羅素悖論的產生原因及排除方法

王海東

【摘要】羅素悖論的產生原因在于沒有將每個數學對象都視為屬于自身存在的數學對象.羅素悖論的排除方法在于將每個數學對象都視為屬于自身存在的數學對象，要想將每個數學對象都視為屬于自身存在的數學對象，就必須在集合論中引入自我歸屬定理.

【關鍵詞】羅素悖論;屬于關系;自我歸屬定理

一個“幽靈”在集合論中徘徊.這個幽靈就是羅素悖論.

羅素悖論：是指屬于一個集合的元素不屬于自己，或屬于自己的元素不屬于一個集合.二者必居其一.

羅素悖論可以用以下公式表示：

xy（y∈xyy∨y∈yyx）

從這個公式來看，如果羅素悖論成立，那么屬于一個集合的元素不屬于自己，包含這個元素的集合也不屬于自己了.因為，在集合論的邏輯推理過程中，任何一個集合都有可能被定義為另一個集合的元素.這樣一來，集合論就產生了一個集合都不屬于自己的邏輯矛盾.

有人認為，集合論公理系統（ZFC）能夠從集合論中排除羅素悖論.因為，集合論公理系統（ZFC）包括外延公理、配對公理、并集公理、冪集公理、無窮公理、概括公理、替換公理、正則公理、選擇公理等九個公理.

外延公理可以用以下公式表示：

xy（x=yz（z∈xz∈y））

配對公理可以用以下公式表示：

xyz（z=（x，y））

并集公理可以用以下公式表示：

xy（y=∪x=（a|b（b∈x∧a∈b）））

冪集公理可以用以下公式表示：

xy（y=p（x）=（a|ax））

無窮公理可以用以下公式表示：

x（（a（a∈x））∧（y（y∈x→y∪{y}∈x）））

概括公理可以用以下公式表示：

yxz（y∈xy∈z∧p（y））

替換公理可以用以下公式表示：

uvw（φ（u，v）∧φ（u，w）→v=w）→xy（y=（v|u（u∈x∧φ（u，v））））

正則公理可以用以下公式表示：

x（x≠φ→y（y∈x∧x∩y=φ））

選擇公理可以用以下公式表示：

x（φxf：x→∪x=a（a∈x（f（a）∈a））

在這九個公理中，概括公理就是針對羅素悖論提出的一個公理.因為概括公理規定了集合概念的概括方法，所以概括公理限制了任意規定集合概念的現象.因為概括公理限制了任意規定集合概念的現象，所以概括公理消除了形成羅素悖論的可能性.又因為概括公理消除了形成羅素悖論的可能性，所以概括公理就把羅素悖論從集合論中排除出去了.

但是，實際情況并非如此.即使有了概括公理，我們仍然消除不了形成羅素悖論的可能性.不管我們怎樣在集合論中揮舞概括公理的“保護傘”，羅素悖論的陰影仍然神出鬼沒、無處不在.因為，我們可以從概括公理中推出以下公式：

yxz（y∈xy∈z∧p（x）z∈p（y）y∈p（y）yy）

從這個公式來看，概括公理只是把羅素悖論從一個集合推向了另一個集合.如果這樣推下去，羅素悖論將會出現在所有集合之中.

由此可見，概括公理不僅沒有把羅素悖論從集合論中排除出去，還把羅素悖論從集合論帶進了集合論公理系統（ZFC）.因為，出現在概括公理之中的羅素悖論，同樣可以出現在其他八個公理之中.

我們可以從外延公理中推出以下公式：

xy（x=yz（z∈xz∈y）zz）

我們可以從配對公理中推出以下公式：

xyz（z=（x，y）（x∈z，y∈z）（xx，yy））

我們可以從并集公理中推出以下公式：

xy（y=∪x=（a|b（（b∈xbb）∧（a∈baa））））

我們可以從冪集公理中推出以下公式：

xy（y=p（x）=（a|axa∈xaa））

我們可以從無窮公理中推出以下公式：

x（（a（a∈xaa））∧（y（（y∈xyy）→（y∪{y}∈x））））

我們可以從替換公理中推出以下公式：

uvw（φ（u，v）∧φ（u，w）→v=w）→xy（y=（v|u（（u∈xuu）∧φ（u，v））））

我們可以從正則公理中推出以下公式：

x（x≠φ→y（（y∈xyy）∧x∩y=φ））

我們可以從選擇公理中推出以下公式：

x（φxf：x→∪x=a（a∈x（f（a）∈a）aa））

從這些公式來看，集合論公理系統（ZFC）如同一個包含羅素悖論的公理系統.這個包含羅素悖論的公理系統肯定不是一個合理的公理系統，所以集合論公理系統（ZFC）的合理性將會受到嚴重質疑.

那么，怎樣才能從集合論中排除羅素悖論呢？顯然，要想從集合論中排除羅素悖論，就必須找到羅素悖論的產生原因.只有找到羅素悖論的產生原因，才能找到羅素悖論的排除方法.只有找到羅素悖論的排除方法，才能從集合論中排除羅素悖論.

那么，怎樣才能找到羅素悖論的產生原因呢？顯然，要想找到羅素悖論的產生原因，就必須從集合論的一個二元關系說起.這個二元關系就是在規定集合概念的數學公式中必須闡明的屬于關系.屬于關系就是某個數學對象屬于另一個數學對象的二元關系.

從屬于關系來看，當某個數學對象屬于另一個數學對象的時候，這個數學對象就被包含在另一個數學對象之中了.因此，屬于關系可以被理解為包含關系.包含關系就是某個數學對象包含另一個數學對象的二元關系.但是，屬于關系不僅可以被理解為包含關系，而且還可以被理解為等于關系.等于關系就是某個數學對象等于另一個數學對象的二元關系.包含關系可以推廣到等于關系.當某個數學對象等于另一個數學對象的時候，這個數學對象就如同被包含在另一個數學對象之中了.這種推廣到等于關系的包含關系稱為包含等于關系.包含等于關系就是某個數學對象包含等于另一個數學對象的二元關系.

由于屬于關系有兩種理解方法，所以羅素悖論也有兩種評價標準.如果我們把屬于關系理解為包含關系，羅素悖論就是一個可以成立的悖論.如果我們把屬于關系理解為等于關系，羅素悖論就是一個不能成立的悖論.

由此可見，羅素悖論隱含著一個理論假設：某個數學對象既可以屬于另一個數學對象，也可以屬于某些包含另一個數學對象的數學對象，但是不能屬于任何一個不包含另一個數學對象的數學對象.這個理論假設稱為羅素假設.羅素假設就是羅素悖論的理論依據.羅素悖論就是根據羅素假設提出的.

那么，羅素假設是否可以成立呢？顯然，如果羅素假設可以成立，我們不僅可以從中推出羅素悖論，而且可以從中推出羅素悖論的悖論.

羅素悖論的悖論可以用以下公式表示：

xyz（y∈xyyy∈zz∈xzzz∈yy∈x…）

從這個公式來看，如果屬于一個集合的元素不屬于自己，這個元素就屬于另一個元素了.如果這個元素屬于另一個元素，屬于一個集合的元素就不是這個元素了.按照這個推論不斷推導下去，我們會陷入一個永無止境的循環推理過程.在這個永無止境的循環推理過程中，每一個羅素悖論都會遭到下一個羅素悖論的否定.

由此可見，羅素假設是不能成立的，所以羅素悖論也是不能成立的.

但是，問題并沒有到此結束.因為，羅素假設不能成立并非意味著羅素假設絕對不能成立.羅素假設在一定條件下是可以成立的.這個假設是否成立是由某個數學對象的自身存在決定的.如果羅素假設不涉及某個數學對象的自身存在，羅素假設就是一個可以成立的假設.羅素假設如果涉及某個數學對象的自身存在，就是一個不能成立的假設.

那么，這個成立條件又是怎樣形成的呢？顯然，要想回答這個問題，就必須從屬于關系說到等價關系.等價關系也是集合論中的一個二元關系.這個二元關系具有自反性、對稱性和傳遞性三個基本特征.

自反性可以用以下公式表示：

a=a

對稱性可以用以下公式表示：

a=b，b=a

傳遞性可以用以下公式表示：

a=bb=ca=c

如果上述三個公式都可以成立，等價關系可以用以下公式表示：a～b

由此可見，等價關系是從等于關系中推導出來的.只要把屬于關系理解為等于關系，我們就可以將自反性、對稱性和傳遞性納入屬于關系.只要將自反性、對稱性和傳遞性納入屬于關系，我們就可以使屬于關系成為一種等價關系.

屬于關系的自反性可以用以下公式表示：

a∈a

屬于關系的對稱性可以用以下公式表示：

a∈b，b∈a

屬于關系的傳遞性可以用以下公式表示：

a∈bb∈ca∈c

這樣一來，我們就發現了一個十分重要的數學定理：在屬于關系成為一種等價關系的條件下，某個數學對象在屬于另一個數學對象的同時，不僅可以屬于某些包含另一個數學對象的數學對象，而且可以屬于一個不包含另一個數學對象的數學對象.這個不包含另一個數學對象的數學對象就是這個數學對象的自身存在.這個數學定理就是自我歸屬定理.

我們可以用以下公式證明自我歸屬定理：

已知

p∈q，

又知

p=pp（p∈pp=p）;

q=qq（q∈qq=q）

因此

pp（p∈pp=p）∈qq（q∈qq=q）.

證畢.

從這個證明過程來看，某個數學對象在屬于另一個數學對象之前就已經屬于自身存在了.某個數學對象只有在屬于自身存在的條件下才能屬于另一個數學對象.這種數學現象如同發生在我們身邊的一種社會現象.在這種社會現象中，我們每一個人只有在屬于自己的條件下才能屬于一個社會組織，才能使自己成為一個社會組織的合法成員.除非這個社會組織是一個奴隸制的社會組織.因為，在一個奴隸制的社會組織中，奴隸主屬于自己而奴隸不屬于自己.這種不屬于自己的人只能被視為奴隸主的一種財產，而不能被視為這個社會組織的合法成員.

由此可見，如果將每個數學對象都視為屬于自身存在的數學對象，任何兩個數學對象之間的屬于關系都不會產生羅素悖論.如果不將每個數學對象都視為屬于自身存在的數學對象，任何兩個數學對象之間的屬于關系都會產生羅素悖論.

綜上所述，羅素悖論的產生原因在于沒有將每個數學對象都視為屬于自身存在的數學對象，羅素悖論的排除方法在于將每個數學對象都視為屬于自身存在的數學對象.要想將每個數學對象都視為屬于自身存在的數學對象，就必須在集合論中引入自我歸屬定理.

【參考文獻】

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