平動非慣性質心參考系動力學規律的應用

劉傳躍

(鄒平市第一中學,山東 濱州 256200)

1 平動非慣性質心參考系的動力學規律

如圖1所示,建立固連于地面的靜止慣性參考系S,以質點系統的質心為原點建立質心參考系S′.當質心參考系S′具有平動加速度aC時,則該系稱為平動非慣性質心參考系.

圖1 平心非慣性質心參考系

下面討論在平動非慣性質心參考系中的動力

學規律.

1.1 質點的動力學方程

對質點系統中第i個質點,設其質量為mi,則該質點在質心參考系中的動力學方程為

(1)

1.2 平動慣性力對質心的力矩和作用點

第i個質點受到的平動慣性力為fi=-miaC,其中aC為系統質心的加速度.由此可知,每個質點受到的平動慣性力的大小與其質量成正比,方向均與質心參考系的加速度aC反向.在質心參考系中各質點所受平動慣性力對以質心為參考點的力矩矢量和為

MC′=∑(ri′×fi)=-∑(miri′)×aC=0,

即有

MC′=0.

(2)

該式說明,在平動非慣性質心參考系中各質點受到平動慣性力的合力矩為0.平動慣性力的合力f=-∑miaC不為0,其作用點為質心,但并不意味著各質點受到的慣性力矩不做功.

1.3 質點系統的動能定理

在慣性參考系中對質點系統考慮柯尼希定理,由動能定理,得

∑Fi外·dri+∑Fi內·dri=

(3)

dri=drC+dri′,

(4)

式中dri′為第i個質點在質心參考系中的位移,將(4)式代入(3)式,得

∑Fi外·drC+∑Fi內·drC+∑Fi外·dri′+

∑Fi內·dri′=

(5)

利用該式消去(5)式左側第一項和右側第一項.若系統內任意一對內力作用點的相對位移為0,則會使該對內力所做總功為0.因(5)式中左側第二項為系統內力對質心做功的代數和,故在任意參考系中該值為零.則(5)式最終為

∑Fi外·dri′+∑Fi內·dri′=

即有

∑Ai外′+∑Ai內′=∑ΔEk′.

該式說明,在質心參考系中質點系統總動能的增量,等于所有外力對各質點所做的功與所有內力對各質點所做的功之和.這就是質心參考系中質點系統的動能定理.該式與慣性系中的系統的動能定理在形式上保持一致.

1.4 質點系統的角動量定理

在慣性參考系中,系統相對于固定參考點O的角動量為

(6)

第i個質點相對質心的關系有

(7)

將(7)式代入(6)式,得

(8)

將(8)式對時間求導,得

mrC×aC.

(9)

系統中各質點受到的外力相對參考點O的力矩

∑Mi外=∑ri×Fi外=∑ri′×Fi外+

∑rC×Fi外=∑ri′×Fi外+mrC×aC.

(10)

由慣性參考系中的系統角動量定理

(11)

聯立(9)-(11)式,得

即有

(12)

該式表明,質點系統對質心的角動量的變化率,等于所有外力對質心的合力矩.這就是質心參考系中質點系統對質心的角動量定理.盡管質心參考系不一定是慣性系,此式在形式上卻與慣性系中的角動量定理形式一樣.

2 平動非慣性質心參考系的應用

圖2 初始狀態

圖3 第1次相碰前瞬間

以上兩式涉及4個未知量,故求解需要尋找其他關系.又輕繩對兩小球做功W和沖量I在靜止參考系中不易求出,可考慮在平動非慣性質心參考系中討論問題.

圖4 過程中的某個狀態

解答:以系統質心C為原點建立平動非慣性質心參考系,如圖4所示.設在過程中的某個狀態,輕繩與豎直方向夾角為φ,在質心參考系中質心始終處于兩小球連線中點,由于質心參考系為零動量參考系,故圖4中兩小球的速度等大反向.

以輕繩中點O′為研究對象,因其質量為0故所受合力為0,有2Tsinφ=F,小球到質心距離h=Lcosφ,取微分有dh=-Lsinφdφ,輕繩對兩小球的元功dW=2Tcosφdh,聯立以上各式得dW=-FLcosφdφ,對整個過程積分有

得輕繩對兩個小球做的總功為W=FLsinφ.

在質心參考系中,對系統應用動能定理,得

(1)

則有

(2)

圖5 小球繞輕繩中點O′轉動

第1次相碰時φ=π/2,則有

(3)

如圖5所示,小球繞輕繩中點O′逆時針轉動,設夾角為φ時小球速度為v′,在質心參考系中由速度合成定理,得

v′sinφ=v⊥，

(4)

在dt時間內小球繞輕繩中點O′轉過角度dφ,則有

v′dt=Ldφ，

(5)

聯立(2)、(4)、(5)式,得

對整個過程積分,得

(6)

在靜止參考系中,對系統應用動量定理,則有

Ft=2mv∥.

(7)

聯立(6)、(7)式,得

(8)

點評:解題的關鍵是在平動非慣性質心參考系中的討論,一方面解決了輕繩對小球拉力做功的問題,另一方面將小球和輕繩中點O′之間的部分視為剛體,構建小球繞中點O′的轉動模型,得出繞行過程的微分方程,通過積分得到整個過程的時間,為應用動量定理提供了條件.

圖6 初始狀態

例2.如圖6所示,在光滑水平面上放置質量分別為m1=2m、m2=m的小球A和B,以及直徑為L、質量為m3=3m的平放著的勻質圓盤,兩個小球和圓盤邊緣部位用長為2L的兩根平行輕桿固連在一起,組成一個剛體系統.開始時系統靜止,在圓盤中心O′處施加一個與輕桿平行的水平恒力F,不計一切摩擦.

(1) 說明此剛體系統將會發生擺動,并求擺動的最大夾角φ0；

(2) 若考慮φ0較小的情況,試求剛體系統的擺動周期T0.

分析:題目描述的是質量分布不均勻的剛體系統,外力F的作用線并不通過系統質心,若選擇在靜止參考系中完全分析剛體的運動較為困難,不過考慮到剛體系統的質心在水平恒力作用下做勻變速直線運動,選擇非慣性質心參考系討論該問題不失為一種思路.

解答: (1) 以A和B兩球連線中點為原點,x軸正方向通過圓盤中心水平向右,建立坐標系.設剛體系統質心C的位置如圖7所示.由質心定義,得系統的質心坐標為

圖7 質心位置

(1)

(2)

在靜止參考系中,對剛體系統應用質心運動定理,得

(3)

即系統質心C沿著水平向右的方向做勻加速直線運動,且始終位于CM直線上.

圖8 圓盤中心O′繞質心C擺動

以質心C為坐標原點,x′坐標軸與x坐標軸平行,建立隨系統質心運動的非慣性質心參考系.設O′C與x′軸的夾角為φ0,以順時針為夾角正方向.如圖8所示.

在質心參考系中,外力F作用于圓盤中心O′,相對質心C產生力矩,對剛體系統應用角動量定理可知,初始時F的力矩為逆時針,使系統繞質心C逆時針加速轉動,夾角φ0減小,角速度逆時針增加,當夾角φ0減為0時,由于角速度不為0圓盤中心將越過x′坐標軸,之后F的力矩變為順時針,使系統逆時針減速轉動直至角速度為0.對剛體系統應用動能定理,可知在該過程中外力F先做正功后做負功,其值等大異號,故此時O′C與x′軸的夾角大小仍為φ0.與以上過程類似,之后系統順時針先加速轉動再減速轉動,直至角速度為0回到圖8狀態.之后再重復上述過程.

綜上所述,系統將發生擺動,擺動的最大夾角為

(2) 在質心參考系中,設擺動過程中任意夾角φ,對剛體系統應用角動量定理,得

(4)

式中IC為剛體對質心的轉動慣量.

如圖7所示,質心C到上方輕桿、下方輕桿和直線OO′的距離為

(5)

由幾何關系,得質心C到小球A、B和圓盤中心O′的距離為

(6)

由轉動慣量定義和平行軸定理,聯立(6)式,得

(7)

考慮到最大夾角φ0為小角度,故剛體系統的擺動可視為繞質心C的簡諧運動,聯立(4)、(7)式,得簡諧運動方程

(8)

式中圓頻率

擺動周期

點評:靜止參考系中剛體的復雜運動,在非慣性質心參考系中看來卻如此簡單,正是質心參考系中質心靜止不動這一獨特性質的反映.在應用角動量定理、動能定理等動力學規律時不需要考慮慣性力的影響也源于此.