，且要求容易求出差（X-Y）的分布，從而該方法也將多維隨機變量最大值、最小值的數學期望的多重積分計算問題轉化為一維隨機變量的數學期望的定積分計算問題.當（X，Y）的聯合密度函數p（x，y）的非零區域D關于x，y具有輪換對稱性，即若把x與y對調后，區域D不變（或區域D關于y=x對稱）時，還可用如下方法四求解最大值、最小值的數學期望.

方法四利用二重積分的輪換對稱性進行計算.

例4設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從正態分布N（0，1），試求E（min{X，Y}）.

解因X和Y相互獨立，且都服從正態分布N（0，1），從而（X，Y）的聯合密度函數為

p（x，y）=12πe-x2+y22，-∞

由定理2，得

E（min{X，Y}）=∫+∞-∞∫+∞-∞min{x，y}·12πe-x2+y22dxdy（*）

當y

∫+∞-∞∫x-∞y·12πe-x2+y22dydx（1）

當y≥x時，（*）式右端的積分為

∫+∞-∞∫y-∞x·12πe-x2+y22dxdy（2）

由于式（1）（2）積分中x與y對調后，積分表達式不變，故由輪換對稱性，得

E（min{X，Y}）=2∫+∞-∞∫x-∞y·12πe-x2+y22dydx =1π∫+∞-∞e-x22-e-y22x-∞dx

=-1π∫+∞-∞e-x2dx=-1π.

注4由上例可知，方法四適用于二維（多維）隨機變量的聯合密度函數的非零區域D把x與y對調后，區域D不變，即區域D關于y=x對稱的情形.顯然例4也可以用方法三求解，但例3則不能用方法四求解.

4結語

最大值與最小值作為一類特殊的多維隨機變量的函數，其應用的廣泛性使得它們對數學期望的研究顯得尤為重要.本文所給出的幾種求解方法，涉及數學期望的定義、指數分布、均勻分布、正態分布、定積分、變上限積分、多重積分、偶函數的積分、輪換對稱性、差的分布等重要內容.學生能夠理解并掌握相關概念公式，準確熟練地運用概率論和數學分析知識是以上各種方法得以實現的前提和關鍵.概率論中一題多解的情況有很多，作為教師，在平時的教學中要對學生進行必要的創造性思維能力的訓練，從而不斷激發學生學習的積極性和主動性，培養其創新能力.

【參考文獻】

[1]李賢平.概率論基礎（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2014，184-1186，192.

[2]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2019，69-70.

[3]王瑞瑞，李金偉.負二項分布的數學期望和方差的一種求法[J].高師理科學刊，2019，39（12）：55-57.

[4]丁黎明.隨機變量數學期望的教學實踐與探索[J].淮北職業技術學院學報，2020，19（02）：32-34.

[5]孫莉敏，張聰，黃善祖等.關于連續隨機變量數學期望的定義式的推導[J].數學學習與研究，2016（15）：129.

[6]羅建華，王浩波.一道概率論習題的證明[J].高等數學研究，2008，11（04）：67-68.

[7]羅建華.透過一道習題看概率論教學[J].大學數學，2008，24（03）：152-155.