由一道競賽題看直角坐標與自然坐標的選取技巧

李洪全 李 燕

(1. 成都樹德中學，四川 成都 610000； 2. 雅安職業技術學院，四川 雅安 625000)

圖1

例題.一質量為m的物體放在斜面上，斜面的傾角為α，如圖1所示，物體與斜面間的動摩擦因數μ恰好滿足μ=tanα，今使物體獲得一水平速度v0而滑動．

1 解法1：建立直角坐標系求解

圖2

物體所受力有重力G，彈力N以及摩擦力f．重力分解為沿平行于斜面與垂直于斜面的分量G1和G2，G1=mgsinα，G2=mgcosα．垂直于斜面方向物體平衡，有G2+N=0，即N=mgcosα．

f=μN=μmgcosα=mgtanαcosα=mgsinα.

在Oxy坐標系中，列動力學微分方程如下.

x方向：

(1)

y方向：

(2)

(3)

(4)

因為vx=vcosφ，vy=vsinφ，故由(3)、(4)式得

-gsinαcosφ·dt=d(vcosφ).

(5)

gsinα(1-sinφ)·dt=d(vsinφ).

(6)

(5)式除以(6)式得

(7)

由(7)式得

vcos2φdφ+sinφcosφdv=

vsinφ(1-sinφ)dφ+cosφ(sinφ-1)dv.

2 解法2： 建立自然坐標系求解

自然坐標系表示法：在已知的質點運動軌跡上，選定任意一點為原點O，用由原點至質點位置的弧長作為質點的位置坐標，一般取沿曲線切線且指向自然坐標增加的方向為切向單位矢量τ；另取沿曲線法線且指向曲線的凹側為法向單位矢量n，如圖3所示．把這種順著已知的質點運動軌跡建立的坐標系稱為自然坐標系．

圖3

(8)

法向方向：

(9)

(9)式中ρ表示曲線在該點的曲率半徑．

(10)

由式(8)-(10)得

(11)

由(11)式寫出積分

(12)

積分可得

(13)

點評：解法2中使用自然坐標，在法向和切向兩個參考方向列動力學微分方程，但求解時需要細致寫出曲率半徑的微元表達式，要注意幾何關系，相比解法1運算量有所下降．

圖5

3 解法3：自然坐標系和直角坐標系聯合使用求解

y方向：

gsinα(sinφ-1)dt=dv，

gsinα(1-sinφ)dt=dvy.

d(v+vy)=0.

(14)

對式(14)積分得v+vy=v0，因為vy=vsinφ，故有v+vsinφ=v0.

點評：解法3，直角坐標和自然坐標聯合使用，在切向與沿斜面向下這兩個方向列動力學微分方程，相比解法1和解法2，運算量減小，解答過程最為簡便．