激光跟蹤儀測(cè)量回轉(zhuǎn)軸定位精度的誤差分析

李 鋒，董 浩，王 堅(jiān)，周興彪，李高進(jìn)

（1. 上海外高橋造船有限公司，上海 200137；2. 上海船舶工藝研究所，上海 200032）

0 引言

在多軸數(shù)控加工或檢測(cè)設(shè)備的研發(fā)、制造和維護(hù)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到檢測(cè)直線軸或回轉(zhuǎn)軸定位精度的問(wèn)題。通常，回轉(zhuǎn)軸的定位精度檢測(cè)由于受空間布局和測(cè)量精度的影響，相對(duì)來(lái)說(shuō)適用的測(cè)量?jī)x器比較少，檢測(cè)方案也比直線軸復(fù)雜。

激光跟蹤儀（Laser Tracker）是一種利用球面坐標(biāo)定位原理，通過(guò)測(cè)量1個(gè)徑向距離和2個(gè)角度來(lái)實(shí)現(xiàn)空間三維坐標(biāo)測(cè)量的高精度檢測(cè)設(shè)備，測(cè)量范圍可達(dá)數(shù)十米[1]。由于其靈活便攜，安裝使用方便，適用范圍廣，所以激光跟蹤儀越來(lái)越多地被用來(lái)檢測(cè)數(shù)控設(shè)備的幾何精度或定位精度。然而，激光跟蹤儀也有局限性，其2個(gè)角度的測(cè)量誤差相對(duì)而言大于徑向距離的測(cè)量誤差，這一特點(diǎn)對(duì)回轉(zhuǎn)軸精度測(cè)量影響較大。因此，本文對(duì)使用激光跟蹤儀測(cè)量回轉(zhuǎn)軸的誤差進(jìn)行了分析和計(jì)算，探討如何確定檢測(cè)方案具有足夠高的測(cè)量精度，避免出現(xiàn)超出預(yù)期的測(cè)量誤差。

1 激光跟蹤儀的工作原理和測(cè)量誤差

1套激光跟蹤儀測(cè)量系統(tǒng)通常包括1臺(tái)激光跟蹤儀和1個(gè)配套的球形反射鏡（SMR），以及配套的傳感器和電腦等設(shè)備。激光跟蹤儀內(nèi)部的主要組成部分有：激光源、2個(gè)伺服跟蹤旋轉(zhuǎn)軸、光學(xué)器件、旋轉(zhuǎn)編碼器和環(huán)境（氣壓、濕度等）檢測(cè)傳感器等等。

檢測(cè)時(shí)，SMR放置在目標(biāo)位置，激光源發(fā)射出激光到SMR上，SMR再將光線反射回激光跟蹤儀內(nèi)，通過(guò)光學(xué)器件和傳感器，測(cè)出球形反射鏡的絕對(duì)或相對(duì)距離R（絕對(duì)距離指球形反射鏡到激光跟蹤儀原點(diǎn)的距離，相對(duì)距離指球形反射鏡移動(dòng)前后兩點(diǎn)間的距離）。當(dāng)球形反射鏡的移動(dòng)方向偏離激光方向時(shí)，激光跟蹤儀能及時(shí)檢測(cè)到偏離的角度，控制2個(gè)伺服旋轉(zhuǎn)軸作出相應(yīng)旋轉(zhuǎn)動(dòng)作，使激光的方向始終跟蹤對(duì)準(zhǔn)球形反射鏡，避免光路斷掉，同時(shí)通過(guò)2個(gè)旋轉(zhuǎn)編碼器讀出激光的方位角φ和仰角θ。直線激光和2個(gè)旋轉(zhuǎn)編碼器測(cè)出的數(shù)據(jù)構(gòu)成1個(gè)球面坐標(biāo)系位置（R,θ,φ），再轉(zhuǎn)換得到目標(biāo)位置的直角坐標(biāo)（x,y,z）。

影響激光跟蹤儀測(cè)量誤差的主要因素有：

1）環(huán)境因素。大氣的溫度、壓力和相對(duì)濕度對(duì)光線折射率會(huì)產(chǎn)生影響，材料也會(huì)因?yàn)闇囟茸兓a(chǎn)生熱變形等，這些因素往往要根據(jù)具體的檢測(cè)環(huán)境進(jìn)行評(píng)估，本文不對(duì)此進(jìn)行討論，文中的分析和計(jì)算不考慮溫度等環(huán)境因素影響。

2）結(jié)構(gòu)因素。由于激光跟蹤儀的激光源是安裝在2個(gè)旋轉(zhuǎn)軸上的，并且在測(cè)量過(guò)程中會(huì)被旋轉(zhuǎn)軸帶動(dòng)旋轉(zhuǎn)，因此旋轉(zhuǎn)軸的機(jī)械結(jié)構(gòu)特性如剛性或制造裝配誤差等，必然會(huì)影響到測(cè)量結(jié)果R的穩(wěn)定和精確。另外，方位角φ和仰角θ是通過(guò)旋轉(zhuǎn)編碼器在2個(gè)旋轉(zhuǎn)軸上測(cè)量出來(lái)的，旋轉(zhuǎn)編碼器的測(cè)量誤差也會(huì)直接影響到方位角φ和仰角θ的測(cè)量精度。

由于角度測(cè)量系統(tǒng)（旋轉(zhuǎn)軸和編碼器）產(chǎn)生的測(cè)量誤差比較大，所以用激光跟蹤儀時(shí)，通常希望各個(gè)測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)的位置盡量與激光源在一條直線上，以減小旋轉(zhuǎn)角度的測(cè)量誤差。但是在實(shí)際應(yīng)用中，又往往需要利用激光跟蹤儀全方位檢測(cè)空間坐標(biāo)點(diǎn)的優(yōu)勢(shì)，比如對(duì)于檢測(cè)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，測(cè)量的目標(biāo)點(diǎn)繞回轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，不可能在一直線上，因此激光跟蹤儀在測(cè)量過(guò)程中必然會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，無(wú)法避開(kāi)角度測(cè)量系統(tǒng)的誤差影響，這種情況下激光跟蹤儀的測(cè)量誤差會(huì)比較大，需要仔細(xì)計(jì)算評(píng)估才能確認(rèn)是否滿足測(cè)量目標(biāo)的精度要求。

根據(jù)國(guó)家計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)JJF 1094—2002第5.3.1.4條，測(cè)量?jī)x器誤差的擴(kuò)展不確定度U95（置信概率95%）與被測(cè)量指標(biāo)的最大允許誤差（絕對(duì)值）MPEV應(yīng)滿足以下要求[2]：

式中：U95為95%的置信概率下儀器的測(cè)量結(jié)果會(huì)落在±U95的范圍內(nèi)，U95值越小則測(cè)量的結(jié)果越可信。在沒(méi)有實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的情況下激光跟蹤儀的U95可以根據(jù)制造商給出的MPE公式進(jìn)行評(píng)定計(jì)算。

激光跟蹤儀的最大允許誤差不是一個(gè)確定的值，通常制造商會(huì)給出1組計(jì)算公式（以某常用的激光跟蹤儀型號(hào)為例）。

式中：R為激光跟蹤儀到測(cè)量目標(biāo)的直線距離；e為測(cè)量的徑向誤差（沿激光方向），μm；eR0為激光跟蹤儀原點(diǎn)到球形反射鏡原始位置（TMR）的誤差（儀器自身的結(jié)構(gòu)尺寸誤差），eR0＝16 μm；eT為測(cè)量的橫向誤差（垂直于激光方向），μm/m。

標(biāo)準(zhǔn)ISO 10360-10的附錄E給出了測(cè)量2個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的間距時(shí)最大允許誤差的計(jì)算方法[3]，根據(jù)該算法類推，當(dāng)測(cè)量2個(gè)非常接近（幾乎重合）的目標(biāo)點(diǎn)時(shí)最大測(cè)量誤差Emax為：

式中：α數(shù)值見(jiàn)圖1；O為激光跟蹤儀的原點(diǎn)，A是測(cè)量目標(biāo)所在位置，OP垂直于2個(gè)測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)的連線。α＝∠POA。

圖1 夾角α 的幾何意義

計(jì)算出Emax后，根據(jù)均勻分布的方差公式[4]可以得到標(biāo)準(zhǔn)不確定度u為

在實(shí)際測(cè)量工作中往往還要考慮其它因素產(chǎn)生的不確定度影響，因此需要先計(jì)算出這些因素的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc后再按下式算出擴(kuò)展不確定度U95

2 回轉(zhuǎn)軸的精度測(cè)量方案和誤差分析

由于各種數(shù)控設(shè)備的回轉(zhuǎn)軸結(jié)構(gòu)差異很大，所以在實(shí)際工作中，利用激光跟蹤儀檢測(cè)回轉(zhuǎn)軸精度會(huì)有很多種方案，但是這些方案的基本原理大致是一樣的。下面以水平轉(zhuǎn)臺(tái)為例說(shuō)明測(cè)量原理，見(jiàn)圖2。

圖2 激光跟蹤儀測(cè)量水平轉(zhuǎn)臺(tái)示意圖

由圖2可知，現(xiàn)有一水平轉(zhuǎn)臺(tái)需要檢測(cè)回轉(zhuǎn)定位精度，轉(zhuǎn)角的最大允許誤差指標(biāo)MPE＝±0.1°。為檢測(cè)此精度指標(biāo)，制定檢測(cè)方案如下：球形反射鏡（SMR）安裝固定在轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣，激光跟蹤儀固定在轉(zhuǎn)臺(tái)上方；轉(zhuǎn)臺(tái)從0°開(kāi)始，每轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度停一下，通過(guò)激光跟蹤儀讀出并記錄SMR所在位置的坐標(biāo)值，全周往復(fù)旋轉(zhuǎn)若干次；激光跟蹤儀記錄的這些坐標(biāo)點(diǎn)呈圓周分布，用配套軟件內(nèi)置的算法擬合出所有坐標(biāo)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)圓心，然后就可以得到各個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)與初始點(diǎn)（0°）的夾角，算出與目標(biāo)角度的誤差。

激光跟蹤儀到回轉(zhuǎn)平面的垂直距離H＝1 000 mm、到回轉(zhuǎn)中心軸的垂直距離L＝1 500 mm。球形反射鏡（SMR）固定安裝在轉(zhuǎn)臺(tái)靠近邊緣的A點(diǎn)位置，A到轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)中心C的距離（即回轉(zhuǎn)半徑）r＝200 mm。轉(zhuǎn)臺(tái)從零度開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，每間隔45°檢測(cè)1次SMR的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)到360°時(shí)改變回轉(zhuǎn)方向，如此全周往復(fù)回轉(zhuǎn)3個(gè)循環(huán)，每個(gè)循環(huán)有正向和反向各8個(gè)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，根據(jù)測(cè)量到的坐標(biāo)數(shù)據(jù)用軟件擬合出回轉(zhuǎn)中心并計(jì)算各測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的回轉(zhuǎn)角度及偏差。

該方案的測(cè)量不確定度計(jì)算如下：假定檢測(cè)過(guò)程中環(huán)境溫度變化很小，可忽略溫度變化導(dǎo)致的不確定度，下面只考慮激光跟蹤儀的測(cè)量誤差導(dǎo)致的不確定度。已知回轉(zhuǎn)角度θ（單位：弧度）、回轉(zhuǎn)半徑r和SMR經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)s符合以下關(guān)系：

式中：us和ur分別是SMR回轉(zhuǎn)圓周切向和徑向2個(gè)正交方向上的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度。圖3是轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)角度θ＝45°時(shí)（SMR位于A1位置）的簡(jiǎn)圖。

圖3 轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)角度θ＝45°時(shí)，SMR 與激光跟蹤儀原點(diǎn)的幾何關(guān)系

Ai（i＝0～7）是轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)1周范圍內(nèi)SMR所在的8個(gè)檢測(cè)位置，CAi＝r＝200 mm。O是激光跟蹤儀的原點(diǎn)，O到回轉(zhuǎn)平面的投影點(diǎn)為B，OB＝H＝1 000 mm。B到回轉(zhuǎn)中心C的距離BC＝L＝1 500 mm。

圖3(a)中PA1是圓的切線且OP⊥PA1，圖3(b)中CQ過(guò)A1點(diǎn)和圓心C且OQ⊥CQ。只要計(jì)算出激光跟蹤儀原點(diǎn)O到檢測(cè)位置A1的距離R、∠POA1的角度α、∠QOA1的角度β，再根據(jù)公式（2）～式（5），便可算出激光跟蹤儀測(cè)量誤差在A1位置的切向標(biāo)準(zhǔn)不確定度us和徑向標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur。其它各Ai點(diǎn)位置均可按此方法計(jì)算。

根據(jù)幾何關(guān)系推導(dǎo)可得出：

計(jì)算各檢測(cè)位置對(duì)應(yīng)回轉(zhuǎn)角度的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度如表1所示（由于點(diǎn)A5～A7與點(diǎn)A3～A1對(duì)稱，計(jì)算結(jié)果相同，故表1中不列出）。

表1 各回轉(zhuǎn)角度的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算表

表1中，e、eT為激光跟蹤儀自身的徑向和橫向測(cè)量誤差，由式（2）、式（4）計(jì)算可得；Esmax、Ermax為測(cè)量圓周上各檢測(cè)點(diǎn)的最大誤差（s為切向、r為徑向），由式（5）計(jì)算（計(jì)算徑向最大誤差Ermax時(shí)，用β代替公式中的α）可得；us、ur為測(cè)量圓周上各檢測(cè)點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度（s為切向、r為徑向），由式（6）計(jì)算（切向和徑向分別用對(duì)應(yīng)的最大誤差Esmax、Ermax計(jì)算）可得；uc為測(cè)量回轉(zhuǎn)角度的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度（切向us與徑向ur的合成），由式（9）計(jì)算可得。

由表1可知，最大的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度出現(xiàn)在A4位置，即轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角180°的時(shí)候，根據(jù)式（7）計(jì)算出此時(shí)的擴(kuò)展不確定度U95＝0.034 4°。

由于此設(shè)備的誤差指標(biāo)MPEV＝0.1°，而測(cè)量方案的U95略大于MPEV的1/3，不滿足式（1）的要求，說(shuō)明測(cè)量結(jié)果可信度偏低，需要調(diào)整測(cè)量方案。根據(jù)前述計(jì)算分析可知，調(diào)整SMR到回轉(zhuǎn)中心的半徑r，且激光跟蹤儀相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的位置H和L3個(gè)參數(shù)可以有效合理地降低測(cè)量的不確定度。

3 結(jié)論

激光跟蹤儀使用靈活方便，測(cè)量范圍大，廣泛地用于各種直線軸和旋轉(zhuǎn)軸定位精度的測(cè)量工作中，但是由于其角度測(cè)量誤差較大，如果不進(jìn)行誤差分析，很可能會(huì)因?yàn)闇y(cè)量誤差太大導(dǎo)致最后測(cè)出的結(jié)果不可信。

因此，在制定測(cè)量方案時(shí)，需要根據(jù)激光跟蹤儀、球形反射鏡與回轉(zhuǎn)軸的相對(duì)幾何位置關(guān)系，計(jì)算出激光跟蹤儀在不同方向上的最大測(cè)量誤差，再據(jù)此算出回轉(zhuǎn)角度測(cè)量的不確定度U95并與檢測(cè)指標(biāo)MPEV進(jìn)行比較，如果不滿足U95≤MPEV/3，則應(yīng)調(diào)整測(cè)量方案，改變激光跟蹤儀或球形反射鏡的位置，再重新進(jìn)行誤差分析和不確定度評(píng)定，直到滿足檢測(cè)指標(biāo)的精度要求。

本文給出的誤差分析和不確定度評(píng)定方法，雖然是以水平轉(zhuǎn)臺(tái)為例，但是對(duì)于其它方向的回轉(zhuǎn)軸定位精度檢測(cè)也具有參考價(jià)值，應(yīng)用時(shí)需要根據(jù)不同的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸方向和差異化的機(jī)械空間結(jié)構(gòu)進(jìn)行有針對(duì)性的調(diào)整。