“數(shù)列中的存在性問題”進階教學(xué)
2021-07-01 17:53:23周軍
江蘇教育·中學(xué)教學(xué)版 2021年5期
【摘 要】“數(shù)列中的存在性問題”常在高考試題中出現(xiàn)，解決此類問題的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化與化歸”思想。為此，可以基于學(xué)習(xí)進階理論設(shè)計合理“階梯”，幫助學(xué)生遷移學(xué)習(xí)經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。
【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)進階;轉(zhuǎn)化與化歸;專題復(fù)習(xí)
【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）37-0044-04
【作者簡介】周軍，江蘇省宜興市丁蜀高級中學(xué)（江蘇宜興，214221）教師，高級教師。
數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在各地高考卷中都有精彩亮相，其中“數(shù)列中的存在性問題”因其獨特的設(shè)問方式、推理邏輯、思維視角，成為命題人偏愛考查的內(nèi)容。然而，學(xué)生處理此類問題時往往顯得捉襟見肘，其癥結(jié)在于學(xué)生不善于將“數(shù)列中的存在性問題”轉(zhuǎn)化為“方程解的存在性問題”，更進一步，即使對于已轉(zhuǎn)化得到的不定方程也缺乏有效的求解策略。這說明學(xué)生不善于利用“轉(zhuǎn)化與化歸”的數(shù)學(xué)思想，因而有必要對此做教學(xué)上的探討。
應(yīng)用“學(xué)習(xí)進階”理論進行專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計，能促進知識點的整合和聯(lián)系，有利于學(xué)生建立系統(tǒng)化、層次化、結(jié)構(gòu)化的認知體系，形成高階思維。筆者依據(jù)學(xué)習(xí)進階理論，探討“數(shù)列中的存在性問題”的教學(xué)。
一、學(xué)習(xí)進階的內(nèi)涵和意義
學(xué)習(xí)進階是“對學(xué)習(xí)者在一個較大時間跨度內(nèi)學(xué)習(xí)和研究某一主題時，所遵循的連貫的、逐漸深入的思維路徑的描述”[1]。學(xué)生對核心概念的學(xué)習(xí)并非一蹴而就，需要經(jīng)過多個不同的中間水平才能到達終點。這些中間水平稱為 “階”，是學(xué)生認知發(fā)展的 “腳踏點”。一個個“階”將學(xué)習(xí)的起點和終點連接起來，形成一條逐步精致、持續(xù)深化的思維通路。
學(xué)習(xí)是一個基于原有經(jīng)驗螺旋演進式的動態(tài)過程，進階是聚焦認知發(fā)展的一個研究視角。對于課程與教學(xué)論而言，學(xué)習(xí)進階的意義在于延續(xù)了“應(yīng)為學(xué)生設(shè)定怎樣的學(xué)習(xí)路徑”這一核心問題的探索。[2]
二、基于學(xué)習(xí)進階的專題復(fù)習(xí)教學(xué)
“數(shù)列中的存在性問題”常常融合數(shù)論、函數(shù)、方程、不等式等知識，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，著力考查學(xué)生的分析、轉(zhuǎn)化、綜合的能力。此類問題宜在高三二輪復(fù)習(xí)時以微專題的形式呈現(xiàn)，教師應(yīng)依據(jù)學(xué)習(xí)目標為學(xué)生的認知發(fā)展提供有效路徑，并在思維躍遷的關(guān)鍵處搭建可靠的“腳手架”[3]，以便進行學(xué)習(xí)進階式教學(xué)。
1.進階起點的分析。
從初中到高中，學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積累了一些與本專題相關(guān)的知識和經(jīng)驗：二元一次方程、三元一次方程有無數(shù)多個解，可以用列舉法表示元素有限的集合，借助分離變量、換元等方法求簡單函數(shù)的值域，數(shù)列是定義在正整數(shù)集（或其子集）上的函數(shù)等。學(xué)生必然對轉(zhuǎn)化與化歸有所耳聞。但學(xué)生也常有犯迷糊的時候，比如，不定方程的解是不能確定的，依據(jù)集合條件列舉元素時必須逐一嘗試，對于轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想缺乏自覺意識，等等。這些構(gòu)成了學(xué)生學(xué)習(xí)進階的起點。
2.學(xué)習(xí)目標的預(yù)設(shè)。
“數(shù)列中的存在性問題”大致可以轉(zhuǎn)化為兩種類型的解方程：一是方程的個數(shù)等于或大于未知數(shù)的個數(shù)，這種類型比較容易解決，可以直接解出未知量并驗證其合理性;二是方程的個數(shù)等于或小于未知數(shù)的個數(shù)，即不定方程，這種類型往往解的個數(shù)不確定。對于數(shù)列背景下的不定方程，學(xué)生可能會面臨一些典型的思維障礙：數(shù)列中的存在性問題是怎樣轉(zhuǎn)化的，為什么不定方程的正整數(shù)解可以確定，求不定方程的正整數(shù)解有哪些思路和方法。
據(jù)此，筆者對每一階段的學(xué)習(xí)目標預(yù)設(shè)如下：①認識數(shù)學(xué)思想“轉(zhuǎn)化與化歸”的本質(zhì)特征;②理解問題的數(shù)列屬性，探求列舉不定方程正整數(shù)解的合理方式;③形成轉(zhuǎn)化與化歸的思維自覺;④深刻理解數(shù)列定義域的特殊性;⑤提煉“存在”和“不存在”分別對應(yīng)的解題方法;⑥歸納、內(nèi)化“條件轉(zhuǎn)化—等式化簡—合理判斷”的解題思路。
3.進階層級的劃分。
在階段性學(xué)習(xí)目標設(shè)定后還要依據(jù)學(xué)情設(shè)計進階的具體層級。教師劃分進階層級的方式大致分為三步：一是通過問卷、學(xué)習(xí)單、作業(yè)、考試等方式調(diào)查和收集學(xué)生的“迷思概念”;二是分析學(xué)生的學(xué)習(xí)疑問和困惑，以專題形式整合零散的疑問;三是依據(jù)知識點、迷思點、易錯點、疑惑點等梳理邏輯序列，劃分進階層級。筆者通過收集學(xué)生在學(xué)習(xí)單和作業(yè)中呈現(xiàn)的處理“數(shù)列中的存在性問題”的錯題，整理后發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯誤關(guān)鍵在于缺乏將數(shù)列存在性問題向不定方程正整數(shù)解問題轉(zhuǎn)化的意識以及求解不定方程的方法。筆者的層級劃分和教學(xué)過程如下。
（1）模式識別，深化理解
習(xí)題1：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2，數(shù)列{bn}滿足bn = [anan+m]（m∈N*）。是否存在m，使得數(shù)列{bn}中存在某項bt滿足b1，b4，bt（t∈N*，t≥5）成等差數(shù)列？若存在，請指出符合題意的m的個數(shù);若不存在，請說明理由。
師：你能說說這個題目的問題模式嗎？
生1：我覺得這是一個探索性問題。
師：為什么呢？請具體說明。
生1：題目中出現(xiàn)了“是否存在”，意味著解題時應(yīng)考慮存在和不存在兩種方向，有一定開放性吧。
師：考慮很全面。進一步該如何處理呢？
生2：先根據(jù)Sn=n2，求得an=2n-1;再假設(shè)存在m，使得b1，b4，bt（t∈N*，t≥5）成等差數(shù)列，即2b4=b1+bt，則2 × [77+m] = [11+m] + [2t-12t-1+m] 。下面，解方程有些困難，感覺需要通分、交叉相乘“硬解”。
生3：這個不定方程比較復(fù)雜，需要先化簡，可以將方程變形為2 × [77+m] - [11+m] = [2t-12t-1+m] ，先左邊通分得 [13m+7（7+m）（1+m）] = [2t-12t-1+m]，兩邊取倒數(shù)得[（7+m）（1+m）13m+7] = [2t-1+m2t-1]，分離常數(shù)得[（7+m）（1+m）13m+7] = 1+[m2t-1]，移項通分得[m2-5m13m+7] = [m2t-1]，兩邊約去m得[m-513m+7] = [12t-1]，兩邊取倒數(shù)得t = [7m+1m-5]，分離常數(shù)得t = 7 +? [36m-5]。依據(jù)整除性，當m - 5 = 1，2，3，4，6，9，12，18，36時，分別存在t = 43，25，19，16，13，11，10，9，8適合題意。因此，符合題意的m共有9個。
師：生3分析得有理。求不定方程的正整數(shù)解時，要有明確的目標意識，可以進行未知量的分離。這一過程的實現(xiàn)必須關(guān)注等式的結(jié)構(gòu)特征，利用取倒數(shù)、分離常數(shù)等方法優(yōu)化運算，化繁為簡，最后利用約數(shù)枚舉不定方程的正整數(shù)解。請同學(xué)們反思一下研究過程，能否提煉出解決此類問題的一般路徑。
生4：我認為這個數(shù)列中的存在性問題應(yīng)轉(zhuǎn)化為不定方程存在正整數(shù)解的情形來研究，大體可以按照以下流程進行：轉(zhuǎn)化條件→化簡方程→合理判斷→存在→準確列舉（利用約數(shù)縮小方程解的范圍）。
師：非常好！提煉研究問題的一般套路其實就是習(xí)得一種可遷移的一般觀念，那么在遷移過程中可能會遇到哪些問題呢？請大家討論并發(fā)表看法。
（學(xué)生分組討論，合作探究）
此題為學(xué)生提供思維程序化和抽象化的有效支架，讓學(xué)生體驗深度理解“轉(zhuǎn)化與化歸”這一數(shù)學(xué)思想的進階學(xué)習(xí)過程，同時通過開放性話題的研討，營造“憤悱”之境，為后續(xù)認知同化或順應(yīng)引發(fā)心理暗示。
（2）思維迭代，精準遷移
習(xí)題2：已知數(shù)列{an}的通項公式為an=[n2n+1]，是否存在正整數(shù)m，n（1 師：這道題從形式上看，跟前面研究的問題類似，處理方式會有變化嗎？ 生1：不太確定，不過前面我們歸納了數(shù)列中的存在性問題的解決路徑，可以先嘗試一下。根據(jù)條件得到方程（[m2m+1]）2 = [13] （ [n2n+1]），即[m24m2+4m+1] = [n6n+3]。借助前面的化簡經(jīng)驗，兩邊取倒數(shù)，分離常數(shù)可得[-2m2+4m+1m2] = [3n]，但接下去好像無法轉(zhuǎn)化為利用整除性篩選方程解的結(jié)構(gòu)。 師：能自覺遷移已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，這是思維進階的重要表現(xiàn)。遇到障礙，要學(xué)會理性思辨，要善于回溯本質(zhì)。利用約數(shù)，篩選不定方程的可能解，本質(zhì)上是在等量關(guān)系的范疇縮小變量的范圍，方便有限列舉。那么，表征變量范圍最直接的數(shù)量關(guān)系是什么呢？ 生2：應(yīng)該是不等關(guān)系。我明白了，可以利用等式中一個變量的范圍控制另一個變量的范圍，如果能夠?qū)⑵渲心骋粋€變量制約在一個收斂的區(qū)間內(nèi)，結(jié)合正整數(shù)的條件，自然可以得出有限個解。譬如，因為m∈N*，n∈N*，所以[3n] >0，因此-2m2+4m+1>0，從而1 - [62] 生3：由生2的做法產(chǎn)生聯(lián)想，根據(jù)方程[m24m2+4m+1] = [n6n+3]的右邊，直接變形得[n6n+3] = [16+3n] < [16]，所以[m24m2+4m+1] < [16]，即2m2-4m-1<0，從而1 - [62] 師：有理有據(jù)。求不定方程的正整數(shù)解著力點在于約束變量的范圍，使得枚舉檢驗成為可能。除了利用整除性，還可以利用不等關(guān)系來實現(xiàn)。 本題為學(xué)生有效遷移解決問題的一般觀念提供思維載體，引導(dǎo)學(xué)生明晰此類問題的本質(zhì)在于通過控制變量范圍達成有限列舉，進一步形成規(guī)范化和系統(tǒng)化的思維方式。 （3）高階躍遷，適度創(chuàng)新 解決數(shù)列存在性問題的一般步驟為：轉(zhuǎn)化條件→化簡方程→合理判斷。其中最關(guān)鍵的一步是合理判斷，如果存在，可求出解，如果不存在，需要推出矛盾。顯然，相比“存真”，探究“證偽”更易引發(fā)挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)，促進學(xué)生高階思維發(fā)展。教師應(yīng)依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)進展，適度啟發(fā)，適時調(diào)控，從而幫助學(xué)生實現(xiàn)思維創(chuàng)新、能力提升。 習(xí)題3：已知an= 3·2n-1-2，試問：數(shù)列{an}中是否存在不同的三項ap，aq，ar（p 師：與前面的題相比，你能說說這道題最突出的不同之處嗎？ 生1：涉及的未知變量由兩個變成三個，感覺不定方程變復(fù)雜了。 師：為了讓我們的解題思路更明確，不妨先猜一猜存在還是不存在。 生2：我覺得不存在。從函數(shù)的角度看，數(shù)列{an}是一個單調(diào)遞增的指數(shù)型數(shù)列，而指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象是單調(diào)遞增的，為凹函數(shù)，等差數(shù)列的通項是一次函數(shù)，圖象為直線，而直線與指數(shù)函數(shù)圖象至多有兩個交點，因此不可能出現(xiàn)三項成等差數(shù)列。 師：精彩！運用函數(shù)觀點研究數(shù)列問題，先直觀判斷，后代數(shù)求證，合情合理。下面請大家嚴格求證一下不存在的理由。 生3：假設(shè)存在正整數(shù)p，q，r（p 生4：對于方程2q = 2p-1+2r-1，兩邊同除以2q ，得1 = 2p-q-1 +2r-q-1 = [12q-p+1] +2r-q-1 ，所以1 - 2r-q-1= [12q-p+1]。因為p，q，r為正整數(shù)，且p 生5：按照生4的思路，我發(fā)現(xiàn)另一種推出矛盾的方法。對于方程1- 2r-q-1 = [12q-p+1]，因為p，q，r為正整數(shù)，且p 師：非常好，殊途同歸！從本質(zhì)而言，矛盾的焦點集中在等式兩邊“范圍”的不和諧，可以通過對奇數(shù)與偶數(shù)、整數(shù)與分數(shù)、正數(shù)與負數(shù)、有理數(shù)與無理數(shù)等的判斷來揭示矛盾。 此題營造了理性思辨、多維創(chuàng)新的思維場域，學(xué)生體驗了從幾何直觀到代數(shù)推理的思維躍遷，形成了大膽猜想、小心求證的科學(xué)探索精神，創(chuàng)新了轉(zhuǎn)化與化歸的應(yīng)用視角。 【參考文獻】 [1]郭玉英，姚建欣.基于核心素養(yǎng)學(xué)習(xí)進階的科學(xué)教學(xué)設(shè)計[J].課程·教材·教法，2016，36（11）：65. [2]劉晟，劉恩山.學(xué)習(xí)進階：關(guān)注學(xué)生認知發(fā)展和生活經(jīng)驗[J].教育學(xué)報，2012（2）：81-87. [3]周軍.思維支架：學(xué)習(xí)進階撬動深度課堂的著力點[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2018（11）：1-4.
