也談洛倫茲力公式中速度的參考系選擇問題

周 凱

(深圳實驗學校光明部,廣東 深圳 518107)

參考系是物理學中的重要概念,我們在研究物理問題時,首先要選定參考系.然而,在高中物理電磁學的教學中,關于洛倫茲力公式及由洛倫茲力產生的動生電動勢公式中的速度是相對于哪個參考系而言的這一問題,文獻中仍持有不同觀點.[1-2]文獻[1]認為洛倫茲力公式中的速度是電荷相對于觀察者的速度,而文獻[2]認為洛倫茲力公式和動生電動勢公式中的速度都是電荷(導體)相對于磁場的速度.本文就結合以下2個例題,談談對此問題的看法.

1 從電磁場的相對論變換角度看動生電動勢

例1.(2021屆廣東省高三“6校聯盟”第3次聯考)如圖1所示,是某學生設計的一種磁動力電梯的原理圖,即在豎直平面內有兩根很長的平行豎直金屬軌道MN和PQ,軌道間有垂直軌道平面的勻強磁場,兩導軌下端用導線相連.處于金屬軌道間的導體桿ab與軌道垂直,且下方通過絕緣裝置固定電梯轎廂,當磁場向上運動時,電梯可向上運動(設運動過程中ab始終與導軌垂直且接觸良好).已知勻強磁場強度為B,電梯載人時電梯轎廂及ab桿的總質量為M,兩導軌間的距離為L,導體桿電阻為R,其余部分電阻不計.當磁場以v0的速度勻速上升時,電梯轎廂剛好能離開地面.不計空氣阻力,ab桿與軌道的最大靜摩擦力大小與滑動摩擦力大小相等.重力加速度為g.求:

(1) 此時通過ab桿電流的方向及ab桿受到軌道的摩擦力的大小；

(2) 當電梯勻速上升的速度大小為v1時,磁場向上勻速運動速度v2的大小.

圖1 磁動力電梯原理圖

參考答案如下.

(1) 由右手定則可得電流方向是b→a,磁場向上運動,相當于ab桿向下切割磁感線,

電梯轎廂剛好能離開地面,可得

F安1=Mg+f，

可得

(2) 當磁場向上勻速運動速度v2時,回路中感應電動勢的大小

E1=BL(v2-v1)，

穩定時,對電梯轎廂受力分析有

F安2=BI1L，

F安2=Mg+f，

可得

v2=v0+v1.

參考答案中認為“磁場向上運動,相當于ab桿向下切割磁感線”,這一解法看似合理,實際上是將導體切割磁感線的速度理解為導體相對于磁場的速度.許多教師在教學中也會特別強調:動生電動勢公式中的速度是導體相對于磁場的速度.由于大多數題目中磁場都是靜止的,因此導體相對于磁場的速度等于導體(相對于實驗室參考系)的速度.動生電動勢的中的非靜電力是洛倫茲力,對于洛倫茲力公式中的速度,也有與上面相似的理解.

然而,站在電動力學的角度看,運動的磁場會產生電場,在電磁場中運動的粒子會受到洛倫茲力的作用,洛倫茲力公式為F=qE+qu×B.其中等號右邊第1項電場力,第2項是磁場力(即高中物理中所學的洛倫茲力).電磁場的相對論變換告訴我們,電磁場作為客觀存在的物質場是統一的不可分割的整體,在某一慣性系中可以把它分解成這樣的電場和磁場兩部分,在另一個慣性系中又可以把它分解成那樣的電場和磁場兩部分.[3]因此,洛倫茲力公式中的電場E、磁場B、速度u必須是相對于同一慣性參考系而言的.在不同參考系中看,特別是在高速運動的情況下,粒子在電磁場中所受力的值甚至都是不同的.這樣動生電動勢中非靜電力的情況也是不同的.我們有必要借助電磁場的相對論變換有關知識來分析一下,相對于不同的參考系例題1第2問中導體棒中電荷的受力情況,并對比在不同參考系下本題的物理圖像.

如圖2所示,有兩個慣性參考系,∑系靜止,即我們通常所說的實驗室參考系,∑′系相對∑系以速度v2向上勻速運動.選∑′系固定在磁場上,磁感應強度方向沿z′軸正方向.位于∑′系中的觀察者認為,這個磁場是靜止的,其周圍空間只存在靜磁場,電場強度和磁感應強度分別為

Ex′=0，Ey′=0，Ez′=0，

Bx′=0，By′=0，Bz′=B.

圖2 ∑、∑′兩慣性系之間的變換

由電磁場的洛倫茲變換公式得,在∑系中的電場強度和磁感應強度分別為

Ex=Ex′，Ey=γ(Ey′+v2Bz′)，

Ez=γ(Ez′-v2By′)；

式中

(1)

以上可以看出,不同參考系中的電場和磁場不是分開來各自進行變換的,而是相互聯系在一起變換的,它們可以相互轉化.電場和磁場是電磁場統一體的不同方面,電場和磁場的6個分量聯合起來描述電磁場的性質.[4]

在非相對論近似下,即v2?c,由(1)式得γ=1,這樣過渡到非相對論電磁場變換公式

Ex=0，Ey=v2B，Ez=0；

Bx=0，By=0，Bz=B.

即在∑系中的觀察者認為,空間同時存在沿y軸正方向的電場Ey=v2B和沿著z軸正方向的磁場Bz=B.

再看兩個參考系中導體桿ab的速度.在∑系中,導體桿的速度為

ux=v1，uy=0，uz=0.

由相對論速度變換式可得在∑′系中,導體桿的速度為

可見,在非相對論近似下,速度的變換關系回到我們熟悉的伽利略變換

ux′=v1-v2，uy′=0，uz′=0.

下面我們求解動生電動勢,在∑系中,導體桿中的正電荷受到的非靜電力可分成兩部分,第1部分為沿y軸正方向的電場力,第2部分為沿y軸負方向的磁場力.作用在單位正電荷上的非靜電力(洛倫茲力)為

K=Eyj+uxi×Bzk=(v2-v1)B j，

(2)

其中i、j、k分別是x軸、y軸、z軸正方向的單位矢量.動生電動勢為

(3)

在∑′系中,導體桿中的正電荷受到的非靜電力為沿y′軸正方向的磁場力,作用在單位正電上的非靜電力(洛倫茲力)為

K′=ux′i′×Bz′k′=(v2-v1)B j′，

(4)

其中i′、j′、k′分別是x′軸、y′軸、z′軸正方向的單位矢量.動生電動勢為

(5)

這里由于我們忽略了相對論效應,因此(3)式和(5)式中導體桿的長度L相同.

對比(3)式和(5)式的結果,我們發現在兩個參考系中算出的動生電動勢的值是相同的.但仔細分析以上過程,我們會發現相對不同參考系對問題理解的差異.①兩個參考系中的觀察者觀測到的場的情況不同:∑系(實驗室參考系)中的觀察者觀測到的是電磁場；而在∑′系(固定在磁場上的參考系)中的觀察者觀測到的是靜磁場.②非靜電力的性質不同:∑系中導體桿中電荷受到的非靜電力為電場力和磁場力之和(電動力學中的洛倫茲力),而∑′系中導體桿中電荷受到的非靜電力僅為磁場力(高中物理所學的洛倫茲力).③我們是在非相對論近似下得到∑系中電磁場以及導體桿在∑′系中的速度的,這樣求出的洛倫茲力(2)式和(4)式的結果是相同.若考慮相對論效應,力的洛倫茲變換為

可見,在非相對論近似下,上式可化簡為

Fx′=Fx，Fy′=Fy，Fz′=Fz.

即在低速的情況下,不同慣性系中的作用力是不變的.正因為這一點,在∑系和∑′系中洛倫茲力是相等的,在不考慮長度收縮效應時,我們計算出的動生電動勢的值是相等的.值得注意的是,我們這里所說的洛倫茲力,必須是電動力學中包含電場力和磁場力在內的完整的洛倫茲力.

從上面的討論可以看出,由于高中物理知識的局限性,實際上,多數教師并沒有考慮到由于磁場運動而引起的空間產生電磁場這一效應,在處理磁場相對實驗室參考系運動時的電磁感應問題時,習慣性地選擇了以磁場為參考系(準確地說是選擇了固定在磁場上的參考系).因此,在動生電動勢的教學過程中,多數教師會強調公式BLv中的速度指的是導體相對于磁場的速度.這樣在處理導體不動,磁場運動的問題時,才可以使用高中物理知識進行解題.而在求出電動勢之后,進而求出安培力,對物體進行受力分析時,又轉入到實驗室參考系下進行研究,這樣求出物體的加速度、速度、軌跡就是都是相對于實驗室參考系的.這樣的過程看似合理,而實際上是在解題過程中更換了參考系,學生甚至部分教師通常是沒有意識到這一點的.

2 帶電粒子在運動磁場中的軌跡問題

在高中階段,我們在學習帶電粒子在勻強磁場中的偏轉時,題目中磁場通常是靜止的,這樣無論相對于實驗室參考系還是相對于固定在磁場上的參考系,粒子都做圓周運動.如果在粒子運動的同時,磁場也在運動,那么相對于實驗室參考系和固定在磁場上的參考系,粒子的軌跡各是怎樣的？下面我們就運用電磁場變換的有關知識,研究一下不同參考系中粒子的受力情況和運動軌跡.

例2.如圖3所示,半無界勻強磁場的磁感應強度B沿z軸正方向,t=0時刻一帶電粒子(電荷量q>0)以速度v1沿著x軸正方向射入磁場,同時磁場以速度v2(v1>v2)沿著x軸正方向運動.求帶電粒子的軌跡.

圖3 帶電粒子在運動磁場中的運動

由上面關于例1的討論可知,在不同的參考系中,電磁場的各分量是不同的,粒子的受力情況也不同的,我們必須明確所求的軌跡是相對于哪個參考系而言的.

令K和K′是兩個慣性系,取直角坐標系Oxyz和O′x′y′z′,相應坐標軸平行.K′系相對于K系以速度v2沿x軸正方向作勻速運動.在t=0時刻原點O和O′重合.K′系中的電磁場分量為

Ex′=0，Ey′=0，Ez′=0，

Bx′=0，By′=0，Bz′=B.

粒子在K′系中的速度為

ux′=ux-v2，uy′=uy，uz′=uz.

圖4 帶電粒子在運動磁場中的相對論分析

粒子所受的作用力只有磁場力

則粒子運動的微分方程為

(6)

(7)

對(6)式微分,得

(8)

將(8)式代入(7)式,得

(9)

微分方程(9)式的通解為

同理可得

當t=0時,ux′=v1-v2,uy′=0,解得φ=0,A=v1-v2.

(10)

(11)

對(10)式積分可得粒子相對于K′系的運動軌跡

(12)

(13)

根據非相對論電磁場變換公式,我們可以得到K系中的電磁場分量

Ex=0，Ey=v2B，Ez=0；

Bx=0，By=0，Bz=B.

即在K系(實驗室參考系)中,空間存在沿著y軸正方向的電場Ey=v2B和沿著z軸正方向的磁場Bz=B.粒子所受洛倫茲力為

粒子運動的微分方程為

仿照上面的解法同理可得粒子在K系中的速度和軌跡

可以看出,粒子的運動為勻速圓周運動和沿x軸正方向的平動的合成,其軌跡為擺線.[5]

當然我們也可以從相對運動角度考慮這個問題,在K系中看粒子做圓周運動,而在非相對論近似下,坐標的洛倫茲變換將回到伽利略變換.粒子在K系中的運動即為粒子相對K′系中運動和磁場的運動的矢量和.

3 總結

本文運用電磁場相對論變換的有關知識,對高中物理中運動磁場中導體產生動生電動勢的本質進行了研究,對洛倫茲力公式以及動生電動勢公式中的速度是相對于哪一參考系而言的這一問題，給出了較為清楚的解釋.公式中的速度、電場、磁場都是相對于同一個參考系而言的,即都是相對于觀察者而言的.當磁場運動時,空間中會激發電磁場,我們只有采用電動力學中完整的洛倫茲力公式才能得到正確的動生電動勢的結果.雖然在非相對論近似下,在不同的慣性參考系中,洛倫茲力的數值是相同的,但實際上不同參考系中觀察到的電磁場的情況是不同的.我們還求解了帶電粒子在運動磁場中的軌跡問題,本文的研究結果有助于中學物理教師加深對電磁場統一體的認識和對運動磁場中電磁感應問題物理圖像的理解.