初中數學幾何定理探究案例分析

梁笑韻

摘 要：初中數學有很多定理的教學，有些老師為了提高課堂效率，會把定理直接告知學生，學生運用所學定理去完成練習，這樣看上去會比較高效，但是學生對于定理的生成過程比較陌生，容易遺忘，在實際運用中也常有困惑。我認為讓學生花時間去參與定理的生成、論證是非常重要的。學生通過歸納總結，可以有效的提高學生學習數學的能力。

關鍵詞：圓周角定理 學生講題 能力提升

1 學生講題案例探索（圓周角定理證明）

1、教學內容分析：本節課是在學生學習了圓、弦、弧、圓心角、圓周角等相關概念的基礎上出現的，圓周角和圓心角的關系通過弧作為橋梁連接，在圓這一單元有廣泛的應用。通過對圓周角定理的探討，體驗知識的形成過程，培養學生嚴謹的思維品質，為學生提供自主探索與交流展示的空間。

2、教學目標：理解圓周角定理，通過觀察比較、發展學生的推理能力，在探索的過程中學會運用分類討論、轉化的數學思想解決問題。

3、教學過程簡述

活動一：（1）請學生在紙上畫一個圓，在圓上任取兩點B和C，用紅筆畫出弧BC所對的圓心角，然后用藍筆畫出弧BC所對的圓周角，數一數能畫幾個圓心角、幾個圓周角。

設計意圖：學生只能畫出一個圓心角，但可以畫出無數個圓周角。這里給學生提供了一個思考的方向，既然圓心角只有一個，我們在研究圓周角的時候，可不可以把無限個圓周角轉化成有限個圓心角呢，這是本定理證明的關鍵步驟，學生在畫圖中可以直觀感知這一問題。

（2）請同學們把上圖所畫的圓周角進行分類。

設計意圖：讓學生通過觀察這些角、找出分類的標準。有些同學看到角的分類會聯想到把角分成銳角、鈍角、直角，但是上圖中的所有圓周角都是對著同一段弧BC，所以只有一個角度，學生也會發現按照以前所學的分類方式不合適。教師可以引導學生以圓中固定的點為參照物，觀察圓周角與圓心的關系，找出圓心在角的內部，在角的外部，在角的邊上這三種情況作為分類的依據。

（3）請同學們到黑板上演示，拖動圓上的點，觀察圓心與圓周角的關系，因為我們畫圖得出的圓周角是有限的，用幾何畫板演示的情況會更加全面。

設計意圖 ：我們在學習幾何元素的時候學習了點、線、角，那么用類比的思維我們在圓里面可以找到圓心、弦、圓周角和圓心角。點與直線的位置關系有兩種，點在直線上，點在直線外。點與角的位置關系是點在角的內部、在角的外部、在角的邊上。在此讓學生明白為什么要進行分類研究，而且運用以前所學的點與角的位置關系，從而確定分類的標準，給學生明確了探究的方向。

活動二：請同學們觀察圖中圓周角和圓心角的關系，大膽猜想，猜想后親自動手測量驗證結論，最后用幾何畫板演示，根據數據的變化情況能更直觀的得出兩者間的數量關系。

設計意圖：先讓學生猜測，培養學生的幾何直觀能力，然后用量角器測量，培養學生動手操作的能力，最后用幾何畫板驗證，用幾何畫板演示時，注意改變圓周角的頂點，改變圓心角的大小，改變圓的半徑，從多個維度去驗證圓周角與圓心角的關系。讓學生更加全面的感知信息技術在數學驗證中的完整性、準確性、便捷性，提高學生的興趣。這樣的幾個步驟可以幫助培養學生探究問題思路，積累數學活動的經驗。

活動三：證明一條弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半。請同學們分組討論，然后派代表匯報。

學生上黑版講解第一種情況的證明思路，并書寫過程，以圓為背景的題很多最后都可以轉化成三角形的題目，這個證明就用到三角形的外角和定理，我們可以把這個模型歸納為小紅旗模型，第二種情況就可以轉化為兩面小紅旗的和的形式，第三種情況可以轉化為兩面小紅旗的差的形式，三種情況的證明思路都是一致的。

設計意圖：數學定理的生成只靠測量是不夠的，我們也不可能把每一種情況都測量出來。所以我們還需要嚴謹的證明。學生通過圓周角的定理的生成過程明白了證明幾何定理的一般步驟，同時理解了不同的情況需要分類的去證明，這為日后學習其它定理提供了一個范例。通過師生合作 ，讓學生學會運用分類討論的數學方法 、轉化的數學思想來研究問題，從而培養學生嚴謹的思維能力。定理的學習需要學生更多的時間去探索，學生只有掌握了定理的來龍去脈，才能記得牢固，用的靈活，如果教師只重視結果，而輕視了過程，這只是讓學生記住了定理，不利于學生思維能力的培養。在教學過程中，學生關于為什么的問題是最有價值的，所以引導學生解決為什么要這樣分類是本節課的難點，教師通過類比的思想，讓學生原有知識得到遷移，學生理解起來就會更加容易。

2 數學知識與數學思想相結合

數學課堂除了教給學生知識，還要教給學生方法，授之以魚還要授之以漁，本節課的內容除了圓周角定理外同時還蘊含了多種數學方法。我們如何讓學生在課堂上體現這些數學方法呢？

（1）數學中的分類討論的思想，本節課，圓周角的分類是一個難點，學生是如何想到這個分類呢，課本是通過把圓沿直徑折疊的方法，由折痕與圓周角的位置來進行分類。但筆者覺得折痕相對來說清晰度不夠，學生不容易發現線與角的位置關系。所以選擇讓學生觀察圓中不變的點（圓心），然后以圓心為參照找出分類的標準，由點與角的位置關系明確了分類的標準。

（2）數學中化歸的思想，本節課的三種情況用到了三種證明方法，但三種證明方法可以化歸到一種證明方法，所以課堂上要引導學生去觀察，建立一個數學幾何模型，然后以此來證明后面兩種情況。

（3）從特殊到一般的方法，先研究問題的特殊情況，再探索并證明一般性結論。先選擇一個特定的圓，找出這個圓上同弧所對的圓周角和圓心角的關系，然后再找出特殊與一般的內在聯系，再把特殊情形所獲得的結論應用到一般情況，從而獲得問題的解決。

靈活運用數學思想是數學素質的重要體現，我們在教學的過程中要以把課本作為研究數學的材料，領悟其中的數學思想，并運用數學思想解決問題。

3 定理的學習方法

數學定理是學習數學的重要基礎之一，學生深入理解數學定理、經歷數學知識形成過程。數學定理的學習環節：1、了解定理的內容、通過定理能夠解決什么問題。2、理解定理的含義、條件和結論。3、定理的證明和推導過程。4、熟悉定理的使用（鞏固練習）。5、引申和拓展定理的應用。學生自己發現和證明的定理更容易掌握和記憶，他們才能夠去運用數學定理解決問題。

暨南大學附屬實驗學校 （廣東省廣州市 510632）