高中數學平面向量解題中的消元思想

四川省雙流中學 覃 朗

高中階段，數學是重要學科，在數學教學內容中，平面向量是重點之一。平面向量數學知識有機融合了代數知識與平面幾何知識，具備較強的邏輯性和概念性，學生在實際學習中會面對各種困難，所以在解平面向量習題時，教師需引導學生掌握并靈活運用消元思想，打破思維定式的束縛，強化學生分析問題和解決問題的能力。另外，掌握消元思想解決數學問題也是高中學生必須掌握的一項技能，是學生學習和解決平面向量問題的主要思想方法。

一、消元思想在解決平面向量習題中的作用

針對平面向量題型，想要有效、快速地找到解題方法，并簡化解題思路和步驟，有效拓展學生的思維，讓學生確立正確的解題意識，就需要學生具備刪繁就簡的能力，并對于題中已知條件與設問求解之間的內在聯系有正確的認知，這就離不開消元思想的應用。通過消元思想的應用，能夠促使學生更好地理解與記憶相關教學知識，在很大程度上提升了學生的解題能力，提高了學生的解題效率。通過消元思想的應用，還能夠有效激發學生學習平面向量知識的興趣，促使學生主動學習相關知識，幫助學生樹立學習信心。在消元思想的影響之下，學生學習平面向量相關知識，探尋有效的解決問題的方法，這是學生數學問題意識和學科素養形成的關鍵，有助于教學目標的實現。

二、運用消元思想解答平面向量問題的過程與步驟

平面向量數學問題大多涉及一些抽象和復雜的變量。在實際解題的過程中，每一個變量或是轉化關系都需要等效代換或者進行化簡操作，利用復雜的變量關系求解出某一個變量的值，這種思想與方法就是消元。在高中數學問題的解答中，消元思想既是教學重點，需要學生消化吸收，也是教學難點，非常考驗教師的授課能力，合理應用消元思想，才有助于學生順利解題。應用消元思想解答平面向量習題，主要可以分為四個步驟：

其一，審查題干。仔細審讀題干，將題目中包含的數量關系、隱含條件等篩選出來，這是審讀題干的第一步。同時，審讀題干也是學生了解和理清題目信息的基礎。只有認真審題，才能夠建立正確的解題思路，對后續的解題有重要作用。

其二，依據題意，將題干條件轉化成數量關系式，然后對關系式進行比較，對具備相同數值的量進行消去處理。

其三，對于題干的審查過程，如果沒有找到具備相同數值的量，可以用特殊的數或者關系式分別乘兩邊，通過一定的變換，可以導出相應的量，從而實現變量消除，然后再應用消元思想。

其四，在應用消元思想解答高中數學中的平面向量習題后，教師還要引導學生將結果代入算式和關系式，在檢查的過程驗證消元思想。這樣既可以幫助學生更好地理解和應用消元思想，又可以幫助學生形成謹慎的解題習慣，促使學生在消元思想的應用中能夠更加靈活，實現融會貫通。

三、消元思想在平面向量中的運用

作為高中數學教學內容中的重點，數學思想與方法能夠有效幫助學生理解與解答相應的習題，也是學生靈活運用所學知識解決問題的基礎條件。在實際的高中數學教學中，教師要合理滲透數學思想與方法，依據具體的題目為學生分析具體的數學思想運用方法和運用技巧，還可以依據自己的經驗進行總結，讓學生在運用數學思想思考和解題的過程中不斷提升知識運用能力和解題能力。另外，消元思想作為高中數學幾何部分知識解題的重要橋梁，有機聯系了代數知識與幾何知識，通過相關知識的學習，能夠促使學生深入了解代數與幾何之間的內在聯系。

1.基本定理實現消元

無論是解題教學，還是面對平面向量消元問題時，都可以運用平面向量基本定理解決實際問題。需要注意的是，這個過程不能太過于死板，因為不同題目涉及的向量也存在一定的差異，在實際解答問題時，要依據具體的題目進行基本向量的選擇，然后通過實際問題的分析，有選擇性地利用線性組合來表示未知向量或是其他向量，類似這樣的解題方法和思想也屬于消元方法的一種，體現出了轉化思想。

2.圖像性質實現消元

消元思想不固定、不唯一，應用方法和途徑較為廣泛。用其解題的過程中，主要是向量的表示和相互的等效轉化或是代替，然后再結合實際情況進行運算實現消元。但對于一些題目，由于涉及圖形，無法應用運算法有效消元，這時就需要利用圖像的性質進行消元。對于圖像性質的應用，首先是圖形的構建，充分利用線段中點的性質，然后再利用向量運算實現消元。另外，一些題目還需要利用一些幾何知識，借助幾何概念、特征和定理等才能順利解題。此時，需要教師明確習題的分類，有效引導學生從數形結合思想與方法入手，融合與轉化圖形性質。對于圖像性質的運用，不但可以進行消元解題，還可以借助直觀真實的圖像，幫助學生理解和找出不同向量間的關系，從而為消元思想解題提供可能和支持，這種綜合數學思想的合理融合與應用，可以有效培養高中學生的解題能力。

例如：ABCD為任意凸四邊形，A1、C1分別為AB與CD的中點，B1、B2與D1、D2分別為BC與DA的三等分點，EF為A1C1與B1D2及A1C1與B2D1的交點，求證：A1E=EF=FC1。對于這道習題的解答，需要借助平面幾何的相關知識，可以在平面上任取一點O，通過點O構建各個向量，通過各條線段之間的關系，可以輕松構建向量關系，實現問題的解答。

總而言之，消元思想對于解答平面向量問題有重要作用。在實際教學中，教師要在傳授平面向量知識的同時，教授學生相應的消元思想與方法，通過消元思想在平面向量不同題型中的應用，促使學生進行深度思考和學習，理清其中的向量關系，從而靈活運用消元思想與方法實現正確解題，提升學生的解題效率。