高一數學運用參變分離和基本不等式求解不等式恒成立問題

方林

摘要：參變分離法是求解不等式恒成立問題的常用方法，可利用等價變形，使得參數與變量分離于不等式的兩端，從而轉化為基本不等式的最值，來避免變量分類討論。

關鍵詞：基本不等式;恒成立;參變分離;分類討論

在高一數學學習中，經常遇到含有參數的某些函數、方程、不等式，并要求確定參數的取值范圍題目。同學們在解決此類問題時總有這樣的猶豫：到底用分類討論方法，還是用參變分離法？雖然可以采用對變量進行分類討論的方法，逐步排除不合理要求的變量范圍，最終得出變量的范圍，但是比較繁瑣，不易做到最終結果。

參變分離法廣泛適用于不等式恒成立取值問題，參變分離后可將不等號的兩側分離為參數、代數式，只需求一側代數式的最值。在求解代數式的最值問題時經常涉及到基本不等式，高一許多不等式恒成立取值問題經過整理、變形、換元等都可以轉化為基本不等式，然后利用基本不等式求最值，進而可以求出參數范圍。

小結：參變分離是避免參數分類討論的方法技巧，是不等式恒等轉化的策略，將不等式分離為不等號兩側是不同的結構，一側為參數的代數式，另一側為變量的代數式，通過基本不等式分析來求代數式最值，再轉化求參數取值范圍。教學中可引導學生對常見的恒成立問題進行條件轉化、方法探究，生成常見的最值情形。

參考文獻：

[1]人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書（數學A版·必修第二冊）[M].北京：人民教育出版社，2020：86-89.

[2]人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書（數學A版·必修第一冊）[M].北京：人民教育出版社，2020：92.

[3]金兔，陳浩.不等式的恒成立、恒不成立和不恒成立[J].理科考試研究，2006（7）：11-12.