“圍”中感悟，“圍”中辨析，“圍”中拓展
——數(shù)學(xué)概念走向深度理解策略例談

福建省廈門市湖里第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 江 鷺

小學(xué)數(shù)學(xué)概念主要有數(shù)的概念、運(yùn)算的概念、量與計(jì)量的概念、幾何形體的概念、比與比例的概念、方程的概念以及統(tǒng)計(jì)初步知識的有關(guān)概念等，這些數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要內(nèi)容。但是，在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，對小學(xué)生來說，要掌握集抽象性與概括性于一體的數(shù)學(xué)概念有難度，他們喜歡動(dòng)手操作、喜歡“玩學(xué)具”。那么，有沒有可能讓學(xué)生在“玩學(xué)具”的同時(shí)為“學(xué)概念”奠定基礎(chǔ)呢？進(jìn)一步說，是不是可以借助學(xué)具，通過動(dòng)手操作去促進(jìn)學(xué)生對概念的深度理解呢？基于上述思考，就有了利用釘子板來輔助概念教學(xué)的想法。在“認(rèn)識平行四邊形”一課的教學(xué)中，我讓學(xué)生一邊“玩釘子板”，一邊理解和學(xué)習(xí)概念，讓學(xué)生在“圍”中感悟概念的內(nèi)涵，在“圍”中辨析概念的外延，在“圍”中拓展概念的結(jié)構(gòu)，從而促進(jìn)學(xué)生對概念的深度理解。

一、“圍”中感悟，促進(jìn)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)概念的理解，本質(zhì)上是對數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的理解。數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵在表述上往往具有簡明、抽象的特點(diǎn)，對此，學(xué)生的理解往往是有困難的。抽象概念的理解需要借助形象的手段，完成個(gè)人意義上的自我建構(gòu)，動(dòng)手操作是一個(gè)好的媒介。在認(rèn)識平行四邊形的教學(xué)活動(dòng)中，我借助釘子板，讓學(xué)生在“圍”中感悟，促進(jìn)學(xué)生深度理解平行四邊形概念的內(nèi)涵。

上課伊始，我讓學(xué)生憑著之前的學(xué)習(xí)印象用橡皮筋在釘子板上快速圍一個(gè)平行四邊形。在展示學(xué)生作品時(shí)，我并沒有直接出示完整的圖形，而是先把圖形遮去一半，再慢慢地展露出整個(gè)圖形，讓學(xué)生逐步做出判斷。（如下圖）

1 號圖形

2 號圖形

“1 號圖形”被遮住了一半，學(xué)生剛開始無法確定，直到圖形全部露出后才判斷所圍的圖形是平行四邊形。“2 號圖形”也被遮住一半，但大多數(shù)學(xué)生能借助釘子板各點(diǎn)間距相等的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)圖形上下兩條邊之間的距離不相等，不用看見完整的圖形，就能馬上判斷出“2號圖形”不是平行四邊形。在“半遮半掩”中，學(xué)生的目光自然而然地聚焦到“對邊是否平行”這一平行四邊形的數(shù)學(xué)內(nèi)涵之上。

課的最后，我首尾呼應(yīng)，再次設(shè)計(jì)了一個(gè)圍平行四邊形的操作活動(dòng)：公園內(nèi)規(guī)劃了一塊平行四邊形的綠地，設(shè)計(jì)師已經(jīng)在方格圖中畫出了這個(gè)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，位置分別是A、B、C，請問第四個(gè)頂點(diǎn)D的位置可能在哪里？你能不能在釘子板上圍出來？（如下圖）教學(xué)過程中，我讓學(xué)生先脫離釘子板，在腦中想象，而后讓他們在釘子板上動(dòng)手操作，驗(yàn)證自己的想法。學(xué)生在發(fā)散思維的過程中，再次鞏固了概念的內(nèi)涵：只要是兩組對邊分別平行的四邊形就是平行四邊形。兩組對邊分別平行是“一個(gè)四邊形是平行四邊形”的充分必要條件。

學(xué)生經(jīng)歷以上兩次圍平行四邊形的操作活動(dòng)后，對平行四邊形的概念有了更清楚的認(rèn)識。

二、“圍”中辨析，促進(jìn)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念的外延

數(shù)學(xué)概念的構(gòu)成有內(nèi)涵和外延兩個(gè)方面，明確數(shù)學(xué)概念包括明確概念的內(nèi)涵和外延，數(shù)學(xué)概念理解的關(guān)鍵是對數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的理解，與此相對應(yīng)的是對數(shù)學(xué)概念外延的辨別與確定。學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)涵的理解是否深入、是否深刻，往往可以用能否準(zhǔn)確界定數(shù)學(xué)概念的外延作為考查的手段和指標(biāo)。在數(shù)學(xué)概念外延的理解上，一般的教學(xué)手段是借助變式，在充分的變式中讓學(xué)生清晰辨明：對于相關(guān)數(shù)學(xué)概念，哪些特征是數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，哪些特征是數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)屬性。在這一過程中，學(xué)生界定了概念的外延，同時(shí)也更深刻地理解了概念的內(nèi)涵。

具體到本節(jié)課中，在學(xué)習(xí)概念之后，我讓每個(gè)學(xué)生在釘子板上再圍一個(gè)平行四邊形，同桌互相判斷圍的圖形對不對。這時(shí)，有學(xué)生提出疑問：圍成的圖形有的胖、有的瘦，有的高、有的矮，有的往左傾斜、有的往右傾斜，都是平行四邊形嗎？我引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察每一個(gè)圖形的對邊，他們在對比、討論之后發(fā)現(xiàn)，圍成的四邊形雖然形狀各異，雖然傾斜的程度不同，但都滿足平行四邊形的特征，即“兩組對邊分別平行”，所以都是平行四邊形。（如下圖）

這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生從不同中歸納出相同，又從相同中分辨出不同，對平行四邊形這一數(shù)學(xué)概念的外延更加明晰。在判斷中，學(xué)生緊抓概念本質(zhì)“只要兩組對邊分別平行的四邊形就是平行四邊形”，這正是平行四邊形這一概念的內(nèi)涵，在反復(fù)判斷中，學(xué)生對概念內(nèi)涵的理解也更深刻了。

三、“圍”中拓展，促進(jìn)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生從來不是割裂的，其具有網(wǎng)狀的、鏈條式、結(jié)構(gòu)化的發(fā)展特點(diǎn)。對數(shù)學(xué)概念的理解走向結(jié)構(gòu)化，是學(xué)生對數(shù)學(xué)概念深度理解的體現(xiàn)。本課中，為了幫助學(xué)生深刻理解平行四邊形的概念，我設(shè)計(jì)了“圍一個(gè)特殊的（不一樣的）平行四邊形”的操作環(huán)節(jié)，并讓學(xué)生和同桌說一說它特殊在哪兒。

這個(gè)環(huán)節(jié)是本課的高潮，學(xué)生圍出的圖形多種多樣，有的特別扁，有的特別大，有的特別高。突然，一個(gè)男生興奮地高舉著他的釘子板，自豪地說：“我圍的最特殊，是長方形！”學(xué)生一聽都安靜了，我趁熱打鐵發(fā)問：“長方形是平行四邊形嗎？”他迫不及待地為自己辯解：“長方形滿足兩組對邊分別平行的條件，它是平行四邊形，特殊在它有四個(gè)直角！”這時(shí)候，另外一個(gè)女生也站起來舉著她的釘子板說：“我圍的是正方形，不僅滿足兩組對邊分別平行，而且四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，也是特殊的平行四邊形！”學(xué)生一聽紛紛點(diǎn)頭，長方形和正方形雖然有特殊的角度或者邊長，但都滿足平行四邊形概念的本質(zhì)“兩組對邊分別平行”，它們都是特殊的平行四邊形。

這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)打通了這三種圖形之間的聯(lián)系，學(xué)生頭腦中關(guān)于平行四邊形的認(rèn)識體系更豐滿了，長方形和正方形都是特殊的平行四邊形，而正方形不僅是特殊的平行四邊形，還是特殊的長方形。顯然，這種數(shù)學(xué)概念的理解水平已經(jīng)達(dá)到結(jié)構(gòu)化的程度。

在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，教師要了解數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)和要求，了解概念的發(fā)生發(fā)展過程，借助學(xué)具動(dòng)手操作感悟概念的內(nèi)涵，明晰概念的外延，整體把握概念的體系，使學(xué)生不僅能掌握概念，而且在解決問題的過程中能夠靈活運(yùn)用，從而實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的深度理解。