互聯網背景下的概率論教學的幾點理解

李翼 張本慧 李曉

摘要：針對《概率論與數理統計》的教學中容易出現的諸多問題，以條件概率、全概率公式和極大似然公式為例;引入了互聯網公司的就業要求以增強學生的學習意識，加強定理定義分解以改善學生對定理死記硬背的現象，增添趣味案例簡化學生學習定理時的難度。

關鍵詞：互聯網背景;概率論;定義分解;趣味案例

中圖分類號：O13? 文獻標識碼：C

Some understandings of probability theory teaching under

the background of Internet

Li Yi1 Zhang Benhui1 Li Xiao2

1.School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University AnhuiHuaibei 235000;

2.School of Computer Science and Technology，Huaibei Normal University AnhuiHuaibei 235000

Abstract：In view of many problems in the teaching of probability theory and mathematical statistics，taking conditional probability，total probability formula and maximum likelihood formula as examples，the employment requirements of Internet companies are introduced to enhance students' learning awareness，strengthen the decomposition of theorem definition to improve students' rote memorization of theorem，and add interesting cases to simplify the difficulty of students' learning theorem

Key words：Internet background;probability theory;definition decomposition;interesting cases

《概率論與數理統計》是高等學校的基礎課程，難度較大，需要較強的邏輯思維能力。另外，《概率論與數理統計》這門課知識點眾多，應用場景也較多，如何較好地掌握書中的定理和定義是研究的重中之重。

1 教學問題梳理

互聯網的興起極大地便利了人民的生活，以騰訊、阿里、華為、順豐為例，每個公司均有大數據平臺，大數據平臺通過spark、hive等工具對公司的海量數據進行分析進而得到應用層的數據以及各類商務報表。而這個過程中用到的眾多邏輯思維就來自于概率論。而在學習這門課時，由于概念和定義過多，而且這門課難度較大，學生在學習過程中，經常弄不清事件之間的關系與結構[1-3];計算概率的公式運用不當，設置不知道運用哪個公式求解問題;不能正確應用有關的定義、公式和性質進行綜合分析、運算和證明。而目前《概率論與數理統計》存在的教學的問題如下[4-7]：（1）教學思維局限。目前普遍存在的現象是《概率論與數理統計》在授課過程中，教師偏重書中的公式和定理，沒有認識到培養學生邏輯思維能力和公式推導能力，導致學生在面對眾多公式時，靠死記硬背而不是自己推導。以全概率公式為例，學生在面對全概率公式時，記不清公式內容，容易死記硬背，在解題過程中容易寫錯公式進而做錯。（2）教學手段單一。目前《概率論與數理統計》在授課過程中，絕大部分教師采用傳統的“定義—定理—例題”的教學方法，過于依賴課本的定義，而課本的有些定義及教學定理晦澀難懂，并不引入適當的例子，學生難以理解。本文將以極大似然估計為例來進行講解，如何引入生活中的例子，采用生活化的案例進行定義和定理的良好導入。（3）教學總結不夠。《概率論與數理統計》是一門公共基礎課，幾乎高校所有專業都會開設，在《概率論與數理統計》在授課過程中，教學內容隨時更新，大量的資料、題型與教學新思路的出現讓我們不得不進行較多的總結和歸納反思。（4）教學方法陳舊。《概率論與數理統計》這門課公式繁多、定理復雜、題型種類繁多，在課本上給出了眾多的定義和定理。很多教師將其視作單純的數學課，沒有充分調動學生的學習參與性和積極性，導致眾多學生參與度不夠，科學氛圍不好。

針對以上四點問題，如何對課程進行改進是問題的重中之重，下面將以全概率公式、條件概率、極大似然估計三個問題點為例，結合互聯網背景對概率論課程的教學改進進行詳細分析。

2 多層面教學改進

例1 增強公司就業要求引入——以條件概率為例

條件概率的定義，設A，B是兩個事件，且P（A）>0，稱：

P（B|A）=P（AB）P（A）

為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率。在條件概率的定義中，等號右邊的P（AB）表示為事件A和事件B的交集。而在實際的解題過程中，很多同學容易將P（AB）和P（B|A）兩者混淆，其中P（AB）表示A和B一起發生的概率，而P（B|A）表示事件A發生的條件下，事件B發生的概率。在講解兩者的區別時，應加入相關事件的分析，相關的意思是當前的事件受過去事件的影響，現實生活中有很多事件是相關事件。

在互聯網公司的也要求中對條件概率的理解頗深，騰訊面試題有過如下問題：已知一對夫婦有兩個孩子，其中一個是男孩，請教兩個都是男孩的概率。在這個問題中，題干給出了兩個重要的條件：（1）有兩個孩子;（2）其中之一是男孩。而給出的問題是求解兩個孩子都是男孩的概率，這個事件可以拆分為，第一個孩子是男孩，且第二個孩子也是男孩。而問題容易犯錯的點為：已知條件2，其中之一是男孩，容易讓人認為事件C（兩個孩子都是男孩的概率）轉化為（一個孩子是男孩的概率），從而得出概率為1/2。但是實際上，這是條件概率問題，如果題目已知第一個孩子是男孩或者第二個孩子是男孩，則問題的答案就是1/2。但題目已知條件為其中之一是男孩，正確的解題思路為。首先應給出4種可能出現的結果，“男男”“男女”“女男”“女女”四種概率相同的情況。當已知了其中之一為男孩時，則剔除了“女女”這種情況，剩下三種可能性概率相同，而剩下的三種結果中，“男男”的比重為1/3，故題目的答案應為1/3。

在課堂教學中引入互聯網思維的案例，可以有效提高學生對定義學習的自我要求，不在局限于簡單的了解，而是針對重要的定義定理有著深刻的認識，進而達到學習這門課的根本目標。

例2 加強定理分析與分解——以全概率公式的為例

在概率論中，全概率公式是以條件概率為基礎的一個非常重要的公式。全概率公式定義為：設實驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2…，Bn為S的一個劃分，且P（B）>0（i=1，2，…，n），則：

P（A）=P（A|B）P（B）+P（A|B）P（B）+P（A|B）P（B）

稱為全概率公式，而公式的由來為：

P（A）=P（A∩S）

=P（A∩（B1∪B2∪…∪Bn））

=P（A∩B1）∪P（A∩B2）∪…∪P（A∩Bn）

=P（A|B1）P（B1）+…+P（A|Bn）P（Bn）

而在式中，最后一個等號在應用中容易被寫為P（B1|A）P（A）+…+P（Bn|A）P（A），在課堂講解時，應著引導學生分析兩個公式之間的區別。等號左邊需要求解A發生的概率，而P（B1|A）P（A）+…+P（Bn|A）P（A）中P（A）未知，故在推導全概率公式時顯然應采用P（A|B1）P（B1）+…+P（A|Bn）P（Bn）。

因此在定義定理的講解過程中，教師應針對學生可能出現的問題，進行充分的講解和假設。在每個問題進行講解時，根據學生所犯錯誤，進行深入探討，加強師生聯系，鼓勵學生提問。

例3 增添趣味案例簡化定理難度——以極大似然估計為例

矩估計和極大似然估計方法是概率論里面非常重要的兩個估計方法，其中學生普遍反映極大似然估計的理解較為吃力。尤其當講解似然函數時，相當一部分學生難以理解似然函數的本質思想和似然函數最大化的意義。因此，在課堂教學中應加入趣味案例進行定理的生活化引入。

獵人狩獵故事的引入。兩個獵人甲和乙去森林打獵，突然沖出一只野兔，兩人同時舉槍射擊，野兔應聲倒下。走近之后發現野兔的身上只有一個彈孔，來自獵人甲，從以上條件如果用極大似然估計的思想估計哪位獵人的槍法最準，那么可以推出獵人甲的槍法更好一些。案例分析：根據極大似然估計的思想“一次實驗就發生的事件擁有最大的概率”，只進行一次射擊，獵人甲就射中了，那我們只能認為獵人甲的射法更精準。

在引入趣味案例后，不僅可以有效降低定理的難度，方便學生理解定義，消除學生的畏難情緒，還可以有效活躍課堂氣氛。

3 總結

《概率論與數理統計》是高等學校的基礎課程，在教學過程中因其難度較大、定義定理繁多而給教師帶來諸多挑戰。本文結合互聯網就業要求針對《概率論與數理統計》的教學中容易出現的問題進行改進，引入了公司就業要求增強學生的學習意識、加強定理分解以改善課本諸多定理的現象、增添趣味案例簡化學生學習定理時候的難度。通過教學的不斷改進，讓學生消除對定理定義的恐懼，讓他們認識數學、喜歡數學，并盡可能地將數學知識運用到日常生活中。

參考文獻：

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[3]齊小忠.概率論與數理統計創新教學模式初探[J].科學大眾：科學教育，2017，000（010）：157

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[5]劉蓉.《概率論與數理統計》教學方法探討[J].2011年北京服裝學院學科專業建設年教研論文報告會，2011

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[7]劉柏森.“概率論與數理統計”課程教學改革新探索[J].長春師范大學學報，2018，037（006）：162-164

基金項目：安徽省高校自然科學基金（KJ2020B07，KJ 2019B01）;安徽省高等學校省級質量工程項目（2018jyxm0519，2018kfk166，2019jyxm0201），淮北師范大學校級質量工程項目（kctd18043）

作者簡介：李翼（1995— ），男，碩士，研究方向：統計模型。