基于整體 瞻前望遠

陳靈君

摘要：基于知識的整體性和教學的整體性，通過對學生的了解，發現“銳角三角函數”所構建的教學設計與教材的生活情境引入有所分歧，重點在于構建完整的直角三角的知識框架，其中構建直角三角形任兩邊的比值和對應的銳角形成一種函數關系，可以借助三角形的相似性進行研究，同時設立問題串引導學生，經歷“觀察、猜想、推理、驗證”的數學探索之路。

關鍵詞：整體設計;起始課;銳角三角函數

一、教學分析

學習“銳角三角函數”之前，函數上學生已有一定基礎;幾何中學習了直角三角形的角、邊的關系以及相似三角形，也了解特殊直角三角形中的邊角關系（如30度的直角三角形中三邊之比是）。而銳角三角函數反映的是角度與數值之間的對應關系。其首要任務是讓學生明確銳角和線段比之間的函數關系，可以說，本節內容是直角三角形知識學習的系統終端啟示課。

在浙教版教材中采用的是生活情境做導入，再從特殊三角形入手進行討論分析;問題在情境中生成，并運用到生活中，這固然是數學教學的一個“套路”。但是在學生學習已經如此系統的情況下，是從“生活情境”出發導入生成問題，還是從“數學知識的整體性”出發導入，這成為了我思考的第一個問題。

二、教學設計與說明

教學環節（一）溫故導入，整體感知

問題1：PPT呈現一張直角三角形的圖片，對于直角三角形，我們一般研究其哪些內容？你已經知道了它的哪些性質？

教學記錄：學生很輕松的回顧了直角三角形的三邊關系即其勾股定理，兩邊之和大于第三邊;三角關系即兩銳角互余;面積公式，周長公式。學生邊講解，板書邊展示如下框架圖1;

問題2：那邊角之間有關系嗎？要想研究邊角這兩個量之間的關系，可以先確定一個量，再研究邊之間的關系;然后再從特殊情況進行研究，比如特殊的直角三角形。

教學環節（二）猜想驗證，探究新知

幾何畫板動態展示如下圖2，一副可以改變角度;一副改變邊長，不改變角度。

問題5：從以上的展示中你發現什么現象？

教學記錄：學生回答三個比值隨著角度的變化而變化，而與三角形的大小無關。學生小組討論，得出其實質的依據為當角度確定的兩個直角三角形是相似的，可以根據相似三角形的性質即可得出。學生講解給出其中一對（如圖3）。

學生歸納后確定：當確定時，三個比值也隨之確定;反之，當變化時，三個比值也隨之變化。

問題6：那么這種隨角度的變化而變化的關系是一種什么關系呢？

教學記錄：學生回答“函數關系”，揭示課題“銳角三角函數”，隨后學生自學書本三個函數的定義。

教學環節（三）精致新知，形成結構

問題7：幾何中，我們還要將文字語言轉化為符號語言，你能結合圖象說一說嗎？書中給出了的取值范圍，同學們能解釋一下為什么如此嗎？

問題8：對于直角三角形的銳角有三角函數，那么對于有三角函數嗎？你能寫出其符號語言嗎？

教學記錄：組織學生準確表述三個三角函數的定義后，讓學生給出了符號表示，結合圖形，解釋了三角函數的取值范圍。并根據定義，引導學生自己歸納給出了的三角函數的符號表示。

教學環節（四）總結回顧，瞻前望遠

通過師生互動，學生立足知識框圖的生長，形成結構圖（如圖5）

問題12：觀察與的三角函數，你有什么發現？

問題13：同一個角的三個三角函數之間有沒有關系？

三、關于章起課教學的幾點思考

1. 理解數學，在整體感知處用力

在系統思維的引領下，起始課應對整章知識做一個提綱挈領的“預覽”或對整章知識的學習做一個“學法指導”，使學生在學習后續課程內容之前有一個全局的認識。筆者對教學內容進行研究分析，決定選用“數學現實”作為問題情境引入，而放棄書本中的生活情境，而是將生活問題放入最后的運用環節。

2. 理解學生，在最近發展區發力

教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教;學生問題在于概念的理解，如何讓學生理解三角函數的概念是重心。解直角三角形所需的知識框架不僅要有邊角關系，還需要邊的關系以及角的關系，這需要教師引導、協助。這都符合學生的最近發展區，更能激發起學生的學習興趣和探究欲望。

3. 理解教學，在“通性通法”中助力

本案例中，教師在教學時通過層層深入，逐步生成完善，引入新課環節，引導學生“從特殊到一般”的數學思想，經歷“觀察、猜想、推理、驗證”的數學研究套路。同時在研究函數關系時可以先確定一個變量再進行研究是數學常用的建模方法，無形中為學生今后進行數學學習研究提供了模式。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]潘海波.整體把握 結構設計[J].中學數學（初中），2020（11）.

[3]劉繼承 黃喬玉.經歷概念形成過程 體會數學思想方法——“銳角三角函數的概念”教學案例及反思[J].教學案例，2019（7）.