基于遺傳算法的齒輪傳動可靠性優化設計

劉龍杰,劉向臻

（200093 上海市 上海理工大學）

0 引言

齒輪傳動在傳動系統中占據著重要的位置，被廣泛用于機械系統中，如車輛、飛機、機床等。齒輪傳動性能對整個傳動系統都有很大影響，一旦齒輪出現問題，將會使傳動系統無法正常工作，對車輛性能產生重要影響，因此，對齒輪傳動進行可靠性研究很有必要。齒輪在靜應力作用下的失效模式主要分為2 類：第1 類是齒輪齒面的接觸應力大于齒輪的齒面最大接觸強度，造成齒輪齒面的破壞；第2 類是齒輪齒根彎曲應力大于齒輪齒根最大彎曲強度，造成輪齒的斷裂。齒輪在動載荷作用下的情況類似，分別是齒面接觸疲勞失效和齒根彎曲疲勞失效[1]。傳統方法在對齒輪進行設計分析或者強度校核時主要是將載荷和強度視為固定不變的常數，該方法一般過于保守。傳統方法雖然將齒面接觸疲勞和齒根彎曲疲勞考慮在內，但是并沒有考慮到載荷、應力與強度的隨機性，并且也不能保證齒輪傳動的可靠性[2]。

本文以可靠性理論為基礎，認為齒輪的應力與強度是隨機變量并且服從正態分布，通過建立以最小體積為目標，以強度、可靠性為約束的優化模型，將齒輪的主要參數作為設計變量，對其進行可靠性優化。以某轎車減速器齒輪傳動為例計算，經優化后齒輪分度圓體積之和減小16.4%，齒輪結構更加緊湊。

1 齒輪傳動可靠度分析

對于機械零部件，若應力、強度均為定值，則只需應力小于強度，則可認為零部件不會失效。然而實際上，一般零部件的應力、強度都是時間的函數，并且是服從某種分布的隨機變量，以應力-強度干涉模型[3]來表示。

如圖1 所示，f（s）為應力概率密度函數；g（s）為強度概率密度函數。干涉區表明零件可能會失效。零件的可靠度為強度r＞s 的概率，表示為

圖1 應力-強度干涉模型Fig.1 Stress-strength interference model

假設機械零部件的應力s 和強度r 都是服從正態分布的隨機變量，則可靠度系數表示為

式中：μr，μs，σr，σs——強度、應力的均值和標準差。

可靠度表示為

齒輪嚙合時，也可以用應力-強度干涉模型來描述齒輪的可靠度。齒輪的失效形式主要是齒面發生損傷以及齒根發生斷裂，所以,需要分別對齒面接觸疲勞和齒根彎曲疲勞進行可靠性分析。

1.1 齒面接觸疲勞可靠度

齒輪接觸疲勞可靠度為接觸應力小于疲勞極限σHlim的概率為[4]

按照齒輪的接觸應力和強度都服從正態分布，即s-N（σsH，SsH），r-N（σrH，SrH），則接觸疲勞可靠度為

式中：σsH——接觸應力的均值；SsH——接觸應力的標準差；σrH——齒輪強度的均值；SrH——強度的標準差；βH——接觸疲勞可靠度系數。

齒輪在嚙合時的接觸應力為

式中：KA——使用系數；KV——動載系數；KHβ——齒向載荷分配系數；KHα——齒間載荷分配系數；T——齒輪所受轉矩；b——齒寬；d——小齒輪分度圓直徑；u——齒數比（外嚙合時為+，內嚙合時為-)，大齒輪齒數/小齒輪齒數；ZH——節點區域系數；Zε——重合度系數；ZE——彈性系數；Zβ——螺旋角系數。

將扭矩T看做是服從正態分布的隨機變量，其余參數視為確定值，則接觸應力的均值σsH和標準差SsH表示為

式中：CsH——接觸應力變異系數。

若齒輪接觸疲勞強度為σHlim，則接觸疲勞強度均值σrH和標準差SrH表示為

式中：ZN——壽命系數；ZL——潤滑劑系數；ZV——速度系數；ZR——粗糙度系數；ZW——工作硬化系數；ZX——尺寸系數；CrH——接觸強度變異系數。

令齒面接觸疲勞可靠度RH>99.5%，則可由正態分布表查得可靠度系數βH>2.58，即

1.2 齒根彎曲疲勞可靠度

與齒面接觸疲勞可靠度相似，齒根彎曲疲勞可靠度表示彎曲應力小于疲勞極限σFlim的概率為

按照齒根彎曲應力和彎曲強度服從正態分布，即s-N（σsF，SsF），r-N（σrF，SrF），則彎曲疲勞可靠度為

式中：σsF——彎曲應力的均值；SsF——彎曲應力應力標準差；σrF——強度的均值；SrF——彎曲強度的標準差；βH——彎曲疲勞可靠度系數。

齒根彎曲應力表示為

式中：KFβ——齒向載荷接觸系數；KFα——齒間載荷分配系數；YFα——齒形系數；Yε——重合度系數；YSα——應力修正系數；Yβ——螺旋角系數；mn——法向模數。

類似的，同樣認為扭矩T是服從正態分布的隨機變量，其余參數視為確定值，則齒根彎曲應力的均值σsF及其標準差SsF表示為

式中：CsF——彎曲應力變異系數。

若齒輪彎曲疲勞強度為σFlim，則彎曲疲勞強度均值σrF和標準差SrF表示為

式中：YN——彎曲壽命系數；Y1——齒根圓角敏感系數；Y2——齒根表面狀況系數；YX——尺寸系數；CrF——彎曲強度變異系數。

令齒根彎曲疲勞可靠度RH>99.5%，則可由正態分布表查得可靠度系數βH>2.58，即

2 齒輪可靠性優化

2.1 設計變量

齒輪傳動的主要參數有模數m，主動齒輪齒數Z1，齒寬b，傳動比i，螺旋角β，以主要參數作為設計變量：

2.2 目標函數

齒輪傳動結構緊湊、節省材料、降低成本是最重要的要求，因此以齒輪傳動體積最小為目標[5]。齒輪體積計算復雜，為簡化目標函數，以分度圓體積代替齒輪的體積作為目標函數，即

目標函數為

2.2 約束條件

齒輪約束條件包括齒面和齒根可靠度條件、邊界條件、結構尺寸條件等。

（1）上文分析的可靠度條件；

（2）重合度條件

（3）強度約束條件

3 實例計算

以某轎車減速器一對嚙合齒輪為例，齒輪是動力系統中最重要的零件，但是傳動齒輪設計方法過于保守，造成材料浪費嚴重，且齒輪體積過大，影響使用性能。輸入轉矩傳動比i=2.48，主動輪齒數Z=25，齒寬b=29.5mm，法面模數mn=2，螺旋角β=33.9°，齒輪材料為20MnCr5。

利用上述方法建立優化模型

式中：gi（x）——非線性約束條件，ai，bi——變量xi的下限和上限。

遺傳算法（Genetic Algorithm）最早由美國的John Holland 提出[6]。該算法是一種模擬自然界生物進化和遺傳的模型，利用計算機仿真迭代，將問題求解過程變為類似染色體基因的交叉、變異等過程[7]。相對于一般算法容易陷入局部最小值，遺傳算法具有全局優化性強、收斂快等優點，其求解過程如圖2 所示。

圖2 遺傳算法流程圖Fig.2 Flow chart of genetic algorithm

利用MATLAB 遺傳算法工具箱[8]對模型進行求解并整理獲得結果如表1 所示。

表1 優化前后對比Tab.1 Comparison before and after optimization

從表1 可以看出，優化后的齒輪分度圓體積之和減小了16.4%，說明齒輪體積也隨之減小。

4 結論

本文以可靠性理論為基礎，將齒輪所受的應力與材料強度認為是服從正態分布的隨機變量，利用應力-強度干涉模型，對齒面接觸疲勞可靠度和齒根彎曲疲勞可靠度進行分析。以齒輪傳動的主要參數作為設計變量，將齒輪的可靠度、重合度和齒輪強度為約束條件建立了齒輪可靠性優化模型。并以某轎車減速器為實例，運用可靠性理論，同時結合優化設計方法，以齒輪體積最小作為目標函數，并利用MATLAB 中的遺傳算法工具箱，模型進行求解得到了優化后的參數，模數mm=1.75 mm，齒數z=22，齒寬z=24，傳動比i=3.27，螺旋角β=32.5°。優化結果表明，經優化后，齒輪分度圓體積之和減少了16.4%。