縫內暫堵轉向壓裂數值模擬方法

王博，劉雄飛，胡佳，劉進軍，周福建，周航

1 中國石油大學(北京)克拉瑪依校區石油學院，克拉瑪依 834000

2 中國石油大學(北京)非常規油氣科學技術研究院，北京 102249

3 中石化長輸油氣管道檢測有限公司，徐州 221008

4 中國石油新疆油田分公司開發公司，克拉瑪依 834000

0 引言

水力壓裂形成復雜縫網可以顯著提高儲層改造效果[1]，天然裂縫發育是形成復雜縫網的前提條件[2]。裂縫性儲層中，當天然裂縫膠結強度高、水平應力差大或水力裂縫與天然裂縫夾角(逼近角)高時，水力裂縫傾向于直接穿過天然裂縫，無法將其有效激活。縫內暫堵技術利用暫堵劑在縫內形成架橋封堵，提升縫內凈壓力，轉向激活更多天然裂縫，增大儲層改造體積[3-4]。研究縫內暫堵轉向過程，有助于厘清縫內暫堵轉向機理與規律，指導縫內暫堵轉向壓裂設計。

Wang等[5]暫堵物模實驗結果表明，當水平應力差為2.5 MPa時，在近井筒垂直于先壓裂縫方位上產生了轉向裂縫；而當水平應力差為7.5 MPa 時，不能產生明顯的轉向裂縫。Xiong等[6]使用尺寸為762 mm×762 mm×914 mm的超大巖樣，通過縱向分層射孔與分層加壓的方式，驗證了人工暫堵縱向不同層位產生新裂縫的可行性。Mou等[7]采用碳酸鹽巖天然露頭，系統研究了水平井暫堵分段壓裂中裂縫擴展規律。實驗結果表明，暫堵劑的加入能夠有效提升泵注壓力，沿水平段不同位置產生了新裂縫。真三軸水力壓裂物模實驗是研究相交裂縫擴展的直觀手段，但受尺度限制，無法模擬縫內暫堵轉向過程[8]。數值模擬方面，Zou等[9]基于離散元方法，建立了3D復雜裂縫模型，研究了天然裂縫性質對縫網形態的影響。Wu和Olson[10]采用簡化的三維位移不連續法，研究了水平應力差和天然裂縫分布對整體裂縫形態的影響。Xie等[11]基于Wu和Olson建立的模型進一步開展研究，模擬結果表明，當水力裂縫轉向開啟天然裂縫時，凈壓力得到抬升，引起天然裂縫前的水力裂縫段開度增大和整條水力裂縫長度的減小。Wang等[12]基于擴展有限元方法，研究了天然裂縫摩擦特性和膠結強度對相交裂縫擴展形態的影響。Guo等[13]基于有限元和內聚區方法，研究了應力差和逼近角對相交裂縫競爭擴展的影響。Chen等[14]同樣采用有限元和內聚區方法，研究了應力場、天然裂縫界面屬性、逼近角和泵注參數對相交裂縫形態的影響。內聚區有限元模型可以實現流固全耦合，考慮濾失及孔彈性效應，精確控制裂縫擴展和準確計算巖石變形和應力，是定量研究相交裂縫競爭擴展過程的有效手段。由于缺乏表征暫堵體封堵效果的數學模型，目前相交裂縫擴展數模研究中，尚未考慮人工暫堵的影響，無法研究縫內暫堵轉向過程。

本文基于有限元和內聚區方法，建立了流固全耦合相交裂縫競爭擴展模型，引入暫堵體封堵模型，研究暫堵后相交裂縫競爭擴展行為，為系統研究縫內暫堵轉向規律提供了方法與模型基礎。

1 縫內暫堵轉向壓裂技術原理

裂縫性儲層中，當水平應力差較大、天然裂縫膠結強度較高、水力裂縫與天然裂縫之間的夾角較大時，水力裂縫在流體驅動下向前擴展，遇到天然裂縫后，傾向于直接穿過天然裂縫，無法有效激活天然裂縫(圖1a)。當水力裂縫擴展充分后，泵入小粒徑暫堵劑，暫堵劑在縫內或縫端架橋封堵，形成致密暫堵體，阻止水力裂縫內流體壓力傳遞至縫尖區域。縫內凈壓力升高，迫使流體流向天然裂縫，使天然裂縫面受到的有效壓應力減小，天然裂縫發生張性(圖1b)或剪切(圖1c)激活。隨著流體持續流入天然裂縫并到達端部，天然裂縫完全激活，后續注入流體逐步提高縫內凈壓力，在天然裂縫端部起裂延伸(圖1d)或沿天然裂縫面薄弱點起裂延伸(圖1e)，產生二次分支縫，獲得縫網改造。改造結束后，在儲層流體和溫度影響下，暫堵體在一定時間后降解解封[15]，溶解到壓裂液中并返排至地面，裂縫恢復導流能力并進行投產。暫堵壓裂中，封堵炮眼一般用直徑大于10 mm的暫堵球；封堵縫口一般用粒徑為3～4 mm的顆粒作為架橋顆粒，纖維和更小顆粒作為孔隙填充材料；縫內封堵一般用1 mm顆粒和纖維混合封堵。

圖1 縫內暫堵轉向過程分解(HF表示水力裂縫，NF 表示天然裂縫)Fig. 1 Process decomposition of the temporary plugging and diverting fracturing within fracture (HF the hydraulic fracture,NF the natural fracture)

2 數學模型

縫內暫堵的相交裂縫競爭擴展模擬，需要考慮多個物理過程，包括裂縫內流體流動、多孔介質滲流、巖石變形、裂縫表面流體濾失以及裂縫擴展，且這些過程相互影響，需要耦合求解[16]。此外，暫堵劑形成的暫堵體壓實程度高，滲透性低，能夠有效阻斷縫內流體及壓力傳遞至縫尖[17]，顯著影響相交裂縫競爭擴展狀態，因此需要建立有效的數學模型來表征暫堵體的封堵作用。

2.1 流體流動和巖石變形控制方程

假設流體不可壓縮且為牛頓型流體，則裂縫內流體切向動方程可表示為：

式中：qf為裂縫內流體切向流速，m2/s；w為裂縫寬度，m；μ為流體黏度，mPa·s；pf為裂縫內流體壓力，Pa。

考慮流體經裂縫面流入儲層，流體體積守恒方程可表示為：

式中：qb，qt分別為裂縫上、下表面流體法向濾失速度，m/s。

裂縫面流體法向濾失速度可由下式計算得到：

式中：cb，ct分別為裂縫上、下表面濾失系數，m/(s·Pa)；pw為裂縫周圍孔隙流體壓力，Pa。

多孔介質內流體流動方程可用下式表示[18]：

式中：J為多孔介質體積變化率；ρw為流體密度，kg/m3；nw為孔隙比(孔隙體積與巖石骨架體積之比)；vw為流體滲流速度，m/s；x為空間向量，m。

基于達西定律，多孔介質內流體滲流速度的表達式為[18]：

式中：k為滲透率矩陣，m/s。

基于虛功原理(平衡方程與邊界條件的等效積分弱形式)，巖石變形平衡方程為[18]：

式中：t為單位面積上面力向量，N/m2；f為單位體積體力向量，N/m3；I為單位矩陣；δε為虛應變速度矩陣，s-1；δv為虛速度矩陣，m/s；為有效應力矩陣，Pa。

2.2 內聚區模型

內聚區模型(cohesive zone model)可將流體流動與巖石變形損傷進行耦合表征。相比于傳統斷裂力學方法，內聚區模型可以消除裂縫尖端應力奇異性，同時模擬裂縫擴展時不需要重新劃分網格[19]。通過黏結單元指定裂縫擴展路徑，因此無需網格重構即可捕捉裂縫擴展路徑。本文采用雙線性牽引力—距離(T-S)定律控制裂縫的起裂與擴展，該定律具有應用廣泛、表達式簡單且能夠較好擬合實驗數據的優點[20]。如圖2所示，達到損傷起始點前，界面引力與界面距離滿足線彈性規律；達到損傷起始點后，界面剛度逐步退化。

采用最大應力準則控制裂縫的起裂，表達式為：

式中，、分別為巖石的抗拉強度和抗剪強度。符號〈〉表示壓應力不會引起損傷。σn、τs分別為單元實際法向應力和實際切向應力，可由下式計算得到：

式中，、分別為依據彈性段T-S準則，當前界面距離對應的正應力和剪應力。D為損傷系數，初始損傷點前對應的D為0，完全損傷點對應的D為1。線性軟化過程中，D的表達式為：

式中，為當前界面距離。、分別為初始損傷和完全損傷時對應的界面距離。

在圖2中，Gc表示斷裂能，大小等于三角形圍成的面積。采用Benzeggagh-Kenane(B-K)模型模擬裂縫擴展過程中的損傷演化過程，該模型假設第一剪切方向的巖石斷裂能等于第二剪切方向的斷裂能。B-K模型的表達式為[21]：

圖2 雙線性內聚牽引—分離法則Fig. 2 A bilinear cohesive traction-separation law

式中，、分別為I型和II型臨界斷裂能。GS=Gs+Gt，GT=Gn+GS。Gn、Gs分別為張模式和剪模式的斷裂能分量。η為材料參數，此處取2.28。

2.3 封堵模型

縫內暫堵轉向壓裂過程中，暫堵劑通過架橋封堵并逐步壓實形成致密暫堵體。流體流經暫堵體的壓力損失較大，在暫堵體內的流動近似符合達西滲流規律[22]。當不存在暫堵體時，流體在縫內的切向流動可采用潤滑方程進行計算。基于達西方程和潤滑方程建立暫堵體模擬方法：流體在暫堵體內流動的壓降，與流體在無暫堵體縫內流動的壓降相等[22]。

式中：w為暫堵體厚度，即裂縫初始縫寬，m；A為暫堵體橫截面積，m2；μm為流體實際黏度，Pa·s；μ*為流體在縫內切向流動的等效黏度，Pa·s；km為暫堵體滲透率，mD。可通過高承壓裂縫封堵實驗，預置不同長度的暫堵段，測其滲透性[23]。

公式(10)進一步變形可得到：

由公式(10)和(11)可知：在給定裂縫寬度w和暫堵段橫截面積A情況下，不同的等效黏度μ*對應著不同的暫堵體滲透率。因此，通過改變等效黏度μ*值，可以在不改變縫內流體流動控制方程的前提下，實現對暫堵體的模擬。具體是通過提取指定水力裂縫單元，改變該部分單元內的流體黏度來模擬暫堵體，黏度不作改變時模擬無暫堵體。該方法忽略了暫堵劑的運移規律和架橋封堵機理，也忽略了縫寬和縫長的變化對暫堵體穩定性的影響。

3 模型建立及輸入參數

縫內暫堵轉向物理模型如圖3a所示，依據公式(11)，通過調整裂縫單元內流體的等效黏度，實現指定長度暫堵體的預置。為縮短計算時間，將流體注入點設置在相交點左側3 m處。為阻止水力裂縫持續向左擴展，在注入點左側1 m處設置一段足夠致密的暫堵體。指定水力裂縫沿著水平最大主應力方向擴展。基于有限元方法和內聚區模型，建立流固全耦合二維模型，研究水力裂縫內暫堵轉向過程。如圖3a所示，水平紅線表示水力裂縫擴展路徑，與其有一定夾角(逼近角)的紅線表示天然裂縫擴展路徑。模型尺寸為25 m×25 m，天然裂縫長度為8 m。對裂縫周圍區域進行局部網格加密，以提高計算精度。相交裂縫處4個相交單元設置為初始張開，且4個相交單元采用共孔壓結點處理，保證流體在各分支縫間自由流動。模型根據各分支縫內流動壓降，自動算出剖分到各分支縫的液量。模型實體單元類型定義為CPE4P單元(4結點雙線性位移和孔壓單元)；裂縫單元類型定義為COH2D4P單元(6結點位移和孔壓黏結單元)。固定數值模型邊界的位移自由度以消除剛體位移，且將邊界設定為恒定孔壓邊界。基于塔里木庫車山前克深區塊儲層特征，給定模型基本輸入參數如表1所示。

表1 縫內暫堵轉向模型輸入參數Table 1 Input parameters of in-fracture temporary plugging and diverting fracturing model

圖3 模型建立Fig. 3 Model establishment

4 模型驗證

設定水力裂縫與天然裂縫夾角為75°，水平應力差分別取0 MPa、5 MPa、10 MPa，模型其他參數選取與Guo等[10]一致。模擬結果如圖4所示，本文模型模擬結果與Guo等[10]模擬結果一致，即當水平應力差為0 MPa時，水力裂縫相交天然裂縫后能夠將其鈍角、銳角分支激活；當水平應力差為5 MPa時，水力裂縫相交天然裂縫后只能將其鈍角分支激活；當水平應力差為10 MPa時，水力裂縫直接穿過天然裂縫，不能將其激活。

圖4 模擬結果對比：左，本文模型模擬結果；右，Guo等模擬結果[10]Fig. 4 Comparation of simulation results: left, the simulation results from our model; right, the simulation results from Guo’s model[10]

5 縫內暫堵轉向過程動態模擬結果分析

基于表1中參數值，針對水力裂縫與天然裂縫夾角(逼近角)為75°的情況，分別考慮縫內有、無暫堵體的情況，開展裂縫擴展對比模擬，模擬時間為70 s。縫內有、無暫堵體對比模擬結果如圖5所示。當縫內有暫堵體時，水力裂縫縫寬在暫堵體位置出現陡降(圖5a)，原因在于暫堵體滲透性低，相應位置縫內流體壓力急劇降低(圖5b)。暫堵體能夠有效阻斷水力裂縫內流體向前流動，后續注入流體使注入壓力明顯上升(圖5c)，促使水力裂縫轉向激活天然裂縫(圖5d)。

圖5 有無縫內暫堵體模擬結果對比Fig. 5 Comparison of the simulation results with and without tight plug

為整體動態分析縫內暫堵轉向過程，針對逼近角為75°的情況，模擬時間增大至150 s。圖6a表示注入點和相交點(水力裂縫與天然裂縫相交點)處流體壓力曲線，包含縫內暫堵轉向過程中的5個階段：(1)水力裂縫起裂并擴展至相交點(OA段)；(2)水力裂縫由相交點擴展至暫堵體(AB段)；(3)水力裂縫停止擴展及天然裂縫上分支擴展結束(BC段)；(4)天然裂縫上分支擴展結束至下分支擴展結束(CD段)；(5)裂縫體積持續膨脹(DE段)。圖6b給出了部分時間點水力裂縫縫寬與縫長的關系曲線(橫坐標為0處對應相交點)；圖6c給出了部分時間點天然裂縫縫寬與縫長的關系曲線(橫坐標為0處對應相交點，y軸左側對應天然裂縫的下分支，y軸右側對應天然裂縫的上分支)。各階段具體特征如下。

OA段(0～10.5 s)，水力裂縫由注入點起裂并擴展至相交點。如圖6a所示，注入壓力達到破裂壓力后，水力裂縫起裂并向前擴展，注入點壓力先陡降后小幅上升再小幅下降，相交點流體壓力由于縫尖擠壓流體擴散而小幅下降。當水力裂縫尖端到達相交點后，注入點與相交點的流體溝通，壓力曲線發生重合。

AB段(10.5～20.95 s)，水力裂縫由相交點擴展至暫堵體。如圖6b和6c所示，時間點10.71 s、11.04 s、13.87 s和20.95 s 對應的水力裂縫形態表明水力裂縫持續向前擴展；天然裂縫長度先增大后維持不變，主要以剪切方式開啟(縫寬2 mm表示剪切開啟)。原因在于水力裂縫縫尖逐步向前擴展，縫尖在天然裂縫縫面誘導產生的剪應力逐步減弱。圖6a表明該階段注入壓力持續上升。

圖6 縫內暫堵轉向動態變化過程Fig. 6 Dynamic change course during in-fracture TPDF

BC段(20.95～61.88 s)，水力裂縫停止擴展至天然裂縫上分支擴展結束。如圖6b和6c所示，在時間點57.82 s、61.88 s處，暫堵體有效阻斷水力裂縫內流體向前流動，水力裂縫長度不再變化，縫內流體壓力升高，天然裂縫上分支逐步被激活。如圖6a所示，注入壓力持續升高，直至上分支被完全打開，出現小幅波動。

CD段(61.88～141.1 s)，天然裂縫上分支擴展結束至下分支擴展結束。如圖6a所示，后續流體使注入壓力持續升高。如圖6b和圖6c所示，水力裂縫和天然裂縫上分支寬度逐步增大，天然裂縫下分支逐步被激活。當下分支被完全激活時，注入壓力小幅下降，水力裂縫寬度降低。

DE段(141.1～150 s)，裂縫體積持續膨脹。如圖6a所示，該階段注入壓力逐步上升，水力裂縫與天然裂縫停止擴展，裂縫開度持續增大。

6 結論

1) 給出了相交裂縫競爭擴展所涉及物理過程的控制方程，包括裂縫及基質內流體流動方程、巖石變形平衡方程、裂縫起裂與擴展的內聚區模型。基于達西方程和潤滑方程建立暫堵體模擬方法：流體在暫堵體內流動的壓降，與流體在無暫堵體縫內流動的壓降相等。

2) 建立了二維流固全耦合相交裂縫競爭擴展有限元模型，模型模擬結果與前人模擬結果一致。引入封堵模型后，流體流動表現出明顯的節流效應，水力裂縫縫寬在暫堵體位置出現陡降，縫內流體壓力明顯上升，水力裂縫內轉向激活天然裂縫。

3) 基于本文模型，模擬了縫內暫堵轉向動態過程，該過程分為5個階段：(1)水力裂縫起裂并擴展至相交點；(2)水力裂縫由相交點擴展至暫堵體；(3)水力裂縫停止擴展及天然裂縫上分支擴展結束；(4)天然裂縫上分支擴展結束至下分支擴展結束；(5)裂縫體積持續膨脹。本文研究為后續系統研究縫內暫堵轉向規律奠定了方法與模型基礎。