電磁阻尼耦合懸架的內共振參數匹配分析

黨 壯，劉燦昌，賀成泰，蘇紅建，張鑫越，欒軍超

(山東理工大學 交通與車輛工程學院,山東 淄博 255049)

機電耦合系統因具有良好的電磁阻尼特性而廣泛應用于振動能量回收和控制領域。耦合系統的幾何和電磁非線性會影響結構振動的穩定性和控制效果，因此研究耦合系統的內共振特性具有重要的理論和應用價值[1]。機電耦合系統共振特性分析成為當前研究的重要課題之一。楊志安等[2-5]研究了電阻、電感、電容(RLC)串聯電路系統與微梁系統固有頻率之比為1∶2時的內共振特性以及耦合系統的吸合電壓與電振蕩，分析了RLC電路彈簧耦合系統的非線性振動和動力穩定性，得到該模型的穩定邊界以及對于類似能量轉化的規律。崔一輝等[6]建立RLC電路彈簧耦合系統模型，研究了RLC電路彈簧系統的非線性振動特性，得到級數形式解。馬駿等[7]建立了三自由度車輛懸置系統1/4車輛模型，通過研究該系統垂向耦合的振動特性，得到了人體最敏感的頻率范圍。鄭銀環等[8]在七自由度車輛動力學模型的基礎上，建立車輛振動模型，對耦合振動系統的特性進行分析，得到了路面情況對于耦合振動的影響規律。汽車懸架耦合系統存在建模和分析復雜的問題，研究工作者對懸架耦合非線性特性的研究較少[9-11]。汽車懸架耦合系統內共振耦合參數匹配關系是電磁阻尼懸架設計的關鍵問題之一，因此，開展電磁阻尼的懸架耦合系統共振特性研究對于電磁阻尼懸架設計具有重要的指導意義。

本文中以電磁阻尼懸架為研究對象，建立機電耦合動力學模型，研究電磁阻尼耦合懸架的內共振參數匹配關系。應用多尺度法分析耦合系統動力學微分方程，得到耦合系統的幅頻響應方程。利用數值方法計算分析耦合系統的幅頻方程，得到幅頻方程的響應曲線,得到RLC電路電磁學參數與機械參數間的影響規律。

1 理論分析

電磁阻尼耦合懸架模型及其等效電路見圖1。利用多項式擬合方法，得到模型的振動微分方程為

(1)

m—簧上質量；c—阻尼；k1—彈簧剛度；k2—非線性彈簧剛度；Le、Re—線圈的固有電感、電阻，Rs—分流器的等效電阻；C—電容；zb—外界激勵幅值；I(t)—電流。圖1 電磁阻尼耦合懸架模型及其等效電路

為了便于分析，引入無量綱量

(2)

式中：x為懸架無量綱位移；t為無量綱時間；ω為懸架固有角頻率；Ω為無量綱外界激勵頻率；q為無量綱電荷量；Q0為最大電壓時的電荷量。

(3)

應用多尺度法，求得方程(3)的近似解為

(4)

式中：T0=t為快變時間尺度；T1=εt為慢變時間尺度。

調節外激勵的頻率和懸架的固有頻率成主共振關系，并且懸架的固有頻率與電路系統的固有頻率之比滿足1∶3時，電磁阻尼耦合懸架會產生內共振，各頻率滿足關系為

(5)

式中σ1、σ2分別為懸架、電路的固有頻率調諧參數。

將式(4)及其對時間的導數代入式(3)，并令式(3)中等號兩側ε的同次冪相等，整理得

(6)

式中O(ε0)為無量綱參數次數為0的項。

(7)

式中O(ε1)為無量綱參數次數為1的項。

式(7)的近似解為

(8)

A1、A2的極坐標形式為

(9)

式中：a1(T1)、a2(T1)分別為懸架、電路振幅的實部；β1(T1)、β2(T1)分別為懸架、電路的相位。

式(7)處理過程中使用變換

(10)

將式(8)、(10)代入式(7)，得到久期方程，即

2?A1?T1jω1+n1jω1A1+3n2A21A—1-12Ω2ejσ1T1+ 3n4jω1A—21A2e-jσ2T1=0,2?A2?T1jω2+u1jω2A2-13u3jω2A31ejσ2T1=0。ì?í???????(11)

(12)

(14)

(15)

通過應用多尺度法，分析耦合系統動力學微分方程，得到系統的幅頻響應方程。本文中根據式(14)、(15)對算例進行仿真分析，得到懸架系統和電路系統的相應特性。

2 算例分析

算例以電磁阻尼耦合懸架系統幅頻響應方程為計算對象，通過改變電路中的電阻、電感、電壓、外界激勵幅值和頻率等參數，研究電磁阻尼耦合懸架系統的內共振特性和參數匹配關系。算例參數[12-15]如表1所示。圖2所示為不同參數對應的電磁阻尼耦合懸架系統幅頻響應曲線，其中調諧參數σ2取為1。

表1 算例所需部分參數

圖2(a)所示為Re-Rs>0條件下不同分流器等效電阻時的懸架幅頻響應曲線。算例中電路采用的參數分別為Le=0.3 H，U=10V，Ω=0.06 rad/s和zb=0.04 m。由圖可知，分流器電阻為1 600 Ω時的幅頻曲線幅值最大，振動的非線性較顯著。懸架幅頻響應曲線的振動峰值隨分流器電阻的增大而單調遞增。

圖2(b)所示為Re-Rs<0條件下不同分流器等效電阻時的懸架幅頻。算例中的電路參數與圖2(a)中的相同，并且滿足分流器電阻小于線圈電阻的條件。由圖可知，當分流器電阻為600 Ω時，幅頻曲線幅值最大，振動的非線性較顯著；當分流器電阻為1 000 Ω時，幅頻曲線幅值最小，振動的非線性明顯減弱，懸架幅頻響應曲線的振動峰值隨分流器電阻的增大而減小。

圖2(c)所示為不同線圈固有電感時的懸架幅頻響應曲線。算例中電路采用的參數分別為Rs=1 000 Ω，Ω=0.06 rad/s，zb=0.04 m和U=10V。由圖可知，當線圈固有電感Le由0.3 H增大至0.5 H時，系統的最大振幅減小，并且系統振動非線性減弱。由此可得，當選取電感值在參數范圍內，并保持其他參數不變時，電感值越大；懸架幅頻響應曲線的峰值越小，振動非線性越弱。

圖2(d)所示為不同電路電壓時的懸架幅頻響應曲線。算例中電路采用的參數分別為Rs=1 000 Ω，Ω=0.06 rad/s，zb=0.04 m和Le=0.3 H。由圖可知，當電路電壓U由10 V增大至20 V時，懸架振幅響應曲線峰值的變化規律和非線性強度的變化情況與改變電感數值時的相似，當選取電壓值在參數范圍內，并保持其他參數不變時，電壓值越大，懸架幅頻響應曲線的峰值越小，振動非線性越弱。

圖2(e)所示為不同外界激勵頻率時的懸架幅頻響應曲線。算例中電路采用的參數分別為U=10 V，Rs=1 000 Ω，zb=0.04 m和Le=0.3 H。當外界激勵頻率Ω從0.06 rad/s遞減至0.04 rad/s時，懸架振動的非線性呈現一定的減弱，而懸架振幅響應曲線峰值逐漸增大。由此可得，當選取外界激勵頻率值在參數范圍內，并保持其他參數不變時，數值越小，懸架幅頻響應曲線的峰值越小，振動非線性越弱。

圖2(f)所示為不同外界激勵幅值時的懸架幅頻響應曲線。算例中電路采用的參數分別為Ω=0.06 rad/s，Rs=1 000 Ω，U=10 V和Le=0.3 H。由圖可知，外界激勵幅值zb越小，對應的懸架幅頻響應曲線的峰值越小。

圖3所示為不同參數對電路幅頻響應曲線的影響，其中調諧參數σ1取為0.01。

圖3(a)所示為不同分流器等效電阻時的電路幅頻響應響應。算例中電路采用的參數分別為zb=0.04 m，Ω=0.6 rad/s，Le=0.3 H和U=10 V。由圖可知，當選取分流器等效電阻Rs在參數范圍內,并保持其他參數不變時，電路的振幅響應曲線在接近滿足完全調諧時達到峰值。隨著分流器電阻Rs的增大，電路幅頻響應曲線的峰值先增大后減小。

圖3(b)所示為不同線圈固有電感時的電路幅頻響應。算例中電路采用的參數分別為Ω=0.6 rad/s，zb=0.04 m，Rs=1 000 Ω和U=10 V。由圖可知，隨著線圈固有電感Le逐漸增大，電量振幅響應曲線的峰值幾乎沒有變化，但是電量振幅響應曲線的共振區變小。同時隨著電感從0.3 H增大到0.5 H，響應曲線輕微右移，使得響應曲線更接近完全調諧。

圖3(c)所示為不同電路電壓時的電路幅頻響應。算例中電路采用的參數分別為Ω=0.6 rad/s，zb=0.04 m，Rs=1 000 Ω和Le=0.3 H。由圖可知，電量振幅響應曲線峰值隨電路電壓U的增大而逐漸減小，響應曲線共振區隨電路電壓的增大而變窄。

圖3(d)所示為不同外界激勵頻率時的電路幅頻響應。算例中電路采用的參數分別為Rs=1 000 Ω，Le=0.3 H，zb=0.04 m和U=10 V。由圖可知，與電壓對電量的振幅響應曲線影響相反，在外界激勵頻率Ω由0.4 rad/s增大至0.6 rad/s的過程中，電量的振幅響應曲線峰值單調遞增。

圖3(e)所示為不同外界激勵幅值時的電路幅頻響應。算例中電路采用的參數分別為Rs=1 000 Ω，Ω=0.6 rad/s，Le=0.3 H和U=10 V。由圖可知，當外界激勵幅值zb為0.03 m時，電量的振幅響應曲線在接近于滿足完全調諧時達到峰值。增大外界激勵幅值能使響應曲線振幅增大，同時，峰值向完全調諧的左側略有偏移。

3 結論

本文中建立了受簡諧激勵的電磁阻尼耦合懸架動力學模型及非線性振動微分方程，分析得到耦合系統中懸架與電路系統固有頻率之比為1∶3時的內共振幅頻方程，通過算例分析耦合系統的幅頻響應曲線，得到了電磁阻尼耦合懸架系統的內共振特性和參數匹配關系。

1)調節分流器電阻值接近線圈固有電阻值，懸架幅頻響應曲線的峰值隨著電感、電壓的增大而減小，外界激勵幅值和頻率的減小，會使懸架對應的幅頻響應曲線的峰值減小，懸架幅頻響應曲線的非線性強度隨著電感和外界激勵幅值的增大而減小。

2)電量振幅響應曲線的峰值在調節分流器電阻值接近線圈固有電阻時達到最大，電量的振幅響應曲線峰值隨外界激勵幅值和頻率的增大而增大，而電感對電量的振幅響應曲線的峰值影響微小，只是隨著電感的增大，響應曲線的共振區逐漸變窄。