任意多次散射機理的GTD散射中心模型頻率依賴因子表達

閆華 張 磊 陸金文 邢笑宇 李 勝 殷紅成

(電磁散射重點實驗室 北京 100854)

1 引言

當雷達目標尺寸遠大于電磁波波長時，其總散射響應可看成若干局部等效散射源響應的相干疊加，這些等效散射源稱為目標的散射中心[1,2]。為了表達目標散射中心，目前已發展了一系列參數化的形式[3–13]，它們具有簡潔、稀疏、機理相關等優點，在雷達目標的數據壓縮[14,15]、信號仿真[16]、超分辨成像[17]、特征控制[18]和目標識別[15,19,20]等領域已獲得廣泛應用。

散射中心參數化模型試圖描述散射中心的頻率、視向角、極化等參數的依賴行為。最簡單的散射中心模型為理想點散射中心模型，它將散射中心的幅度與位置視為常數，即不隨頻率和視向角變化。1987年，Hurst等人[3]提出了散射中心的Prony模型，將散射中心的幅度描述成頻率的衰減指數函數的形式。但當雷達帶寬較大時，此形式將偏離實際散射中心的頻率依賴行為。1991年，Carrière等人[4]總結了球、柱、直邊、曲邊、三面角、二面角等典型體的近似散射解形式以及它們的頻率依賴關系，提出了基于幾何繞射理論(Geometrical Theory of Diffraction,GTD)的模型，指出散射中心幅度對頻率的依賴應該滿足冪函數關系，而不是衰減指數函數關系。1995年，Potter等人[5]基于物理光學(Physical Optics,PO)和GTD理論分析了若干主要散射機理，最終導出了GTD模型，并通過與傳統參數化模型進行對比分析，指出GTD模型在分辨能力和統計性能上具有的優越性。隨后人們在GTD模型的基礎上發展了若干新的參數化模型，如極化GTD模型[6–8]、多項式GTD模型[9]、屬性散射中心(Attributed Scattering Center,ASC)模型[10]、改進的ASC模型[11–13]等。它們均繼承了GTD模型的頻率依賴關系，并進一步擴展了對角度依賴或極化依賴的表達。因此，GTD模型在參數化模型發展過程中具有十分重要的意義，其有效性在實際應用中也得到了充分的驗證。

GTD模型有3個方面的優點。(1)GTD模型保持了傳統理想點模型和Prony模型的簡潔性與稀疏性，因而參數反演相對容易，且可實現超分辨性能[5]；(2)模型中頻率的冪函數指數也稱為頻率依賴因子，只能取若干離散的半整數值，而不同取值對應著不同的散射機理類型，因此具有十分明確的物理意義，作為識別特征可顯著提升目標識別正確率[20]，而且使基于該模型的估計算法具有更優的統計性能[5]；(3)GTD模型能夠反映散射中心在較大帶寬范圍內的頻率依賴行為，可實現目標散射數據的高度壓縮與頻率外推[15]。

目前人們對GTD模型頻率依賴因子的物理內涵的理解仍然不夠深入，尚未在頻率依賴因子與散射機理/結構類型之間建立起明確的數學關系。Potter等人[5]在其文章中只是以表格形式列舉了若干頻率依賴因子取值與散射機理類型的關系(見表1)，列舉的散射機理類型有限，尤其是關于多次散射機理只給出了二面角、三面角兩種情形，遠遠不能涵蓋實際復雜目標的機理類型。盡管本文作者在前期工作中[21,22]研究了單站情形下包含鏡面反射與邊緣繞射的15種二次散射機理，給出了更多機理類型的頻率依賴因子取值，但對于更為一般的任意多次散射機理，其頻率依賴因子應該如何取值，或者是否存在明確的數學表達，目前尚無相關工作予以討論。

表1 GTD模型頻率依賴因子取值及其對應的散射機理類型Tab.1 The values of frequency-dependent factor of GTD model and corresponding mechanisms

近年來，出現了一種新的參數化建模技術—正向參數化建模方法[23–26]。與傳統的逆向方法不同，正向方法不采用參數估計或反演方式，而是基于電磁散射機理的先驗知識與電磁建模技術來正向推算模型參數。例如，He等人[23]提出了基于若干典型結構的頻率依賴因子正向推算方法；Li等人[24]基于表面電流分布確定散射中心模型參數。盡管如此，由于缺乏明確且通用的多次散射機理頻率依賴因子數學表達，這些方法只能解決若干特殊典型結構頻率依賴因子的正向推算，難以推廣至任意多次散射機理或結構情形，有時甚至需要通過人工輔助來進行判斷，這大大限制了正向建模方法的適用范圍和工程實用性。因此，建立任意多次散射機理的散射中心頻率依賴因子表達對正向建模技術具有十分重要的意義。

針對上述問題，本文將從射線理論出發，建立單站情形下任意多次散射機理的目標散射中心頻率依賴因子的明確數學表達。本文后續內容安排如下：(1)給出非焦散情形下單次反射/繞射機理的GO/GTD模型及其頻率依賴關系；(2)進一步將其推廣至任意多次反射/繞射機理情形，建立非焦散情形下多次反射/繞射機理的頻率依賴關系；(3)通過多次散射的幾何光學/幾何繞射理論-物理繞射理論(GO/GTD-PTD)混合方法與駐相法(StationaryPhase Method,SPM)，推導任意多次散射機理形成散射中心的頻率依賴公式；(4)通過一系列典型組合體目標的仿真實驗和微波暗室測量試驗獲得的目標散射數據，對本文提出的頻率依賴因子數學表達式進行驗證。

2 任意多次散射機理形成散射中心的頻率依賴因子計算公式

根據射線理論，電磁波可以通過一簇幾何射線管來描述，而電磁波的傳播與散射則看成是各個射線管在空間傳播以及在物體表面發生反射、透射、繞射的結果。射線的傳播、反射、透射可通過GO來計算[27]，射線的繞射可通過GTD[1,28]或一致繞射理論(Uniform Geometrical Theory of Diffraction,UTD)[29]來計算。假設本文考慮的目標為表面分片光滑的理想電導體(Perfect Electric Conductor,PEC)且電尺寸足夠大，電磁波在目標表面的透射和曲面繞射(即爬行波)可忽略不計，則考慮的主要單次散射機理包括鏡面反射、邊緣繞射、尖角/頂繞射。對復雜目標來說，還要考慮多次散射機理，即電磁波或射線經歷多次反射或繞射的傳輸過程。多次散射射線場可綜合GO和GTD/UTD進行計算。需要注意的是，GO,GTD,UTD等射線理論存在焦散點處場值發散的問題。PO[2,28,30]和物理繞射理論(Physical Theory of Diffraction,PTD)[28,31]能有效解決射線理論中焦散區場值發散的問題。為了解決多次散射射線在焦散區場值發散的問題，有學者提出了混合GO-PO方法[32]，即對于在目標表面彈跳總次數為N的射線管，前N–1次反射采用GO方法計算，獲得第N次反射處的入射場，最后一次反射以及傳播到場點的計算則采用PO方法。本文將其拓展至包含繞射的情形，即前N–1次反射/繞射采用GO/GTD方法計算，最后一次反射/繞射則采用PTD方法計算，稱為GO/GTD-PTD方法。其中，目標的PTD解由PO積分加上邊緣修正的等效邊緣電流(Equivalent Edge Current,EEC)[31]積分來計算。

目標的每一種單次或多次機理成分將形成特定的散射中心，其表達式可采用駐相法(SPM)[27,31,32]求解PO/PTD積分來獲得。下面將采用GO/GTDPTD-SPM方法來考察不同散射機理形成的散射中心的頻率依賴性。本文只考慮遠場情形，即發射和接收離目標足夠遠(兩個距離均滿足?d2/λ,d為目標尺寸，λ為波長)。

2.1 非焦散情形下單次反射/繞射機理的GO/GTD模型及其頻率依賴關系

假設一簇射線管入射到一個分片光滑曲面目標的表面之上，可能被曲面反射，或被邊緣繞射，或被尖頂/角繞射，分別對應著3種不同的散射機理：鏡面反射機理、邊緣繞射機理和尖頂/角繞射機理。根據GO和GTD理論[1,27,28],3種散射機理形成的射線場具有不同的頻率依賴性：鏡面反射射線場的頻率依賴關系為k0；邊緣繞射射線場的頻率依賴關系為k?1/2；尖頂/角繞射射線場的頻率依賴關系為k?1。

需要注意的是，在射線場的焦散區，由于GO和GTD理論失效，上述結論不再成立。

2.2 非焦散情形下多次反射/繞射機理的頻率依賴關系

現在考慮多次散射機理。設一根射線在目標表面經歷了N次彈跳。顯然，最終的出射射線場為每次彈跳散射變換函數的連乘。因此出射射線場的頻率依賴函數亦為冪函數形式，且其指數為每次彈跳散射頻率依賴因子的總和，即

其中，αi為每次彈跳散射變換頻率依賴因子。由前面的討論，其取值如下：

若定義di為射線的第i次 被反射或繞射的幾何元素的維數，即

則對比式(2)和式(3)，顯然有αi=(di ?2)/2。于是，可以將經歷了N次彈跳的射線場的頻率依賴式(1)寫為

與單次彈射射線場相同，式(4)給出的多次射線場的頻率依賴性只在非焦散區有效。

2.3 多次散射的GO/GTD-PTD積分公式

為了獲得射線場在焦散區的頻率依賴關系，采用GO/GTD-PTD混合方法，即將PTD應用于由GO/GTD得到的在目標表面發生第N次彈跳之前的射線場(即經過N–1次彈跳的射線場)。

目標的總散射場可通過對不同彈跳次數射線場在目標表面激發電流的遠場積分進行求和而得到[27,32]，其中激發的電流包括在目標表面激發的面電流和在目標表面邊緣上激發的線電流，其形式如下

2.4 SPM方法與任意多次散射機理形成散射中心的頻率依賴公式

利用SPM近似計算積分式(6)的解析形式，進而獲得目標任意多次散射機理形成散射中心的頻率依賴性。設目標表面照亮面ΓN和邊緣LN分別表示成下面的參數方程形式

(1)在子區域內，恒滿足rank(Q)=2

此時，顯然有det(Q)≠0，由GO理論，散射場無焦散。根據SPM[30]，當滿足det(Q)≠0時，快速振蕩的面積分或線積分可近似由面或線上的若干特殊點附近的很小區域的貢獻之和給出，這些特殊點稱為駐相點或臨界點。式(6)中方括號里第1項的面積分(對應著PO積分)近似等于3類臨界點貢獻之和；而第2項(對應著EEC積分)近似等于第2類和第3類臨界點貢獻之和。其中，第1類臨界點又稱為內部駐相點(該點滿足駐相條件gu=0,gv=0)，其表達式與GO公式相同，對應著鏡面散射中心；第2類臨界點又稱邊界駐相點(該點滿足駐相條件gt=0)，對應著邊緣散射中心；第3類臨界點對應著角點，對應著尖角/頂散射中心。需要注意的是，由于滿足相同的駐相條件，EEC積分給出的第2類臨界點(邊緣散射中心)和第3類臨界點(尖角/頂散射中心)的位置與PO積分給出的相同，它只是在幅度上對PO積分的第1、第3類臨界點貢獻進行了修正。

根據SPM，式(6)中方括號內兩項積分給出3類臨界點的附加頻率依賴關系分別為k?1,k?3/2和k?2，綜合被積函數的頻率依賴關系式(12)和式(13)，可以得到最終的N次散射機理形成散射中心的頻率依賴性與式(4)完全一致。

(2)在子區域內，恒滿足rank(Q)=1

此時有det(Q)=0，由GO給出的場處于焦散區。rank(Q)=1說明Hessian矩陣Q只有一個非零特征值，此時稱為一重焦散情形。因此，通過特定的正交變換可將Q進行對角化：

則路程函數g的泰勒展開式可化成只有一個平方項的標準二次型：

式(19)的第1項為第1類臨界點(即內部駐相點或鏡面散射中心)的貢獻，考慮到f1(u0,v′)的頻率依賴性式(12)，以及dN=2，可以立刻得到此時鏡面散射中心的頻率依賴性為

與非焦散情形頻率依賴式(4)相比，頻率依賴因子增加了1/2的修正項，本文稱為焦散修正形式。

式(19)的第2項為PO給出的邊緣積分貢獻，根據Carluccio等人[33]的工作，具有下面的形式

其中，p?=(u?(t),v?(t)),t為邊緣線的參數坐標(見式(14)定義)，?U為照亮面ΓN在參數坐標空間定義域U的邊界線，實際上，它對應著邊緣線LN。

對比PO邊緣積分式(21)與EEC邊緣積分式(式(6)第2項)，兩者被積函數的幅度函數項具有相同的頻率依賴性，而復指數的相位函數完全相同。由此，可以將兩者合并成一個邊緣積分項(即總的邊緣繞射貢獻，記為)，其形式如下：

對于邊緣積分式(22)來說，存在兩種情況：邊緣線上存在子區間恒滿足gtt(t)≠0，或恒滿足gtt(t)=0。

當gtt(t)≠0時，邊緣繞射場無焦散，邊緣積分與情形1相同，存在第2類臨界點(邊界駐相點)和第3類臨界點(角點)。此時，相應散射中心的頻率依賴性滿足式(4)。

當gtt(t)=0時，邊緣繞射場處于焦散區，由泰勒展開式(16)，邊緣積分式(22)可化為

若gt(t0)≠0，根據SPM，積分式(24)可近似表達成第3類臨界點(角點)的貢獻，此時，相應散射中心的頻率依賴性滿足無焦散修正的式(4)。

當滿足駐相條件gt(t0)=0時，式(24)化為

聯合式(23)及dN=1，可得該子區域形成的邊緣繞射貢獻的頻率依賴性為

可見，式(26)與鏡面反射情形的焦散修正形式(式(20))完全一致。這說明，焦散修正與散射機理類型無關，而只和產生焦散的類型有關，它們均是由于路程函數的Hessian矩陣只有一個特征值為0(即一重焦散)所引起的，因此，稱式(20)或式(26)為頻率依賴公式的一重焦散修正形式。

(3)在子區域內，恒滿足rank(Q)=0

同情形2類似：det(Q)=0,GO給出的場處于焦散區。rank(Q)=0說明Hessian矩陣Q兩個特征值均為0，此時矩陣Q為零矩陣，稱為二重焦散情形。于是，由泰勒展開式(22)，路程函數可近似表達成線性函數為

當gu(u0,v0),gv(u0,v0)不全為零時，PO積分式(式(6)第1項)無內部駐相點，只包含邊緣積分貢獻，其形式如式(21)，其關于頻率依賴性的結論與情形2相同。

當gu(u0,v0)=gv(u0,v0)=0時，路程函數式(27)化為常數，于是PO積分式(式(6)第1項)將化成為

再由f1(u0,v′)的頻率依賴性式(16)，以及dN=2，可立刻得到此時的頻率依賴性為

與非焦散情形頻率依賴表達式(4)相比，頻率依賴因子增加了1的修正項。這與一重焦散修正形式(20)和式(26)是不同的。由于它是由路程函數的Hessian矩陣兩個特征值為0(即二重焦散)所引起的，稱式(29)為頻率依賴公式的二重焦散修正形式。

綜合上面3種情形的討論結果，即非焦散形式(式(4))和兩種焦散修正形式(式(20)或式(26)和式(29))，最終可得統一的任意多次散射機理形成散射中心的頻率依賴公式

其中，α為頻率依賴因子；N為多次散射機理的散射次數；di為反射幾何元素的維數，如式(3)所定義；αc為焦散修正因子，其取值總結如下

圖3展示了該區主要景區的空間布局及交通狀況（高速公路和國道）。從中發現，一是該區的旅游資源布局呈現分布廣泛，局部集中，給旅游線路的規劃帶來的最大問題是，景點布局分散，各個景點之間的距離較遠，游客坐車容易產生疲勞感。二是目前的高速公路和國道布局密度低，且受地形影響，道路多坡道、彎道，這樣會導致游客坐車舒適度下降，此外，西部的地區沒有高速通過，對旅游線路規劃產生不利影響。而未來的始于忻州市偏關縣老牛灣，終于運城市垣曲縣王茅鎮寨里村的沿黃扶貧旅游公路建設將會提高交通的可進入性和可達性。

特殊地，針對一次散射機理，可以容易地驗證散射中心頻率依賴式(30)，式(31)的正確性。取散射次數N=1，式(30)化為α=αc+(d1?2)/2。由式(2)，式(3)，對于鏡面反射機理有d1=2，則頻率依賴因子公式進一步簡化為α=αc。由式(31)可知，此時頻率依賴因子可以取3種值(0,1/2,1)，分別對應著3種焦散情形，即無焦散、一重焦散和二重焦散。

可以進一步指出，在單次散射機理及遠場條件下，3種焦散情形實際上分別對應3種目標表面幾何形狀：雙彎曲曲面、單彎曲曲面和平面。根據前面3種焦散類型定義，3種焦散類型分別對應著路程函數的Hessian矩陣具有不同的秩(即非零特征值個數)。對于一次散射機理，路程函數可以寫成g(x′)=r?·x′，其中r?為雷達視線，x′為目標表面照亮區的任一點。不妨取目標坐標系的z軸與r?方向一致，則有g=z(x,y)，其中x,y,z為位置矢量x′在該目標坐標系下的坐標，即此時路程函數為目標表面的曲面方程。那么，路程函數的Hessian矩陣就是目標表面的曲率矩陣。考慮到曲率矩陣的特征值為目標表面的主曲率，于是，無焦散情形，目標表面的兩主曲率均不為0，此時對應著雙彎曲曲面；一重焦散情形，目標表面只有一個主曲率不為0，此時對應著單彎曲曲面；二重焦散情形，目標表面兩個主曲率均為0，此時對應著平面。

對于單次邊緣繞射機理有d1=1，則頻率依賴因子公式簡化為α=αc ?1/2。由式(31)可知，此時頻率依賴因子可以取兩種值(–1/2,0)，注意對于邊緣繞射只有兩種焦散類型，即無焦散和一重焦散。類似地，可以指出，在單次邊緣繞射和遠場條件下，兩種焦散分別對應著兩種目標表面邊緣幾何形狀：曲邊緣和直邊緣。對于單次尖頂/角繞射機理有d1=0，且此時只存在無焦散一種情形，則由式(30)和式(31)，頻率依賴因子α=?1。

綜上，通過與表1中給出的頻率依賴因子取值對比可知，頻率依賴因子式(30)和式(31)可以正確地預測單次散射機理的頻率依賴因子數值。

3 典型二次、三次散射機理的頻率依賴公式驗證

為了進一步驗證頻率依賴式(30)的有效性，本文將平板(方板或圓盤)、圓柱、球、立方體和圓錐體等6種典型體進行兩兩組合，得到20種組合體目標，然后通過電磁仿真和微波暗室測試兩種手段獲取目標散射數據，并提取二次散射機理形成散射中心，估計頻率依賴因子，最終與式(30)預測的頻率依賴因子取值進行對比，驗證兩者的一致性。

6種典型體目標的尺寸如表2所示，其中若干典型體存在兩種尺寸。形成的20種組合體的幾何示意圖由表3給出，基于本文提出式(30)可以給出每種組合體的頻率依賴因子的理論取值，也在表3中列出。

表2 6種典型體尺寸參數列表Tab.2 Size parameters for 6 canonical objects

表3 20種組合體目標及其中產生的二次反射/繞射機理的幾何結構示意與頻率依賴因子取值Tab.3 Types of double reflection/diffraction mechanisms,20 combination objects,corresponding geometric diagram and theoretical values of the frequency-dependent factor

目標散射仿真數據通過北京環境特性研究所開發的電磁建模軟件RatsPro v1.0對目標網格模型進行計算而獲得，該軟件包含了多種計算方法—射線彈跳追蹤(Shooting and Bouncing Ray,SBR)法[34]、矩量法(Method of Moments,MoM)和特征基函數法(Characteristic Basis Function,CBFM)[35]等，不同的計算任務需要選擇不同的方法。文中多次鏡面反射情形采用SBR方法來計算，而鏡面-邊緣散射和邊緣-邊緣散射情形則采用MoM或CBFM方法來計算。目標散射測試數據通過在北京環境特性研究所微波暗室中對組合體目標的金屬實物模型進行RCS測試而獲得。最終獲得的目標散射仿真數據和測試數據為RCS幅相數據。獲得目標RCS幅相數據之后，需要進一步對數據進行處理以得到頻率依賴因子。本文采用一種基于頻帶分割的方法—子帶圖像比較(Spectrum Parted Linked Image Test,SPLIT)算法[36]來估計頻率依賴因子。該方法通過對不同子帶上估計的散射中心幅度進行比較來實現頻率依賴因子的估計。其主要做法為：在目標的寬帶散射響應上任意截取兩段足夠帶寬的子頻帶數據(一般取總帶寬的40%較優[21])，其中心頻率為fc1和fc2，分別對這兩段子頻帶數據進行散射中心位置及幅度參數估計，則各子帶散射中心幅度系數的估計值與子帶中心頻率之間的關系為

圖1以圓柱-圓柱垂直組合為例，給出了仿真的VV極化下的雷達散射截面積(Radar Cross Section,RCS)掃頻曲線與子帶分割示意圖，選擇了40%子帶，則兩個子帶中心頻率分別為fc1=10GHz和fc2=16GHz。圖2(a)和圖2(b)分別給出了兩個子帶的一維距離像以及采用ESPRIT(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques)算法[37]估計的二次鏡面反射機理所對應的散射中心幅度參數的結果。于是，根據式(32)可立刻估計出頻率依賴因子的值α=0.5499。

圖1 圓柱-圓柱垂直組合體的RCS曲線與子帶分割示意圖Fig.1 RCS curve for cylinder-cylinder orthogonal combination objects and sketch map of frequeny band splitting

圖2 各子帶散射中心參數提取結果Fig.2 Results of scattering center extraction for each sub-band scattering data

通過上述方法對20種組合體仿真數據進行二次散射機理頻率依賴因子估計，表4給出了估計結果以及與理論值的對比。仿真條件為頻率8～18GHz、極化VV和HH，視向角選擇典型強散射方向。結果表明，估計的頻率依賴因子與式(30)預測的理論值大部分情況都較為一致。其中，若干組合體(如球-平板組合、圓柱-圓柱平行組合等)的頻率依賴因子估計值與理論值的誤差較大，且VV和HH極化的誤差也有所差別。其主要原因是存在其他幅度更強或相當的散射中心對所關注機理的散射中心形成“干擾”，影響了其頻率依賴因子的估計精度，并且當“干擾”散射中心存在著較明顯的極化差異時，頻率依賴因子的估計誤差也具有明顯的差別(如參考文獻[21]中的討論)。針對多于二次散射的機理，采用三面角與雙頂帽結構，結果如表5所示，估計的頻率依賴因子與理論預測值相符。

表4 基于20種組合體仿真數據的二次散射機理形成散射中心的頻率依賴因子估計與理論值對比Tab.4 Comparison of theoretical frequency-dependent factor values by proposed formula and estimated ones by simulation data for scattering centers induced by double scattering from 20 combination objects

表5 基于2種組合體仿真數據的三次散射機理形成散射中心頻率依賴因子估計與理論值對比Tab.5 Comparison of theoretical frequency-dependent factor values by proposed formula and estimated ones by simulation data for scattering centers induced by triple scattering from 2 combination objects

另外，通過上述SPLIT算法對7種組合體暗室測試數據進行二次散射機理頻率依賴因子估計，表6給出了散射機理類型、組合體幾何示意圖以及估計結果與理論值的對比。暗室測量條件為頻率8～12GHz、極化HH，俯仰角90°，方位角選擇典型強散射方向。結果表明，估計的頻率依賴因子與式(30)預測的理論值較為一致。

表6 基于7種組合體暗室測量數據的二次散射機理形成散射中心的頻率依賴因子估計與理論值對比Tab.6 Comparison of theoretical frequency-dependent factor values by proposed formula and estimated ones by meas urementdata in microwave anechoic chamber for scattering centers induced by double scattering from 7 combination objects

可見，基于仿真的結果與基于測試的結果均驗證了本文提出的頻率依賴因子公式的有效性。

4 結論

本文從射線理論出發，基于GO/GTD-PTD混合方法與SPM方法，推導了PEC目標任意多次散射機理形成散射中心的頻率依賴因子表達式。頻率依賴因子與反射次數、射線在目標表面多次彈射所經過的幾何元素維數以及焦散情況有關。最后針對一系列典型組合體目標，進行了仿真實驗和微波暗室測試試驗，通過獲得的RCS仿真與暗室測試數據，驗證了本文提出的理論與公式的有效性。本文提出的頻率依賴因子計算公式具有較強的普適性，可應用于復雜目標電磁散射正向參數化建模中頻率依賴因子參數的正向推算。

致謝在本文修改過程中，武漢大學電子信息學院朱國強教授提出了重要的修改意見和建議，特此致謝！