基于現(xiàn)代控制理論的飛機(jī)橫航向控制律設(shè)計(jì)研究

劉詩(shī)超，翁雪花，鄒俊俊，冷國(guó)旗

（1.海裝駐南昌地區(qū)軍事代表室，江西 南昌，330024;2.航空工業(yè)洪都，江西 南昌，330024）

0 引言

對(duì)于電傳飛機(jī)而言，飛行控制系統(tǒng)相當(dāng)于人類的大腦，是至關(guān)重要的，而控制律設(shè)計(jì)作為飛行控制系統(tǒng)中的關(guān)鍵技術(shù)之一，受到設(shè)計(jì)人員的高度重視。

目前在工程實(shí)踐中使用的控制律設(shè)計(jì)方法，為調(diào)參法。控制律一般采用PID結(jié)構(gòu)，參數(shù)設(shè)計(jì)采用極點(diǎn)配置方法、根軌跡分析法等較為經(jīng)典的方法。隨著新型飛行器的不斷出現(xiàn)，控制律設(shè)計(jì)所面臨的挑戰(zhàn)不斷增加，現(xiàn)代控制理論和方法的應(yīng)用研究越來(lái)越受到關(guān)注和重視。

本文研究幾個(gè)具有工程應(yīng)用前景的控制方法：線性二次型最優(yōu)控制方法、特征結(jié)構(gòu)配置方法和動(dòng)態(tài)逆方法。

1 控制律設(shè)計(jì)

本文以某型教練機(jī)5km、0.3M狀態(tài)點(diǎn)為例，應(yīng)用線性二次型最優(yōu)控制方法、特征結(jié)構(gòu)配置方法及動(dòng)態(tài)逆方法對(duì)飛機(jī)橫航向控制律設(shè)計(jì)進(jìn)行研究。

1.1 線性二次型最優(yōu)控制方法

線性二次型最優(yōu)控制方法的研究始于20世紀(jì)60年代，是一種最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。該方法以線性系統(tǒng)為對(duì)象，取狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)函數(shù)，尋找狀態(tài)線性反饋控制律，使得性能指標(biāo)函數(shù)最優(yōu)。該方法能生成一個(gè)簡(jiǎn)單的狀態(tài)反饋控制律，易于計(jì)算和工程實(shí)現(xiàn)。

1.1.1 方法描述

對(duì)于系統(tǒng)

其中，x為n維狀態(tài)向量；u為r維輸入向量，y為m維輸出向量；A為n×n維的常數(shù)矩陣、B為n×r維的常數(shù)矩陣、C為m×n維的常數(shù)矩陣、D為m×r維的常數(shù)矩陣。

其狀態(tài)反饋控制律為

假設(shè)能控且可觀的線性定常系統(tǒng)，設(shè)計(jì)最優(yōu)控制律u（t），使得性能指標(biāo)J取極小值：

其中，Q為n×n維半正定的狀態(tài)加權(quán)矩陣、R為r×r維正定的控制加權(quán)矩陣，常選為對(duì)角線矩陣。

根據(jù)線性最優(yōu)控制理論，使得J取極小值的控制律u（t）存在且唯一地由式（4）確定：

式中，P為對(duì)稱矩陣，且滿足黎卡提（Riccati）方程：

則控制系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋增益K計(jì)算如下：

1.1.2 設(shè)計(jì)

針對(duì)飛機(jī)橫航向控制律的設(shè)計(jì)，選取狀態(tài)變量x=[βωxωyγ]，n=4，控制輸入為u=[δxδy]，得到相對(duì)應(yīng)的飛機(jī)狀態(tài)空間表達(dá)式。

首先驗(yàn)證系統(tǒng)的能控能觀性。

對(duì)多輸入系統(tǒng)，其能控的充分必要條件是能控性矩陣

的秩為n。

其能觀的充分必要條件是能觀性矩陣

的秩為n。

通過(guò)上述判據(jù)，驗(yàn)證0503狀態(tài)點(diǎn)的狀態(tài)方程具有能控能觀性，滿足設(shè)計(jì)前提。

其次，要選取合適的加權(quán)矩陣Q和R。

Q和R是狀態(tài)向量和輸入向量的加權(quán)矩陣，兩者取值與系統(tǒng)的性能相關(guān)，通過(guò)反復(fù)取值計(jì)算仿真，觀察仿真結(jié)果，綜合考慮系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，選取Q、R矩陣如下：

再由A、B、Q、R求解黎卡提矩陣微分方程，得到黎卡提矩陣P，由P求得反饋增益矩陣K。這里利用MATLAB工具箱提供的lqr()函數(shù)，調(diào)用格式為K=lqr（A，B，Q，R），可得到反饋矩陣K如下：

1.2 特征結(jié)構(gòu)配置方法

特征結(jié)構(gòu)配置方法是20世紀(jì)60年代發(fā)展起來(lái)的一種基于時(shí)間域的多變量系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。該方法根據(jù)要求選擇適當(dāng)?shù)奶卣髦岛吞卣飨蛄浚瓜到y(tǒng)達(dá)到期望的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，類似于經(jīng)典控制理論中的零極點(diǎn)配置。在特征結(jié)構(gòu)配置技術(shù)中，特征值用于閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定，特征向量用于動(dòng)態(tài)響應(yīng)的解耦，兩者一起保證系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

1.2.1 方法描述

對(duì)于系統(tǒng)式（1），其狀態(tài)反饋控制律為

則有

其中，K∈Rr×n、G∈Rn×n。若G具有n個(gè)互異特征值λi，i=1，2，K，n，對(duì)應(yīng)的特征向量為vi，則有

特征結(jié)構(gòu)配置方法即是尋找K，使得G即（A+BK）含有規(guī)定的特征值和特征向量。

1.2.2 設(shè)計(jì)

首先選擇期望的特征值和特征向量。

依據(jù)GJB 185-86一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，選擇荷蘭滾特征根為-2.5±2.5i，對(duì)應(yīng)的荷蘭滾阻尼比為0.7071，荷蘭滾頻率為3.5355，滾轉(zhuǎn)模態(tài)特征根為-3，對(duì)應(yīng)的滾轉(zhuǎn)模態(tài)時(shí)間常數(shù)為0.33，螺旋特征根為-0.002，對(duì)應(yīng)的螺旋模態(tài)倍幅時(shí)間為500，則期望的特征值：

其中“×”表示未受約束（即任意的）項(xiàng)，而所有其他值（包括“0”）表示嚴(yán)格的特征向量約束。

由于矩陣B的秩為r（r=2），小于n，引入線性變換T，使得B變換后的秩為n，則

綜上，通過(guò)計(jì)算，可得到基于特征結(jié)構(gòu)配置的反饋矩陣K為

1.3 動(dòng)態(tài)逆方法

動(dòng)態(tài)逆方法又被稱為“反饋線性法”，始于20世紀(jì)70、80年代，是建立在逆系統(tǒng)理論基礎(chǔ)上的一種方法，其實(shí)質(zhì)是用期望的動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，替代原系統(tǒng)中存在的不符合期望的動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)，使系統(tǒng)輸出為期望的動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)。

1.3.1 方法描述

假設(shè)有非線性系統(tǒng)

其中x是狀態(tài)向量，u是控制向量。

假設(shè)g（x）可逆，則通過(guò)求逆，當(dāng)控制律為

1.3.2 設(shè)計(jì)

根據(jù)橫航向控制的目的，選擇的控制變量為β和ωx，則飛機(jī)方程簡(jiǎn)化為

其中，A為4×4維常數(shù)矩陣，B為4×2維常數(shù)矩陣，則

一般希望飛機(jī)響應(yīng)為一階慣性環(huán)節(jié)，因此這里構(gòu)造期望的動(dòng)態(tài)特性為

其中，βc和ωc為側(cè)滑角和滾轉(zhuǎn)角速率指令。

根據(jù)時(shí)標(biāo)分離原則及快慢回路間帶寬的選擇要求，其帶寬設(shè)計(jì)為wβ=2rad/s,wx=10rad/s，則有

通過(guò)計(jì)算，可得基于動(dòng)態(tài)逆方法的反饋控制律為

2 仿真分析

基于上述方法得到的控制律，在MATLAB Simulink下搭建模型，該模型包括控制系統(tǒng)、作動(dòng)器和飛機(jī)方程，框圖如圖1所示。

圖1 仿真模型示意圖

分別給出10°/s的滾轉(zhuǎn)角速率指令和1°的側(cè)滑角指令，三種方法仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 橫向仿真結(jié)果對(duì)比

圖3 航向仿真結(jié)果對(duì)比

由上述對(duì)比結(jié)果可知，當(dāng)給定10°/s滾轉(zhuǎn)角速率指令時(shí)，最優(yōu)控制方法和動(dòng)態(tài)逆方法的響應(yīng)速度較特征結(jié)構(gòu)配置的快，但最優(yōu)控制方法存在超調(diào)，而另兩種方法均能平滑跟蹤指令，三者的穩(wěn)態(tài)誤差均幾乎為零，特征結(jié)構(gòu)配置方法的橫航向解耦效果最優(yōu)；當(dāng)給定1°側(cè)滑角指令時(shí)，三種方法的響應(yīng)速度相當(dāng)，最優(yōu)控制方法存在超調(diào)，動(dòng)態(tài)逆方法給定側(cè)滑角同時(shí)產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)角速率較大，解耦效果較前兩者差。

設(shè)置20%的飛機(jī)模型擾動(dòng)，給出10°/s的滾轉(zhuǎn)角速率指令和1°的側(cè)滑角指令，三種方法仿真結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖4 橫向仿真結(jié)果對(duì)比（帶擾動(dòng)）

圖5 航向仿真結(jié)果對(duì)比（帶擾動(dòng)）

擾動(dòng)時(shí)，給定10°/s滾轉(zhuǎn)角速率指令時(shí)，三種方法都能很好地跟蹤指令，最優(yōu)控制方法略微超調(diào)，三者的穩(wěn)態(tài)誤差均幾乎為零；給定1°側(cè)滑指令時(shí)，特征結(jié)構(gòu)配置方法和最優(yōu)控制方法的側(cè)滑角存在穩(wěn)態(tài)誤差。由此可知，三種方法的抗擾動(dòng)能力相當(dāng)。

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究基于現(xiàn)代控制理論方法的飛機(jī)橫航向控制律設(shè)計(jì)，其中運(yùn)用具有工程意義的線性二次型最優(yōu)控制方法、特征結(jié)構(gòu)配置方法和動(dòng)態(tài)逆方法，以某型教練機(jī)5km、0.3M狀態(tài)點(diǎn)為例，進(jìn)行橫航向控制律設(shè)計(jì)，搭建Simulink模型，仿真分析并驗(yàn)證。通過(guò)仿真結(jié)果可知，線性二次型最優(yōu)控制方法，響應(yīng)速度快，但存在一定的超調(diào)；特征結(jié)構(gòu)配置方法能夠平滑較快地跟蹤指令，且穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為零，較好地實(shí)現(xiàn)了橫航向解耦；動(dòng)態(tài)逆方法能夠平滑較快地跟蹤指令，且穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為零，其給定橫向指令時(shí)，能夠較好地實(shí)現(xiàn)橫航向解耦，但當(dāng)給定航向指令時(shí)，橫航向解耦效果較差。

綜上，線性二次型最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)過(guò)程最為簡(jiǎn)單，MATLAB中有函數(shù)工具，可直接得到反饋控制律，但其最關(guān)鍵的問(wèn)題是性能指標(biāo)中Q和R的選擇，Q和R的值并沒(méi)有理論依據(jù)，設(shè)計(jì)過(guò)程中需要不斷試湊，觀察仿真結(jié)果來(lái)調(diào)節(jié)Q和R，直至達(dá)到期望的仿真結(jié)果。

特征結(jié)構(gòu)配置方法的計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，尤其還涉及復(fù)根，選擇不同的特征根和特征向量得到的反饋控制律也不同，后期飛行品質(zhì)計(jì)算結(jié)果也會(huì)受影響，可根據(jù)飛行品質(zhì)計(jì)算結(jié)果適當(dāng)調(diào)節(jié)特征根，使得其動(dòng)態(tài)特性和品質(zhì)都符合要求。

狀態(tài)反饋動(dòng)態(tài)逆方法得到的反饋增益偏大，對(duì)飛機(jī)穩(wěn)定性影響較大，后期要根據(jù)穩(wěn)定儲(chǔ)備的計(jì)算加以修正。

較經(jīng)典理論而言，基于現(xiàn)代控制理論的全狀態(tài)反饋方法能夠一次性求出反饋系數(shù)，后續(xù)可根據(jù)相關(guān)飛行品質(zhì)計(jì)算調(diào)整個(gè)別參數(shù)，縮短了控制律設(shè)計(jì)的時(shí)間，提高了效率。