基于非規范替換法的連續控制系統離散化方法

李穗 李毅 郎加云

【摘 要】 連續控制系統離散化的常用方法包括歐拉（Euler）法、休恩（Heun）法、龍格-庫塔（Runger-Kutta）法、雙線性（Tustin）法等，都是采用規范替換法，依據某種映射關系將s域轉換到z域，計算速度和精度都有限。在對以上方法進行分析比較的基礎上，本文提出了一種非規范替換法對連續時間控制系統進行離散化，仿真結果表明與規范替換法相比，該方法的靈活性更強、離散化精度更高。

【關鍵詞】 連續控制系統;替換法;離散化

【中圖分類號】 TP391.7 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2096-4102（2021）02-0095-03

在現代工業生產中，控制系統的作用越來越重要。隨著計算機控制技術、數字信號處理技術、系統仿真等技術的快速發展，在控制系統中引進計算機進行離散控制的做法越發普及。依據連續控制器理論設計的離散控制器，可將連續系統轉換成離散系統，成為現代離散控制系統設計常用的方法。連續系統的離散化從數學模型的角度看，是將描述系統的微分方程變換為描述離散系統的差分方程，或將系統的傳遞函數變換為離散傳遞函數。

1常用的離散化方法

1.1歐拉法（Euler法）

根據控制理論，s域到z域的變換關系為：

圖1為使用雙線性變換法離散化一階系統的輸出，實線為連續系統的階躍響應，虛線為離散化后的系統階躍響應。

1.3 休恩法（Heun法）

對式（6）進一步變換可得

采用歐拉法的解作為迭代的估計值，對于前文中的一階慣性環節而言，其離散化計算公式為：

1.4龍格-庫塔（Runge-Kutta）法

由式（10）可知，利用泰勒級數得到最終全局誤差的階為N，并且可以通過增大N的值來獲得更精確的函數值。但是利用泰勒級數法時，需要首先確定N的值，而且需要計算函數的高階導數。而龍格-庫塔法則是通過計算若干次函數值的方法，構造任意精度的近似公式，典型的龍格-庫塔法包括二階龍格-庫塔（RK2）法、三階龍格-庫塔（RK3）法和四階龍格-庫塔（RK4）法。二階的龍格-庫塔法典型算法則為休恩法，三階龍格-庫塔的一種典型算法為如式（12）的Bogacki-Shampine（BS3）法。

圖2為使用龍格-庫塔變換法離散化一階系統的輸出，實線為連續系統的階躍響應，虛線為離散化后的系統階躍響應。

2非規范替換法

上一節中離散化連續系統中表示求導運算的微分算子都是用固定的對應關系替換為表示位移的差分算子（規范替換法），受將n階微分方程離散化為n階差分方程的限制，只能用一次多項式或者一次多項式之比的有理分式表示微分算子與差分算子的關系，其離散化精度不超過二階（歐拉法為一階精度，雙線性變換法為二階精度）。

為了進一步提高系統的離散化精度，本文采用一種變化的微分算子與位移算子關系進行替換，仿真結果表明，該方法在保證離散化系統階數不變的情況下，能夠獲得比規范替換法更高的離散化精度。該方法采用式（13）作為連續系統的微分算子s的近似：

取上式的各階逼近，以五階連續系統為例，按式（14）取s各階逼近來獲得相應的離散化系統：

以某五階連續控制系統為例，其開環傳遞函數為：

按歐拉法求得對應的離散化系統傳遞函數為（步距h=0.05）：

按Tustin法求得對應的離散化系統傳遞函數為（步距h=0.05）：

按照式（14）得到非規范替換法的離散化系統傳遞函數為（步距h=0.05）：

利用MATLAB對式（16）、式（17）和式（18）所表示的系統進行仿真計算，結果如圖3所示，其中圖3（a）上方自上而下分別為利用歐拉法得到的離散系統H1（z）、連續系統G（s），利用非規范替換法得到的離散系統H3（z），利用Tustin法得到的離散系統H2（z）的幅頻特性曲線。圖3（a）下方分別為利用Tustin法得到的離散系統H2（z），利用非規范替換法得到的離散系統H3（z）、連續系統G（s），利用歐拉法得到的離散系統H1（z）的相頻特性曲線。圖3（b）為系統響應特性曲線放大的結果。

由圖3可見，采用非規范替換法得到的離散系統幅頻和相頻響應誤差比采用歐拉法和Tustin法得到的離散系統響應更小，系統更穩定。進一步改變離散步距或者連續系統開環傳遞函數，所得結論相同。

3結論

通過對歐拉法、雙線性變換法、休恩法、龍格-庫塔法以及非規范替換法對連續系統離散化的算法分析以及仿真表明，規范替換法離散化過程簡單、系統穩定性好，非規范替換法則具有離散化過程靈活、離散化精度較高的特點，在實際應用中需要根據具體情況進行選擇。

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