一類周期函數(shù)廣義積分?jǐn)?shù)值方法

葛新廣 李宇翔 楊雪峰

摘? 要：工程領(lǐng)域中隨機(jī)振動(dòng)是一類非常普遍的現(xiàn)象，構(gòu)件動(dòng)力響應(yīng)常需要計(jì)算一類周期函數(shù)的廣義積分，目前現(xiàn)有的方法表達(dá)式復(fù)雜，計(jì)算精度和效率低下.利用周期函數(shù)的特點(diǎn)將廣義積分轉(zhuǎn)化為有限區(qū)間積分，獲得簡(jiǎn)明的封閉解，然后根據(jù)高斯-切比雪夫積分具有計(jì)算精度和效率高的特點(diǎn)，推導(dǎo)出該類廣義積分的新近似解.通過(guò)算例對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文所提方法的正確性和高效性，對(duì)解決工程領(lǐng)域的振動(dòng)響應(yīng)分析具有重要的參考價(jià)值.

關(guān)鍵詞：周期函數(shù) ;廣義積分; 高斯-切比雪夫積分; 簡(jiǎn)明近似解

中圖分類號(hào)：TU311.3;O21? ? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.03.001

0? ? 引言

隨機(jī)振動(dòng)存在于各類工程中，是工程設(shè)計(jì)中構(gòu)件安全設(shè)計(jì)必須考慮的重要因素[1-3]，而頻域法是求解各類工程結(jié)構(gòu)隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)的重要方法[4-5].李創(chuàng)第等[6]利用虛擬激勵(lì)法研究了非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)基于隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的譜矩，需要對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜在[0，+∞）的積分區(qū)間進(jìn)行數(shù)值積分.李暾等[7]利用二次正交化法研究了建筑結(jié)構(gòu)基于近似Davenport風(fēng)速譜的結(jié)構(gòu)隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)的簡(jiǎn)明封閉解，有效地提高了隨機(jī)響應(yīng)分析的精度和效率.而分析非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)[2-3]或考慮行波效應(yīng)的平穩(wěn)激勵(lì)[8]下的結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)時(shí)需要計(jì)算一類含有周期函數(shù)的2個(gè)積分：

[0∞sinωtp2+ω2dω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

[0∞ωcosωtp2+ω2dω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

其中：[t≥0]且為實(shí)數(shù)，p為常數(shù)且實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù).

目前對(duì)于上述2個(gè)積分的解法有基于留數(shù)定律[9-10]的解法，該解法異常復(fù)雜，將上述積分表示成指數(shù)積分的封閉解，且只能用于p為實(shí)常數(shù)的情況，而指數(shù)積分仍然為數(shù)值解.此外，針對(duì)上述2個(gè)積分，Newton-Cotes積分是一種直接方法[11]，其積分精度受積分步長(zhǎng)和積分上限的影響較大，且目前未見(jiàn)有積分上限取值的研究文獻(xiàn).高斯系列積分[11]利用帶權(quán)的正交多項(xiàng)式來(lái)計(jì)算積分，具有計(jì)算精度和計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)，有著廣泛的應(yīng)用.目前利用高斯積分研究式（1）、式（2）2個(gè)函數(shù)的積分的文獻(xiàn)鮮有.

針對(duì)式（1）、式（2）2個(gè)函數(shù)的積分，首先利用其周期性和收斂性的特點(diǎn)，將廣義積分轉(zhuǎn)變?yōu)橛邢迋€(gè)[0，[2π]]的積分，然后利用三角函數(shù)的特點(diǎn)，將 [0，[2π]]的積分變化為高斯-切比雪夫積分，從而提出了一種計(jì)算2個(gè)積分的新簡(jiǎn)明解.

1? ? 簡(jiǎn)明近似解

1.1? ?式（1）的近似解

利用sin函數(shù)的周期性，作如下變換：

[0∞sinωtp2+ω2dω=x=ωtt0∞sinxt2p2+x2dx=]

[tk=0∞02πsinxt2p2+x+2πk2dx]? ? ? ? ? ? ? （3）

由式（1）可知，隨著k的增加，積分項(xiàng)的值收斂于0，因此，實(shí)際應(yīng)用時(shí)k值取有限值.同時(shí)，從式（3）可知，積分上限由正無(wú)窮大換成[2π]，利用sin函數(shù)的特點(diǎn)，式（3）改寫為：

[0∞sinωtp2+ω2dω=tk=0∞Ak+Bk-tC]? ? ? （4）

式中：

[Ak=-π2π2 sinxt2p2+x+2πk2dx=y=sinx-11yt2p2+arcsiny+2πk21-y2dyBk=-π2π2 sinxt2p2+x+2πk+π2dx=y=sinx-11 yt2p2+arcsiny+2πk+π21-y2dy]（5）

[C=-π20 sinxt2p2+x2dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

式（5）中的[Ak]及[Bk]可統(tǒng)一表示為：

[Ak（Bk）=-11 （-1）kyt2p2+arcsiny+πk21-y2dy]（7）

高斯系列數(shù)值積分[11]具有計(jì)算速度快、精度高的特點(diǎn)，而式（7）滿足高斯-切比雪夫積分的積分區(qū)間[-1， 1]和權(quán)值函數(shù)[1-y2-0.5]，則式（7）的高斯積分為[8]：

[Ak（Bk）=-11 （-1）kyt2p2+arcsiny+πk21-y2dy=]

[i=1n（-1）kyit2p2+arcsinyi+πk2ai]? ? ? ? ? ? ? （8）

式中：[ai]為高斯求積系數(shù)，[i]為高斯積分點(diǎn)數(shù).

對(duì)式（6）采用復(fù)化Simpson公式計(jì)算：

[C=-π20sinxt2p2+x2dx=]

[h3-1t2p2+π2/4+4i=1msinx2it2p2+x22i+2i=1msinx2i-1t2p2+x22i-1] （9）

式中：[h=π4m]，[xi=-π2+ih]，[m]為節(jié)點(diǎn)數(shù).

把式（8）、式（9）代入式（4），得出：

[0∞sinωtp2+ω2dω=tk=0∞i=1n（-1）kyit2p2+arcsinyi+πk2-th3-1t2p2+π2/4+4i=1msinx2it2p2+x22i+2i=1msinx2i-1t2p2+x22i-1] （10）

1.2? ? 式（2）的近似解

利用cos函數(shù)的周期性，作如下變換：

[0∞ωcosωtω2+p2dω=x=ωt0∞xcosxx2+tp2dx=]

[k=0∞02π（2kπ+x）cos（x+2kπ）（2kπ+x）2+tp2dx]? ? ? （11）

由式（11）可知，隨著k的增加，積分項(xiàng)的值收斂于0，因此，實(shí)際應(yīng)用時(shí)k值取有限值.同時(shí)，從式（11）可知，積分上限可由正無(wú)窮大換成2p.利用cos函數(shù)的特點(diǎn)，式（11）改寫為：

[0∞ωcosωtω2+p2dω=k=0∞0π（2kπ+x）cosx（2kπ+x）2+tp2dx+]

[k=0∞π2π（2kπ+x）cosx（2kπ+x）2+tp2dx]? ? ? ?（12）

利用cos函數(shù)的特點(diǎn)，式（12）進(jìn)一步改寫為：

[0∞ωcosωtω2+p2dω=k=0∞0π（2kπ+x）cosx（2kπ+x）2+tp2dx-]

[k=0∞0π（2kπ+x+π）cosx（2kπ+x+π）2+tp2dx] （13）

最后式（13）簡(jiǎn)化為：

[0∞ωcosωtω2+p2dω=]

[k=0∞（-1）k+1π0（kπ+x）cosx（kπ+x）2+tp2dx]? ? ? ? ?（14）

對(duì)式（14）積分變換：

[0∞ωcosωtω2+p2dω=]

[k=0∞（-1）k+1-11-（kπ+arccosy）y（kπ+arccosy）2+tp21-y2dy]? （15）

式（15）滿足高斯-切比雪夫積分的積分區(qū)間? ? ?[-1， 1]，且權(quán)值函數(shù)為[1-y2-0.5]，則式（15）的高斯積分為[11]：

[0∞ωcosωtω2+p2dω=]

[k=0∞（-1）ki=1n（kπ+arccosyi）yiai（kπ+arccosyi）2+tp2]? ?（16）

式中：[ai]為高斯求積系數(shù)，[i]為高斯積分點(diǎn)數(shù).

2? ? 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文方法的計(jì)算精度和效率，以? ? ? ? [p=-3+4i? （i=-1）]為例，利用基于常規(guī)的數(shù)值積分方法和本文方法進(jìn)行計(jì)算和說(shuō)明.

[0∞sin4ω-3+4i2+ω2dω]? ? ? ? ? ? ? ?（17）

[0∞ωcos4ω-3+4i2+ω2dω]? ? ? ? ? ? ? ?（18）

對(duì)式（17）和式（18）采用梯形積分時(shí)，其表達(dá)式可表示為：

[0∞sinωtp2+ω2dω=]

[i=0n（12（sinωitp2+ω2i+sinωi+1tp2+ω2i+1）Δω）]? ? ? ? ? （19）

[0∞ωcosωtp2+ω2dω=]

[i=0n（12（ωicosωitp2+ω2i+ωi+1cosωi+1tp2+ω2i+1）Δω）]? ?（20）

式中：[ωi=iΔω]，[Δω]為積分點(diǎn)間距，i為整數(shù);n為積分上限值參數(shù).式（19）及式（20）的計(jì)算精度和效率受積分上限和積分間距2個(gè)因素影響，而對(duì)于本文方法則受積分上限和高斯積分點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響較大.為此，就上述2個(gè)因素進(jìn)行分析，具體見(jiàn)表1—表4.

從表1來(lái)看，式（17）利用本文方法計(jì)算時(shí)，當(dāng)上限[z≥]50，節(jié)點(diǎn)數(shù)[≥]8，所獲得積分結(jié)果已趨于穩(wěn)定.從表2可知，傳統(tǒng)數(shù)值積分法的積分上限[k≥]500 rad/s，積分間距[≤]0.001 0 rad/s，積分結(jié)果也趨于穩(wěn)定.比較穩(wěn)定后的數(shù)值可知，本文方法與傳統(tǒng)數(shù)值積分法非常接近，但本文方法在 [z=]50，節(jié)點(diǎn)數(shù)=8時(shí)，耗時(shí)為0.112 s;而傳統(tǒng)積分方法耗時(shí)在[k=]500 rad/s，積分間距=0.001 0 rad/s，耗時(shí)為0.315 s，說(shuō)明了本文方法的效率比傳統(tǒng)積分方法更高.此外，傳統(tǒng)積分方法的積分上限和積分間距需要在較大范圍內(nèi)去試算才能確定，而本文方法節(jié)點(diǎn)數(shù)和k值均較小，說(shuō)明本文方法計(jì)算穩(wěn)定性好.

從表3來(lái)看，式（18）利用本文方法計(jì)算時(shí)，當(dāng)上限[z≥]200，節(jié)點(diǎn)數(shù)[≥]10所獲得積分結(jié)果已趨于穩(wěn)定.從表4可知，傳統(tǒng)數(shù)值積分法的積分上限 [k≥]50 000 rad/s，積分間距[≤]0.001 0 rad/s，積分結(jié)果也趨于穩(wěn)定.比較穩(wěn)定后的數(shù)值可知，本文方法與傳統(tǒng)數(shù)值積分法非常接近，但本文方法在[z=]200，節(jié)點(diǎn)數(shù)=10時(shí)，耗時(shí)為0.407 s;而傳統(tǒng)積分方法在[k=]50 000 rad/s，積分間距=0.010 0 rad/s時(shí)，耗時(shí)為3.887 s，說(shuō)明了本文方法的效率比傳統(tǒng)積分方法更高.此外，傳統(tǒng)積分方法的積分上限和積分間距需要在較大范圍內(nèi)去試算才能確定，而本文方法節(jié)點(diǎn)數(shù)和k值均較小，說(shuō)明本文方法計(jì)算穩(wěn)定性好.

3? ? 結(jié)論

本文針對(duì)隨機(jī)振動(dòng)中兩類廣義積分[0∞sinωtp2+ω2dω]和[0∞ωcosωtp2+ω2dω]無(wú)簡(jiǎn)明解的問(wèn)題，利用周期函數(shù)和高斯-切比雪夫積分提出了一種計(jì)算精度和效率高的簡(jiǎn)明近似解.此外，傳統(tǒng)積分方法的積分上限和積分間距需要在較大范圍內(nèi)去試算才能確定，而本文方法節(jié)點(diǎn)數(shù)和k值均在較小的范圍內(nèi)試算就能確定，說(shuō)明本文方法計(jì)算上述兩類廣義積分具有較好的穩(wěn)定性.因此，本文方法對(duì)解決工程領(lǐng)域的振動(dòng)響應(yīng)分析具有重要的參考價(jià)值.

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Numerical method for generalized integral of a class of

periodic functions

GE Xinguang， LI Yuxiang， YANG Xuefeng

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： Random vibration is a very common phenomenon in the engineering field. The generalized integral of a class of periodic functions is often needed to calculate the dynamic response of? ? ? ? ? ? ?components. The existing methods have complex expressions and low calculation accuracy and? ? ? ? ? ?efficiency. In this paper， the generalized integral is transformed into a finite interval integral by using the characteristics of periodic function， and a concise closed solution is obtained. Then， a new? ? ? ? ? ? ?approximate solution of this kind of integral is derived by combining the high accuracy and efficiency of Gauss-Chebyshev integral. The correctness and efficiency of the proposed method are verified through the comparative analysis of examples， which has important value for solving the vibration? ? ? response analysis in engineering field.

Key words： periodic function; generalized integral; Gauss-Chebyshev integral; concise approximate? solution

（責(zé)任編輯：羅小芬、黎? ?婭）