動靜偏心電磁激勵下水電機組碰摩轉子-軸承系統彎扭耦合振動特性分析

張金劍， 張雷克， 吳嵌嵌， 馬震岳

(1.太原理工大學 水利科學與工程學院，太原 030024； 2．三江學院 土木工程學院，南京 210012；3．大連理工大學 建設工程學部水利工程學院，遼寧 大連 116023)

碰摩是旋轉機械最常見的故障之一，碰摩故障產生的原因多種多樣，例如轉子偏心量的增加、熱不均勻引起的轉軸局部彎曲以及定轉子的變形等?，F代設計不斷向小間隙、高轉速和高負載的方向發展，致使轉子與定子的碰摩風險大大增加。近四十年來，為了深入了解碰摩轉子-軸承系統的動力學特性，國內外相關學者開展了廣泛的研究。基于轉子動力學和旋轉機械故障診斷與識別的需求，Beatty等[1]最早在1982年對碰摩轉子系統的非線性動力學特性進行了研究，分析了系統的彎曲振動特性，提出了轉子系統摩擦識別的數學原理。Muszynska等[2]重新審視了關于摩擦現象的報道，討論了摩擦的物理意義和熱效應，以及摩擦過程中出現的各種現象。而后，大量學者陸續對碰摩轉子系統彎曲和扭轉振動特性開展的討論，極大豐富了碰摩系統非線性動力學行為的研究成果。

隨著相關研究的不斷深入，人們逐漸發現單一方向振動已無法充分揭示隱藏在系統內部的全部動力學特性，因此，將彎扭結合考慮彼此之間的相互影響逐步進入廣大研究者的視野。自1999年Edwards等[3]率先將扭轉自由度引入轉子系統振動分析，并強調旋轉機械中扭轉對轉子與定子接觸影響的重要性以來，歷經20余年的發展，轉子-軸承系統碰摩動力學研究已由單一振動成功邁向彎扭耦合振動，且成果斐然[4-15]。然而，其研究對象主要集中在單一碰摩故障下的高速、臥式轉子結構上，對水輪發電機組等低速、立式布置的系統研究相對較少，尤其是考慮碰摩及其他故障共同引起的非線性動力分析更是十分有限。

Zhang等[16]基于Jeffcott轉子模型，建立了電磁激勵下水電機組碰摩轉子系統彎扭耦合振動模型，重點討論了有無扭轉運動時系統動力特性的差異。不過，該研究中作為核心外激勵之一的不平衡磁拉力(unbalanced magnetic pull, UMP)是基于廣義氣隙概念推導而來，廣義氣隙偏心假設定轉子間沒有初始偏心，偏心只存在于轉子轉動過程中，是未涉及靜偏心及動靜復合偏心的一種旋轉機械偏心狀態。對于水輪發電機而言，定轉子之間的氣隙經常會存在一定程度的不均勻，即氣隙偏心，按其是否隨轉子旋轉而發生改變可分為靜偏心、動偏心和復合偏心(動、靜偏心同時存在)三種情況。發電機不同氣隙偏心下的氣隙磁場變化不同，引起的UMP亦不相同[17-18]。相關研究表明[19-22]，不同偏心故障引起不同的UMP將造成電磁激勵作用下系統動態特性的改變。因此，將動、靜偏心的作用納入UMP模型，從而更加細致地考慮碰摩故障及電磁激勵共同作用對水電機組轉子-軸承系統彎扭耦合動態特性的影響，將能夠更加準確地為機組在機械和電磁荷載激勵下的故障診斷識別提供參考。

鑒于此，本文基于定轉子間的幾何關系，推導出考慮復合偏心時氣隙長度的統一表達式，利用電機磁場分析原理和Maxwell應力積分建立了復合偏心下的UMP模型。在此基礎上，構建了電磁激勵下水輪發電機組碰摩轉子-軸承系統的彎扭耦合振動模型及運動微分方程，采用非線性數值分析方法研究了勵磁電流、氣隙動、靜偏心參數對系統彎扭耦合動態特性的影響。

1 轉子系統運動方程

1.1 動、靜偏心下不平衡磁拉力

轉子-軸承系統模型如圖1所示，在直角坐標系O-xyz內，O為定子內圓中心，S為軸頸初始中心，由于加工、裝配等原因系統在靜止時O與S不同心，O1為軸頸變形之后的中心，當轉軸無變形時，O1與S重合，G為轉子重心，(x1，yl)、(x2，y2)分別為轉子和軸頸的形心坐標。

圖1 轉子-軸承系統回旋振動示意圖

為了方便分析系統，對模型假設為：

(1)機組轉子可簡化為質量為m的輪盤，上、下導軸承距轉子的z方向距離均為a；

(2)定子假設為剛體，僅分析轉子振動，轉子和定子的軸平行，只考慮平移偏心率；

(3)大軸簡化為柔性無質量軸，轉軸兩端剛度均為Ke；

(4)忽略轉子重心回旋體的極慣性矩；

(5)不考慮陀螺效應以及弓狀回旋效應的影響；

(6)忽略漏磁和磁飽和影響。

本文采用集總參數法建模將大軸質量集中在轉子質點上，可視為忽略大軸質量。同時，由于油膜力是影響軸系運動特性的重要因素之一，需考慮軸頸運動對轉子動態響應的影響，故文中在推導轉子運動微分方程時計及軸承軸頸作用。

圖2(a)表示發電機定轉子間的動、靜氣隙偏心示意圖，圖2(b)為坐標局部放大示意圖，其中O2為轉子幾何中心，e0=GO2為質量偏心，e1=SO1為轉子振動形成的偏心，OS為靜偏心，O1O2為動偏心，是因轉子軸頸中心與轉子中心不同形成的偏心，δ為任意時刻定轉子的氣隙長度，α為氣隙處與x軸夾角，γ為轉子中心旋轉角度。φ=ωt+θ+φ0為轉子質量中心隨轉子幾何中心的旋轉角度，ω為旋轉角速度，θ是扭轉角度，φ0是初始旋轉相位角。大型水輪發電機主要采用凸極電機，氣隙隨凸極磁極的空間分布而變化?，F有分析中一般假定轉子表面光滑，忽略凸極磁極分布對氣隙磁導的影響。為簡化計算并便于比較，本文忽略了凸極磁極分布的影響，利用氣隙磁導率法對UMP進行推導。

圖2 轉子動、靜氣隙偏心示意圖

以定轉子最小氣隙處為原點，氣隙長度表示為：

δ(α,t)=δ0[1-δscosα-δdcos(α-ωt)]

(1)

式中：δ0為平均氣隙長度，δs為氣隙靜偏心，數值上等于定轉子間初始偏心OS，δd為氣隙動偏心，數值上即為O1O2。

忽略式(1)中的高階分量，將氣隙磁導展開為級數形式：

式中：μ0為空氣磁導率；Λ0=μ0/δ0為氣隙磁導的常值分量；Λs=Λ0δs和Λd=Λ0δd分別為動、靜偏心引起的磁導分量。

根據電機學原理，定轉子合成基波磁動勢為：

ψ-pΦ)=F1cos(ωt-α-β)

(3)

式中：

式中:Fsm為定子基波磁動勢幅值；Frm=kjIj為轉子基波勵磁磁動勢幅值；F1為氣隙合成磁勢幅值；ω為轉子機械角頻率；β為主磁勢與合成磁勢間夾角；ψ為內功率角；Φ為轉子扭振角；α為定子機械角度；p為磁極對數。

相應地，氣隙磁密可表示為：

B(α，t)=Λ(α，t)F(α，t)

(4)

在此基礎上，可求得轉子表面單位面積徑向磁拉力：

ΛsΛdcos(2α+2β-ωt)+ΛsΛdcos(4α+2β-3ωt)+ΛsΛdcos(3ωt-2α-2β)+

(5)

根據Maxwell應力積分，可推求UMP的表達式：

(6)

式中：L和R分別為轉子長度和半徑。

根據文獻[23]，電磁轉矩表達式為：

(7)

式中：

1.2 碰摩力及摩擦力矩

假定不考慮摩擦熱效應，并認為定子變形為線性，則定、轉子之間的摩擦力符合庫侖摩擦定律，即摩擦力和接觸面上施加的正壓力成正比關系。當碰摩發生時，碰摩力表達式為：

(8)

圖3 定轉子碰摩示意圖

(9)

當碰摩發生時，切向摩擦力Ft會對轉子質心產生一個力矩，即摩擦力矩，其表達式為：

M_rub=-H(e-δ0)FtRr

(10)

1.3 軸承油膜力

本文采用文獻[16]中的Capone非線性油膜力模型，其在x、y方向的表達式fx、fy為：

(11)

式中：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

1.4 轉子系統運動微分方程

本文采用Lagrange公式推導水輪發電機組轉子-軸承系統運動微分方程。為便于計算和分析，給出如下無量綱變換：

則系統無量綱形式的運動微分方程為：

2 數值分析與結果

機組運行過程中由于種種原因致使系統特性參數發生改變，進而引起異常振動乃至碰摩的惡性事故時有發生，造成十分嚴重的后果，必須引起重視。本文對于控制參數的選取一方面考慮了機組的特點，另一方面則著眼于故障仿真，研究旨在預測并識別由于機械、電磁等原因造成系統參數改變而可能引發的擬周期、混沌等特殊動力學行為，以期為低速、立式水電機組的振動故障診斷、識別提供依據。

多激勵耦合使式(18)表現出強烈的非線性，轉子-軸承系統的彎振和扭振特性也隨之發生復雜的變化，本文采用4階Runge-Kutta法對系統運動微分方程進行數值求解，選用積分步長設為2π/200，計算1 200個周期，為消除瞬態響應的影響，舍去前1 100個周期，保留最后100個周期進行分析。系統模型主要參數,如表1所示。

表1 轉子-軸承系統模型主要參數

2.1 質量偏心的影響

轉子質量偏心是影響機組動態特性的主要因素之一，受制造、裝配、運行等原因影響，其大小在實際運行中將會發生不同程度的變化。同時，由上述分析可知，轉子彎振和扭振通過各自的質量偏心外激勵項產生相互關聯與耦合。因此，以質量偏心為控制參數，討論彎振與扭振因其改變而產生的相互影響關系將能夠更加準確地把握系統所蘊含的非線性動力學特性。

由文獻[16,24-25]可知，相比于彎曲振動，扭轉振動幅值通常較小，對系統總體振動的影響相對有限，故本文在此僅討論扭振對彎振的影響。

圖4為Ij= 500 A、ω=4 Hz、δs=0.2×10-3m、δd=0.2×10-3m時以e0為控制參數，是否考慮扭轉振動兩種情況下轉子系統響應的分岔圖，其中，P-n表示周期n運動，Q-P表示擬周期運動，Chaos表示混沌運動，后續含義相同。

圖4 質量偏心變化時轉子系統分岔圖

從圖中可以看出在e0=(0～2)mm的變化區間內，兩種模型系統響應變化趨勢十分相似，均始于Q-P運動，經過Chaos運動、P-n運動等最終進入同步周期一運動。然而通過仔細觀察可以發現，考慮扭轉振動后，系統動態響應發生細微的變化，其具體體現在：

(1)轉子系統響應的擬周期運動和同步周期一運動范圍減少，混沌運動范圍增加。從圖4(b)可以看出，不考慮扭轉振動時系統響應Q-P運動范圍為e0=(0～0.47, 0.59～0.61)mm，P-1運動范圍為e0=(0.62～2)mm，在加入扭轉自由度之后，擬周期運動與P-1運動區間分別縮減至e0=(0～0.47)mm、e0=(0.67～2)mm，如圖4(a)所示，系統非穩態同步周期一運動區間減小，表明考慮扭轉振動之后系統穩定性在一定程度上有所提高。但對于混沌運動，不考慮扭振時其出現區間為e0=(0.47～0.52)mm，如圖4(b)所示，而考慮彎扭耦合作用之后，混沌運動發生范圍擴大至e0=(0.51～0.67)mm，極大影響了機組系統安全穩定運行，需格外重視。

(2)考慮扭振影響后新的運動形式—P-7運動在e0=(0.47 mm

圖5 e0=0.51 mm時系統響應的映射圖、軌跡圖、時域圖和頻譜圖(i、考慮扭轉振動；ii、不考慮扭轉振動)

從上述分析可以看出，扭轉自由度的加入在一定程度上改變了系統的動態特性。當質量偏心較小時，扭振對系統彎振的影響很小可以忽略不計；當質量偏心增至一定程度后，二者的耦合作用較為明顯，扭振影響不能忽略。

2.2 勵磁電流的影響

勵磁電流是影響UMP的重要因素之一，在電力系統中，為滿足用戶對電能質量的需求，往往需對勵磁電流進行相應調節，使端電壓保持不變，避免負載電流的過大波動。勵磁電流的改變勢必會影響系統的動態響應，因此，研究其變化對機組轉子系統動力特性的影響是十分必要的。

圖6為ω=4 Hz、δs=0.1×10-3m、δd= 0.1×10-3m、e0= 0.60×10-3m時，以勵磁電流為控制參數、是否考慮動靜偏心兩種模型下的轉子系統分岔圖。從圖中可以看出，隨著勵磁電流的增加，兩種模型均大致經歷了從P-1至混沌與擬周期交替運動，最終進入混沌運動的過程。不過，二者在各運動區間及振動表現形式上存在較大差異。

(1)考慮動靜偏心后轉子運動P-1區間顯著增加。P-1運動區間由圖6(a)的Ij=10～210 A變為圖6(b)的Ij= 10～460 A。換言之，非周期響應起點大幅向后推延，勵磁電流穩定運行范圍的增加令系統穩定性得到提升，且在此區域內轉子的振幅較小，并未發生碰摩。

圖6 勵磁電流變化時轉子系統分岔圖

(2)動靜偏心的存在使轉子運動呈現一種新的特征。隨著動靜偏心的加入，P-7與P-10運動分別于Ij=760～818 A及Ij=868～904 A范圍內出現。以Ij=770 A和870 A為例，系統的映射分別表現為七個和十個孤立點，如圖7(ii)所示。而在未考慮動靜偏心情況下，系統在相應勵磁電流數值下的響應情況則為不規則封閉擬周期環狀，如圖7(i)所示。

圖7 不同勵磁電流下系統響應的映射圖和軌跡圖(i、不考慮動靜偏心；ii、考慮動靜偏心)

(3)轉子系統響應最大振幅隨著動靜偏心的加入明顯下降。如圖8(i)所示，未考慮動靜偏心時，P-1運動狀態下系統于Ij=195 A處出現最大振動，振幅為0.43；進入擬周期和混沌運動范圍內，在Ij=1 115 A處系統振動達到1.66的峰值。伴隨著動靜偏心的加入，系統P-1運動的最大振幅為0.39，發生在Ij=450 A處，相比前者有了小幅度下降；系統非P-1運動的最大振幅為1.36(Ij=1 130 A時)，相比之下振幅下降約18%，如圖8(ii)所示。由此可知，動靜偏心的加入起到了一定抑制系統振動的作用。經計算，考慮動靜偏心后的UMP數值小于文獻[16]中對應激勵數值，故系統穩定性有所提升。

圖8 不同勵磁電流下系統響應的時域圖和軌跡圖(i、不考慮動靜偏心；ii、考慮動靜偏心)

2.3 動、靜偏心的影響

由上述分析可知，動靜偏心的加入對轉子-軸承系統運動特性影響顯著。發電機轉子在工作前，普遍會存在不同程度的氣隙偏心。一旦偏心故障發生，輕則使氣隙磁場產生畸變，惡化電機各項性能指標；重則引起過大電磁激勵，造成定轉子相擦，電機燒毀。因此，定量分析動靜偏心量的變化對機組轉子系統動力特性的影響具有重要的工程意義。

表2、3分別為Ij=500 A、ω=4 Hz時靜、動偏心變化引起的系統動態響應走向。顯然，隨著各偏心量的增大，系統呈現出豐富的動力學行為，其響應以P-1、P-2、P-4、擬周期及混沌等多種運動表現形式交替出現。

表2 以靜偏心為控制參數的轉子系統動態響應

表3 以動偏心為控制參數的轉子系統動態響應

圖9為靜偏心量變化的轉子系統分岔圖，從圖中可以看出，當δs=[0～0.17×10-3]m時系統響應為擬周期運動，Poincaré映射圖中吸引子呈一封閉圓環，軌跡圖表現為花瓣狀，其振幅小于1，表明定轉子間還未發生碰摩。隨著靜偏心量的增大，進入δs= [0.17×10-3～0.59×10-3]m范圍內，系統響應變為混沌運動，映射圖中吸引子數目不斷無序增加，相應地，轉子軸心軌跡失去規律，其運動中心已偏離原點，由于在區間0.17×10-3<δs<0.59×10-3m內轉子運動振幅超過1，表明系統發生碰摩故障。伴隨δs的進一步增加，系統運動離開混沌區域進入擬周期運動，響應范圍為δs=[0.59×10-3～ 0.69×10-3]m。值得注意的是，當偏心量增至0.69×10-3m時，系統響應突然變為P-4運動，如圖10所示，在δs=[0.69×10-3～ 0.73×10-3]m的區間，Poincaré映射表現為四個孤立的點，轉子軌跡呈現為四個蝴蝶狀的圓環。隨后，系統由P-4運動變為P-2運動，其映射圖和軌跡分別顯現為兩個孤立的點和雙橢圓結構，雖然碰摩依然存在，但已有規律可循。由上述分析可知，隨著靜偏心量的增大，定轉子碰摩提前發生，轉子系統的響應由擬周期運動過渡到P-2運動。

圖9 以靜偏心為控制參數轉子系統變化分岔圖

圖10 δs=0.69 mm時系統響應的映射圖、軌跡圖、時域圖和頻譜圖

同靜偏心相比，動偏心的改變則令系統呈現出另一種不同的動態響應形式，如圖11所示，在δd=[0～2×10-3]m的變化范圍內，系統經歷了混沌、擬周期和P-n運動交替出現，最終過渡到P-1運動的復雜歷程。混沌運動初始在0<δd<0.43×10-3m范圍內出現，相應Poincaré映射圖中為離散的點，軌跡圖表現為交雜錯亂的橢圓。當動偏心繼續增加進入區間0.43×10-3<δd<0.49×10-3m，混沌運動消失，系統響應變為規則的P-5運動，其映射圖中吸引子數目減少至五個點，轉子運動軌跡呈梨狀體。隨后，系統再次進入混沌運動區域0.49×10-3<δd<0.65×10-3m，并在δd=0.66×10-3m時短暫經歷擬周期運動，Poincaré映射圖中吸引子環面破裂，點數減少，軌跡圖表現為蝴蝶狀。而隨著δd繼續增加，系統響應開始向周期運動過渡，在δd=[0.67×10-3～0.73×10-3]m范圍內，系統保持為規則的P-4分頻振動，Poincaré映射表現為四個孤立的點，轉子軌跡呈現為四個蝴蝶狀的圓環。當δd進一步擴大，系統由P-4運動變為P-2運動，其映射圖和軌跡分別顯現為兩個孤立的點和雙橢圓結構，相應范圍為δd=[0.73×10-3～0.93×10-3]m。如圖12所示，當δd=0.94×10-3m時，系統響應為同步P-1運動，頻譜圖中只有一倍頻率成分存在，通過觀察時域圖可以發現，轉子振動幅值已超過均勻間隙，定轉子之間發生全周碰摩。而在區間δd=[0.95～1.05×10-3]m內，系統響應又一次恢復為擬周期運動，當δd超過1.05×10-3m后，系統重新進入具有全周碰摩形式的P-1運動，直至δd=2×10-3m。

圖11 以動偏心為控制參數轉子系統變化分岔圖

圖12 δd=0.94 mm時系統響應的映射圖、軌跡圖、時域圖和頻譜圖

結合上述分析可知，盡管動靜偏心的存在均會使系統動態特性發生變化，但顯然，由動偏心改變引起的系統響應表現更加豐富，這主要是由二者在UMP所處地位及各自對系統產生的影響不同所致。分析式(6)可知，靜偏心故障會引起轉子二倍機械頻率的UMP成分，然而，同一倍轉頻相比，二倍頻率電磁激勵所占比例相對較小，故其對系統的動態響應作用不是很明顯。相比之下，由動偏心故障引起的一倍轉頻電磁激勵成分占據主導地位，極易誘發水電機組在該頻率下的振動，因此，其對系統振動將產生更為顯著的影響。此外，較大的動偏心會使定轉子之間發生嚴重的全周碰摩故障，而靜偏心在δs=[0～2×10-3]m區間變化時系統并未出現上述現象。由此可見，相比于靜偏心，盡管動偏心量監測難度相對較大，但其對系統所造成的影響更為顯著，十分不利于機組安全穩定運行。

3 結 論

針對機械和電磁故障引起的碰摩轉子-軸承系統彎扭耦合振動問題，本文推導了同時考慮動、靜偏心作用下的UMP模型，在此基礎上，構建了電磁激勵下水輪發電機組碰摩轉子-軸承系統彎扭耦合振動模型及運動微分方程，采用非線性數值分析方法研究了勵磁電流和動靜偏心參數對系統彎扭耦合振動特性的影響，得到主要結論如下：

(1)扭轉自由度的加入在一定程度上改變了系統彎曲振動的動態特性。當質量偏心較小時，扭振對系統彎振的影響有限，二者的耦合作用相對較弱；當質量偏心增大后，系統的彎扭耦合作用顯著增強，容易引起系統潛在的不穩定。因此，在機組實際運行過程中，應定期對質量偏心狀況進行檢查并采取有效措施加以控制，以達到維持機組安全穩定運行的目的。

(2)動靜偏心的加入顯著改變了系統動態特性，同未考慮復合偏心影響相比，隨著勵磁電流的增加，系統非周期運動范圍大幅縮短，轉子最大振幅明顯下降。此外，系統運動呈現如P-7和P-10等新的運動特征。動靜偏心的存在起到了一定抑制系統振動、穩定系統響應的作用。

(3)動靜偏心故障對系統動態響應的表現形式影響不同，差異較為明顯。相比于靜偏心故障，由動偏心因素引起的一倍轉頻電磁激勵成分占據主導地位，極易誘發水電機組在該頻率下的振動。此外，較大的動偏心還會使定轉子之間發生嚴重的全周碰摩故障，必須引起足夠的重視。