諧波傳動柔輪變形測量誤差分析與補償

楊聰彬，郭慶旭，劉志峰*，張 濤，胡秋實，張雪洋

（1.北京工業大學 先進制造技術北京市重點實驗室，北京100124；2.江蘇科技大學機械工程學院，江蘇 鎮江212003）

1 引言

諧波減速器依靠中間柔性部件（柔輪）周期性彈性變形來實現運動及動力傳遞，當波發生器裝配進入柔輪后，柔輪在波發生器作用下產生一定程度的彈性變形，使得柔輪齒與剛輪齒進行嚙合［1-2］。但在傳動過程中，柔輪齒圈上每個位置的變形是動態變換，會一定程度上影響齒輪產生嚙合干涉或者脫離嚙合。一般為了便于計算，理論上將柔輪中性層的形變近似作為柔輪的變形，但柔輪在實際的彈性變形是十分復雜的，實際測量柔輪變形函數與理論位置存在較大差異［3-5］，因此精確測量柔輪在波發生器作用下的實際徑向變形規律成為當前研究重點。

在實際應用中，雖然測量儀器的精度較高，但測量裝置機械機構裝配誤差難以消除，導致柔輪徑向變形測量精度較低，柔輪變形規律的實際檢測與理論結果相差較大。目前，針對消除安裝誤差影響因素進行了大量分析研究［6-9］，但由于波發生器并非標準圓結構，現有的誤差補償方法難以適用，另外柔輪在波發生器作用下發生復雜變形，致使安裝誤差對柔輪的變形結果產生復雜影響［10-11］，因此國內外鮮有對柔輪變形函數測量中安裝誤差的研究。本文將基于坐標變化原理提出了柔輪變形偏心測量模型，通過理論偏心模型得到了波發生器與轉臺中心的安裝偏心量、波發生器實際參數，將偏心狀態下的柔輪徑向變形函數帶入誤差修正模型，得到消除安裝誤差下的柔輪徑向變形函數，結果表明利用該方法能夠有效的解決了柔輪變形在偏心狀態下的測量問題，降低實驗設備的精度要求，為優化諧波減速器的齒廓參數奠定了實驗基礎。

2 測量誤差分析

2.1 柔輪徑向變形理論模型

理論下的諧波減速器柔輪變形是基于三種假設理論下進行分析計算，柔輪徑向變形量與波發生器的尺寸參數及轉動速度具有一定的函數對應關系，其變形原理如圖1（a）所示，柔輪中線在波發生器作用下產生變形，其中細虛線為柔輪變形前中性線，Q(x，y)點為波發生器長軸方向的象限點，P(x，y)為柔輪上變形任意點，實線為柔輪變形后中性線，Q c和Pc分別為變形后的對應點。

圖1 柔輪理論變形圖Fig.1 Theoretical deformation diagram of the flexspline

理論柔輪徑向變形函數w與轉角φ之間對應函數關系：

其中：w0為柔輪的最大徑向變形量，φ為波發生器的轉角。

在波發生器長短軸的最大徑向變形量相等的情況下，可用余弦函數代替理論徑向變形函數，簡化理論共軛齒廓的求解過程，柔輪徑向變形理論曲線如圖1（b）所示。

2.2 柔輪變形測量誤差模型

在理想情況下，被測波發生器按照測量的安裝要求，其軸線與精密轉臺軸線重合進行運動傳遞，圓光柵精確測量被測波發生器的角位移，通過激光測距儀對柔輪徑向變形量進行精確測量，并對信號進行分析處理，準確的得到柔輪的徑向變形函數。但在測量機的實際工作中，各個方面都可能存在著相應的誤差，導致其測量結果偏差較大［12］。

為進一步研究測量系統誤差分布情況，基于多體系統理論與測量系統結果模型，針對轉臺運動系統進行運動誤差模型的分析與建立，其結構與運動誤差模型拓撲圖如圖2所示。

圖2 系統結構及拓撲圖Fig.2 System structure and topology

基于測量系統拓撲分析模型可知，測量誤差主要因素在于測量過程中安裝偏心［13］，本文中安裝偏心是指波發生器中心與轉臺回轉中心存在偏差。

如圖3（a）所示，波發生器與精密轉臺回轉中心存在一定的位置偏心，波發生器以轉臺中心進行旋轉，迫使柔輪發生變形，激光測距儀光線通過波發生器中心，偏心狀態下實際測量點的坐標已發生轉變，理論測量點（圖3中黑色曲線）與實際檢測點（圖3紅色曲線）發生偏移，進而導致其變形結果與理論結果存在較大偏差如圖3（b）所示（彩圖見期刊電子版）。

圖3 變形函數結果對比圖Fig.3 Comparison of deformation function results

在波發生器安裝誤差作用下，測量結果會使得柔輪變形函數測量結果產生較大的偏差，在偏心位置方向測量結果與實際變形量偏小，反方向測量結果與實際變形量偏大，進而導致變形函數測量幅值與變形規律發生較大偏差，變形量與轉角之間的對應函數關系產生轉變。

為了去除偏心對柔輪變形測量造成的影響，本文采用矩陣來表示坐標系之間的變換關系，基于坐標變換原理可以得到安裝偏心狀態下波發生器在轉臺坐標系下的表達公式為：

其中：X e為偏心向量的x坐標，Y e為偏心向量的y坐標。

在測量過程中，轉臺會帶動波發生器轉動，相當于波發生器各點進行了旋轉坐標變換，其旋轉變換矩陣為：

其中θ為轉臺旋轉角度（逆時針為正）。

3 柔輪徑向變形補償方法研究

為解決安裝偏心誤差導致的檢測結果偏差，本文基于坐標變換原理建立安裝誤差修正模型對檢測結果進行補償?；谄臓顟B下理論徑向變形量的原理，根據測量點、回轉中心與轉角之間的函數對應關系，進一步推導出該偏心狀態下理論徑向變形量表征模型。如圖4所示，本文首先建立了理論偏心表征模型，通過實際測量的變形曲線，反求安裝偏心量與波發生器的實際參數；其次通過偏心量與橢圓參數建立誤差修正模型，對柔輪變形量進行補償。

圖4 測試方法原理圖Fig.4 Schematic diagram of the test method

3.1 偏心量測量模型

通過分析波發生器同軸心的標準圓偏心狀態下變形規律，建立安裝偏心狀態下的偏心測量模型，研究理論狀態下標準圓在偏心狀態下的變形函數表征方法，其變形原理如圖5所示，實際測量點為點A，轉動后測量點位置定義為點A1，圖中紅色虛線表示偏心圓（彩圖見期刊電子版）。

圖5 偏心狀態圓徑向變形模型Fig.5 Radial deformation model of a circle with eccen?tric state

在基準坐標系O中，r為標準圓半徑，ex為測量線偏移量，r0為偏心圓半徑，d0為測量點距離變化量，θ為轉動角度，其偏心狀態下的標準圓表征函數為：

其中：cosδ=。

通過公式（4），可得偏心狀態下標準圓徑向變形函數為：d0=f(θ)，將實際檢測變形曲線分別帶入公式（4）中，即可反求出安裝偏心量(ex，ey)。

3.2 波發生器參數模型

由于波發生器存在一定的加工誤差，為提高測量結果的準確率，需測量實際波發生器參數。通過分析波發生器在安裝偏心狀態下的徑向跳動函數規律，建立波發生器偏心測量模型，研究理論狀態下波發生器在偏心狀態下的變形函數表征方法?；谧鴺俗儞Q原理，以波發生器為基準，測量線以偏距圓為中心進行旋轉，偏心狀態下波發生器變形原理如圖6所示（彩圖見期刊電子版），起始測量點為B，轉動后測量點B1點，圖中紅色實線表示偏距圓（半徑為偏心距ex）。

圖6 波發生器偏心變形模型Fig.6 Eccentric deformation model of wave generator

以波發生器中心建立坐標系，θ為轉動角度，設轉動后測量線與波發生器焦點為B1(x，y)，轉動中心O1坐標為(ex，-ey)，偏心狀態下波發生器徑向理論變形函數為：

波發生器徑向跳動量d：

測量波發生器在偏心狀態下的徑向變形量d，帶入公式（6）中，反求波發生器參數：

3.3 變形函數誤差補償模型

柔輪在波發生器作用下發生彈性變形，由于安裝誤差的存在導致測量結果與理論相差偏大，變形函數曲線無法滿足諧波齒形設計的要求。

為解決上述問題，研究了諧波傳動柔輪變形函數誤差補償模型。本文基于諧波傳動原理，首先分析研究了安裝誤差工況下波發生器表面輪廓曲線函數，建立波發生器偏心補償模型，獲得柔輪在波發生器作用下的徑向變形補償函數；由于安裝誤差的存在導致柔輪壁厚對測量結果存在一定的影響，如圖7（b）所示，使得柔輪壁厚相對于測量點產生了較為復雜的徑向位移量，通過研究偏心狀態下柔輪壁厚對測量結果的影響規律，建立了柔輪壁厚誤差補償模型。因此安裝偏心狀態下的補償模型包含兩部分，即波發生器偏心補償模型與柔輪壁厚誤差補償模型R：

其中：D為波發生器偏心補償數組，τ為柔輪壁厚誤差補償模型，R1為補償前柔輪實際測量曲線，R為補償后柔輪測量曲線。

3.3.1 波發生器偏心補償模型

柔輪變形誤差補償是以波發生器為研究基準，分析柔輪在波發生器作用下的徑向變形量，確定波發生器在偏心狀態下進行變形量與理論對應轉角下變形量之間對應關系，得到波發生器在偏心狀態下的補償模型D：

3.3.2 柔輪壁厚誤差補償模型

柔輪壁厚誤差補償模型是指柔性軸承與柔輪得厚度在偏心狀態下得誤差模型，為標準值與偏心值之間得插值函數τ：

其中：β為理論狀態下得壁厚變化函數，β1為偏心狀態下得壁厚變化函數。

理論狀態下得壁厚變化函數β：

其中Δ為厚度。

偏心狀態下得壁厚變化函數β1：

4 實驗

4.1 實驗裝置

本次實驗的裝置如圖8所示，該檢測裝置包括安裝于光學平板上的高精度轉臺系統、激光測量系統和柔輪固定系統，通過高精度轉臺系統實現波發生器的安裝和360°均勻分度旋轉，柔輪通過柔輪支架固定在光學平板上，并通過上下調節實現柔輪與波發生器的接觸，激光位移傳感器通過傳感器支架安裝于水平滑臺上，并通過前后移動調整實現激光穿過波發生器中心軸線，以此來實現徑向變形量的測量。

圖8 柔輪變形函數研究平臺Fig.8 Platform for flexspline deformation function re?search

本次實驗轉臺轉速為0.3°/s勻速轉動，激光測距儀以100 Hz的采集頻率采集。首先，通過上下移動調節柔輪實現波發生器與柔輪分離，前后移動調整激光測距儀實現激光穿過與波發生器同軸心的標準軸中心軸線，測量標準圓變形量，再向上調節激光測距儀實現激光穿過波發生器中心，測量波發生器變形量，最后向下調節柔輪實現柔輪與波發生器的完整接觸，測柔輪再波發生器作用下的變形曲線。經調試后轉臺的定位精度為0.0008°，勻速運動過程中的速度波動為0.01°附近。

表1 諧波減速器參數表Tab.1 Harmonic reducer parameters table

4.2 實驗結果

測量與波發生器同軸的標準圓（直徑D=30 mm）在三種偏心狀態下的徑向變形量，經過數據濾波與擬合后，其結果如圖9所示，基于理論圓徑向變形公式（5），計算出偏心距e為0.245 mm與偏心圓半徑r0為0.3275 mm。

圖9 標準圓柱徑向變形量Fig.9 Radial deformation of standard cylinder

測量波發生器在偏心狀態下的徑向變形量，其結果如圖10中紅色曲線所示，將實際測量參數帶入公式（5）和公式（6）中，反求其實際橢圓參數，測量結果如表2所示。圖10中理論偏心曲線為實際波發生參數與偏移量(ex，ey)作用下的波發生器徑向變形曲線，試驗結果可以看出，實際檢測波發生器曲線與理論計算偏心曲線基本一致。

圖10 波發生器偏心測量結果Fig.10 Wave generator eccentricity measurement results

表2 波發生器參數結果Tab.2 Results of wave generator parameters（mm）

如圖11所示（彩圖見期刊電子版），藍色的理論徑向變形按照余弦規律變化，但圖11中實際檢測的變形曲線（綠色曲線）已經改變，其角度與徑向變形量對應關系也發生轉變，兩個峰谷之間存在0.134 mm的誤差。基于諧波傳動原理，波發生器轉動一周，迫使柔輪測量點產生兩次相同變形，且兩次變形存在對稱關系，因此其變形函數兩個峰谷與峰頂是基本一致。由實驗結果表明：波發生器轉動一周中，柔輪上測量點最小變形量相差0.134 mm，與理論結果（0 mm）相差偏大。

圖11 柔輪變形函數對比Fig.11 Comparison of flexspline deformation functions

基于柔輪安裝誤差補償模型與偏移量修正后的柔輪徑向變形曲線如圖11所示，兩個峰谷之間存在0.012 mm的誤差，實際柔輪的變形頻率與振幅與理論模型基本一致，經修正后柔輪徑向變形函數測量誤差明顯減少。如表3所示，在不同偏心位置下該方法測量精度結果基本一致，該誤差補償理論模型正確。

表3 不同位置下測量結果Tab.3 Measurement results at different locations（mm）

5 結論

針對柔輪徑向變形測量過程中安裝誤差導致測量結果偏差較大的技術難題，本文對諧波傳動柔輪徑向變形測量誤差影響因素進行了分析，并研究了安裝誤差狀態下對柔輪徑向變形函數測量結果的影響規律，構建了安裝誤差工況下理論徑向變形量的表征模型，提出基于坐標變換原理的柔輪徑向變形誤差修正方法，消除了柔輪安裝誤差對變形函數的影響。實驗結果證明：安裝誤差條件下柔輪變形函數峰谷偏差達0.134 mm，與理論相差偏大；在不同偏心位置進行測量、修正補償后，誤差在0.012 mm附近，且柔輪徑向變形結果與理論變化趨勢一致，基本滿足了柔輪變形函數測量的要求。