改進的工況傳遞路徑分析

廖旭暉， 戴旭東， 陳樂樂， 廖連瑩， 孟浩東， 趙景波

(常州工學院 汽車工程學院，江蘇 常州 213032)

當前，不管是在民用領域還是軍用領域，振動和噪聲問題都越來越受到重視，產品振動噪聲性能的好壞往往直接關系到該產品的成敗。傳遞路徑分析(transfer path analysis, TPA)是一種面向問題(trouble shooting)的研究方法[1-2]，能夠幫助識別主要的振動和噪聲的傳遞路徑從而以此為依據對原結構加以改進。目前，TPA方法已經成為工程上解決振動噪聲問題的重要手段。傳統TPA的基本思想源于線性系統的疊加原理，在早期的許多文獻中都已經有過這方面的論述。但是一般認為，最早應用“振源-路徑-接受結構”的模型來研究工程中的振動問題應該追溯到20世紀80年代[3-5]。TPA為解決工程中的許多振動噪聲問題提供了一種十分有效的解決方案，但是由于傳統的TPA在實施過程中需要測量路徑所傳遞的動態力以及被動側的頻響函數，所以存在測試效率比較低、測試過程比較繁瑣等缺點[6]。為此，發展起來了一些改進的TPA方法。

在這些方法中，應用最為廣泛的是工況傳遞路徑分析(operational transfer path analysis, OTPA)[7-8]。OTPA是一種基于響應的傳遞路徑分析方法，它通過建立目標點響應和參考點響應之間的聯系來對傳遞路徑進行分析。傳遞率是OTPA中的一個核心的概念，文獻[8-10]中詳細探討了傳遞率的有關性質及測試方法。由于OTPA不需要測量力及頻響函數，使得其測試過程相比于傳統TPA大為簡化。盡管OTPA實施起來比較方便，但也存在分析中容易遺漏路徑、存在路徑之間的相互串擾、傳遞率估計存在困難等問題[11-13]，這些問題都會導致OTPA的測試精度的下降。為此，一些學者提出了一些改進的手段如利用奇異值分解(singular value decomposition, SVD)[14]、主成分分析(principal component analysis, PCA)[15]、獨立分量分析(independent component analysis, ICA)[16]、正則化方法[17-18]等，來提高OTPA的測試精度。但是，OTPA對于路徑的定義與傳統TPA存在較大的差別，分析中容易造成對路徑理解上的問題。為了解決這一問題并進一步改進OTPA的測試精度，本文提出了一種新的OTPA方法。所提出的改進方法主要是用主被動側耦合點響應之間的差值來替代原先OTPA中的參考點響應信息，并結合SVD以及人工激勵等手段，能夠獲得更高的測試精度及更清晰的物理意義。

1 傳遞路徑分析的基本理論

1.1 傳統的TPA

TPA理論將振動系統分成主動部分、傳遞路徑和被動部分。激勵力作用在主動部分上，通過若干條傳遞路徑將振動傳遞到被動部分上。典型的TPA模型如圖1所示。

圖1 典型的TPA模型

被動部分上的目標點的響應可以看成是所有路徑對該點響應的貢獻之和。TPA的基本公式在頻域可以表示成

(1)

式中：xi表示第i個目標點的響應，Fj表示第j條傳遞路徑上傳遞的廣義力，Hij表示力Fj到響應xi的廣義上的頻響函數。如果該路徑是結構傳播路徑，Fj就是通常意義上的力。而如果該路徑是聲音的空氣傳播路徑，Fj則表示體積聲速。

根據TPA的基本理論，要想將目標點的響應完整地表示成各條振動傳遞路徑的貢獻量之和，需要進行兩個方面的測試工作。一是測量被動部分的傳遞函數，也就是被動部分耦合點到目標點的傳遞函數。二是測量系統在工作時通過各條路徑傳遞的動態力。在實際工程應用中，這兩類物理量的測量都存在較大的困難。被動部分的傳遞函數的測量需要先將主動部分從耦合結構上拆卸下來，測試過程十分繁瑣。而動態力的測量則需要在路徑中安裝力傳感器，這在許多結構中幾乎是不可能實現的，當然也可以采用動剛度法[19]和矩陣求逆法[20-22]來間接計算路徑傳遞的動態力。

1.2 OTPA

設目標響應點集合記為A，參考點集合記為B，系統上的外力作用在自由度集合C上。當系統受到外力fC作用時，A和B上的響應向量可以分別表示成

xA=HACfC

(2)

xB=HBCfC

(3)

式(2),(3)中，HAC表示C到A的頻響函數矩陣，HBC表示C到B的頻響函數矩陣。

若HBC為列滿秩矩陣，則由式(3)可以得到

(4)

(5)

令

(6)

式(5)變成

(7)

式(6)表示的是一般意義下的傳遞率矩陣。在TPA模型中，外力全部作用在主動部分上，并且通過路徑傳遞到被動部分。就被動部分而言，每一條路徑代表了一個作用力。為了更好地符合TPA的物理意義，通常對每一條路徑選擇一個參考點，可以將代表某條傳遞路徑的參考點選取在被動部分與該路徑的耦合點附近。這種情況下，就被動部分而言，外力的數量#C和參考點的數量#B都等于路徑的數量，于是式(6)可以寫成

(8)

根據式(7)，可以將第i個目標點的響應表示成

(9)

式中，TAi Bk表示參考點Bk到目標點Ai的傳遞率。式(7)和式(9)就是OTPA的基本公式，顯然式(9)和傳統TPA基本公式(式(1))具有一致的形式。式(9)中的TAiBkXBk用來表示第k條傳遞路徑對響應XAi的貢獻。

3 OTPA的實施

3.1 傳遞率矩陣的測量

從OTPA的基本公式式(7)可以看出，在OTPA中只需要測量系統的響應以及參考點到目標點的傳遞率矩陣就可以了。系統響應可以通過加速度傳感器在系統運行時很方便地測量得到，傳遞率矩陣可以通過以下方法計算得到。

可以將在系統運行時測量到的響應信號分成r組數據塊，對于其中的每一個數據塊都運用式(7)可以得到

(10)

式中的上腳標(i)表示測量的第i組數據塊的頻域信號。將式(10)合成起來得到

(11)

于是，傳遞率矩陣可以由下式計算得到：

(12)

為了獲得足夠數量的不相關數據，可以特意地用不相關的激勵源來對系統進行激勵，從而獲得不相關的響應量。一種簡便易行的方法是所謂的人工激勵法[23]，即采用人工敲擊的方式進行多次有效的激勵并測量相應的工況數據。采用敲擊的方式在主動側進行人工激勵時，每次改變敲擊的位置，可以獲得比較好的不相關數據，然后再將這些數據運用式(12)計算傳遞率矩陣就可以了。人工激勵法主要是為了測量參考點到目標點的傳遞率，采用人工激勵法也就將原先一步完成的測量工作變成了兩步來完成。即第一步通過人工激勵獲取的數據來估計傳遞率，而第二步則獲取實際工況下的數據并結合已經計算出的傳遞率來合成實際工況下的路徑貢獻量。

3.2 奇異值分解

式(12)實際上是一種利用最小二乘法來計算傳遞率的思路。這種方法雖然能夠獲得理論上的最優解，但是當參考點響應信號和測量噪聲信號之間存在較高的相關性時，利用該方法估計得到的傳遞率將會存在較大的誤差。這時，可以采用奇異值分解的方法來提高傳遞率矩陣估計的精度。

將參考點響應矩陣進行奇異值分解得到

(13)

式(13)中，U為#B×#B維酉矩陣(unitary matrix)，V為r×r維酉矩陣，VH表示矩陣V的共軛轉置。Σ為非對角線元素全為零的#B×r維矩陣，Σ的非零對角線元素稱為矩陣XB的奇異值(singular values)。

由式(13)可以得到

(14)

及

(15)

(16)

將式(16)代入式(12)就可以計算出傳遞率矩陣了。由于清除了信號中的一些噪聲成份，利用奇異值分解方法計算得到的傳遞率矩陣具有更高的精度。

4 改進的OTPA

從前面的分析可以看出，OTPA雖然測試過程比較簡單，但是精度有限。尤其是用參考點響應對目標點響應的貢獻替代了路徑貢獻量的概念，這在物理意義上來說，與傳統的TPA是有偏差的。本文在這里介紹一種改進的方法，該方法仍然使用工況數據，其實施過程與OTPA相仿，但是物理意義和傳統的TPA更為接近。

可以將TPA模型中的每條傳遞路徑看成是一個線性彈簧，其中第j條傳遞路徑所傳遞的工況力在頻域內可以表示成

Fj=Zjδj

(17)

其中，

(18)

式(17)中，Zj表示第j條傳遞路徑的動剛度。式(18)中，δj相當于第j條路徑的變形量，aaj表示路徑與主動側耦合點的加速度響應，apj表示路徑與被動側耦合點的加速度響應。

將式(17)代入式(1)得到

(19)

令

Tij=HijZj

(20)

式(19)于是可以寫成

(21)

式中，Tij表示從δj到yi的傳遞率。式(21)就是改進的OTPA的基本公式。顯然，式(21)將目標點響應看成是由各條路徑的變形所導致的。由于該式是由傳統的TPA推導得出的，所以改進的OTPA中的路徑貢獻量具有跟傳統的TPA中相同的物理意義，這一點是有別于OTPA的。很顯然，式(21)中的Tijδj就表示第j條路徑上的力而非響應對第i個目標點的響應貢獻量。但是，改進的OTPA又借鑒了響應傳遞率的概念，改進的OTPA中的傳遞率Tij從本質上來說仍然是一種“響應-響應”傳遞率而非“力-響應”傳遞率(即通常意義上的頻響函數)。因此可以通過與OTPA中計算傳遞率相似的步驟來計算路徑變形量到響應的傳遞率。

將式(21)表示成矩陣的形式如下：

yA=TyAδδ

(22)

其中，

δ=[δ1,δ2,…,δN]T

(23)

δ表示由路徑變形量構成的列向量，TyAδ表示路徑變形量到目標點響應的傳遞率矩陣。N表示總的路徑數量。

在OTPA中測量的工況數據為參考點的響應，而改進的OTPA中則需要測量路徑與主動側和被動側的耦合點的響應，從而獲取路徑變形量信息。計算路徑變形量到目標點的傳遞率矩陣可以由下式計算得到：

(24)

式(24)中，上腳標(i)表示測量得到的第i組數據塊的頻域信號。可以看出，改進的OTPA方法與傳統的OTPA的實施步驟是基本相同的。上一節所介紹的人工激勵法、SVD等也都可以用于改進的OTPA中。使用人工激勵的方式來實施改進的OTPA同樣分為兩個步驟：第一步，在主動側實施激勵的同時測量主被動側耦合點以及目標響應點的響應，并利用式(24)計算傳遞率。第二步，在系統實際工作時測量以上響應并利用式(21)計算各路徑貢獻量。

值得指出的是，改進的OTPA與另外一種工程實踐中常用到的傳遞路徑分析方法——擴展的工況傳遞路徑分析(operational path analysis with exogenous inputs，OPAX)[24-25]在測試過程和物理意義上都有相似之處。OPAX同樣也需要測量主被動側的響應，然后利用參數化模型來識別懸架的動剛度，進而計算出路徑傳遞的動態力的大小，但OPAX仍然需要對被動側的頻響函數進行測量。而改進的OTPA只關注路徑動態力對目標點響應的貢獻而并不關注路徑動態力本身，因此不需要測量被動側頻響函數，這使得測試過程大為簡化。而關于路徑貢獻量的物理意義，改進的OTPA和OPAX都與傳統的TPA比較接近。

5 實驗研究

5.1 實驗方案

本節通過實驗來研究并比較幾種TPA方法。所用到的實驗模型如圖2所示，該模型類似于一個“發動機-車架”振動傳遞模型。模型細節如圖3所示，上面一層結構為主動部分，相當于發動機；下面是被動部分，相當于車架；中間有3條振動的傳遞路徑，相當于3個發動機懸置。實驗中的激勵均為Z方向(垂直地面方向)，三條傳遞路徑也是沿Z向，所使用的實驗結構的振動也以該方向為主，因此只關注在該模型Z方向上振動。

圖2 用于TPA的實驗模型

圖3 實驗模型細節

所進行的實驗及具體實驗方案如下：

(1) 傳統的TPA

傳統的TPA需要兩個步驟。第一步是測量被動部分的頻響函數。在測量被動部分的頻響函數時，需要首先將主動部分及路徑拆除，然后用錘擊法進行頻響函數的測量。由于被動部分結構的耦合點處有安裝孔，敲擊存在一定的困難，因此在本文中利用互易性原理進行頻響函數的測量，所選取的目標響應點如圖2所示。所測量的三個懸置連接點到目標響應點的頻響函數如圖4所示。第二步則需要測量工況下的路徑傳遞力。為了精確測量振動過程中通過路徑傳遞的力，在模型的每條路徑中串聯了一個力傳感器，力傳感器的安裝位置如圖5(a)所示。由于只是驗證性試驗，對工況沒有太多的要求，本文中采用人工敲擊的簡單激勵方式在主動部分進行激勵，目標點的時域響應信號如圖6所示。與此同時，測量路徑上傳遞的力以及目標響應點的響應，力傳感器所測量得到的三條傳遞路徑上的力的頻域信號如圖7所示。最后利用TPA的基本公式式(1)來計算每條路徑對目標點響應的貢獻量，并將所有路徑貢獻量合成的結果與直接測量得到的結果進行比較。

圖4 測量得到的被動側頻響函數

圖5 傳感器布置位置

圖6 目標點的時域響應信號

圖7 測量得到的路徑動態力

(2) OTPA

首先選取被動部分上的三個耦合點作為參考點，通過人工激勵的方式在結構的主動側進行激勵并獲取參考點和目標點處的響應信息。利用3.1節計算傳遞率的方法計算參考點到響應點的傳遞率，所計算得到的參考點到目標點的傳遞率如圖8所示。最后，進行工況下響應的測量，并利用OTPA的公式計算該工況下每條路徑的相應貢獻量。

圖8 各參考點到目標點的響應傳遞率

(3) 改進的OTPA

改進的OTPA中不僅要測量被動部分耦合點的響應，還需要測量主動部分耦合點的響應，傳感器的布置方式如圖5(b)和(c)所示。利用OTPA中計算傳遞率相同的方法計算路徑變形量到目標點響應的傳遞率(如圖9所示)。最后，進行工況下響應的測量，并利用改進的OTPA的公式計算該工況下每條路徑對響應的貢獻量。

圖9 各路徑變形量到目標點的響應傳遞率

上面三個實驗都需要兩個步驟才能完成，即路徑特性的測量和工況數據的測量。但是，上述三個實驗所需要的工況數據需要在同一次測量中獲取，這樣可以比較同樣工況下三種TPA的結果之間的差別。而上述的第(2)個實驗和第(3)個實驗中用于計算傳遞率的有關測量也可以在一次試驗中同時完成。因此，上述三個實驗總共需要三個步驟：①測量被動部分耦合點到目標點的頻響函數，所測得的數據用于傳統的TPA。② 采用人工激勵法，測量耦合點和目標點的響應，通過測得的響應數據估計傳遞率。③測量工況數據，包括工況下的響應和路徑力并計算路徑貢獻量。

5.2 實驗結果分析

首先分析傳統TPA的實驗結果。圖10顯示了三條傳遞路徑對參考點響應的貢獻量之和與直接測量的該點響應的比較，從圖中可以看出兩條曲線十分接近，驗證了所用方法的正確性以及測量的準確性。

圖10 直接測量與合成得到的參考點響應比較

圖11顯示了在傳統TPA中得到的每條路徑的貢獻量情況。由于傳統TPA中每一條路徑的貢獻量是直接測量得到的，一般認為是比較準確的結果。因此，會將該計算結果用于跟另外兩種方法所計算得到的結果進行比較，分析另外兩種傳遞路徑方法的準確性。

圖11 傳統TPA得到的路徑對目標點響應的貢獻量

為了比較的方便，將三種方法分析的每一路徑的貢獻量繪制在同一張圖上。計算得到的路徑1～路徑3的貢獻量分別如圖12(a)～(c)所示。從圖中可以看出，三種方法中改進的OTPA與傳統的TPA的結果更為接近。而OTPA由于路徑的定義和傳統的TPA有本質的區別，再加上該模型中阻尼較小，路徑之間的串擾效應比較明顯，使得OTPA與傳統的TPA結果差別比較大。結果表明，改進的OTPA能夠在一定程度上改善OTPA的路徑串擾的問題，從而提高OTPA的精度。

圖12 三種TPA方法分析結果比較

6 結 論

本論文對OTPA方法進行了綜合的論述，提出了一種改進的OTPA方法，以提高傳遞路徑分析中的測試精度。主要結論如下：

(1) 提出了一種改進的OTPA方法，該方法利用上下懸置點響應的差值而不是被動側參考點響應來合成目標點的響應。改進的OTPA可以改善工況傳遞路徑分析的路徑串擾的問題，從而提高OTPA的分析精度，而且改進的OTPA的物理意義與傳統TPA也更為接近。

(2) 本文所提出的方法和OTPA的操作流程基本相同，傳遞率的測量是OTPA中的關鍵步驟，可以利用工況數據來計算傳遞率。在改進的OTPA中，同樣可以利用人工激勵及SVD等手段來提高傳遞率的計算精度。