軸力和水壓作用下深水輸液管道濕模態振動特性分析

余建星， 李振眠， 余 楊， 趙明仁， 崔宇朋， 趙 宇， 徐立新

(1. 天津大學 天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300350；2. 天津大學 天津市港口與海洋工程重點實驗室，天津 300350)

深水輸液管道是海洋油氣資源開發的“生命線”，在復雜外界激勵作用下會發生振動變形，影響正常工作，甚至產生結構破壞和石油泄漏等災難性后果。據統計，在全球化工行業發生的重大事故中，管道振動引起的比重高達19%[1]。因此，開展深水輸液管道振動特性分析具有非常重要的現實意義。對于深水輸液管道，其組成包括管道、內部原油和外部海水，內外流場的存在會對管道振動特性產生影響。另外，生產立管和深水管道系統等的設計要考慮外部水壓和軸向拉力的聯合作用[2-3]。以張緊式、懸鏈式立管為典型的生產立管總是處于兩端受拉的狀態[4]。海底管道在服役和檢修階段，管道發生的軸向位移和橫向位移會導致軸向拉伸力增大[5]，從而使管道承受軸拉和水壓聯合作用。所以，開展軸力和水壓作用下深水輸液管道濕模態振動特性分析，具有實際工程應用價值。

國內外學者已對充液管道振動問題開展了大量的研究[6]。1950年Ashley等[7]首次提出了輸液管道流固耦合的概念，對輸液管道的橫向振動進行了研究。Dai等[8]采用傳遞矩陣法研究了流體流動引起的組合力對輸流直管和彎管固有頻率的影響。Zhang[9]運用波傳播方法將流體處理為理想聲介質，研究了圓柱形輸液管道的振動特性。Liu等[10]運用波傳播方法研究了簡支埋地管道的振動特性，發現周圍介質剛度會顯著影響管道的固有頻率。楊超和范士娟采用特征線法研究了管道的流固耦合振動問題，證明了該方法的正確性和有效性。Huang等[11]采用消元Galerkin方法計算不同邊界條件下直管固有頻率，得到了不同邊界條件的輸流管道的固有頻率方程。Zhu等[12]提出了一種基于譜元法的管道振動特性分析方法，并說明該方法在復雜輸流管道的振動建模中的應用潛力。姜峰等[13-14]應用ANSYS的Acoustic Extension插件開展具有內外流場的管道振動特性分析。

由于管道長徑比較大，管道振動研究時往往采用梁振動理論。但是管道作為薄壁殼結構，其振動不僅有長度方向上的梁振動模態，還有圓截面上的板殼振動模態[15]。管道的板殼振動存在多種模態形式，會造成圓柱截面變形，從而使截面承載能力下降。為更準確地反映輸液管道的實際物理系統，輸液管道可以處理為圓柱殼模型，因此圓柱殼體振動研究可為管道振動問題提供參考。Junger[16]的研究表明外部流體對結構振動特性的影響可以等效為附加質量和阻尼力，且會導致結構頻率大幅減小。Fuller[17]假設流體為可壓縮的理想聲介質，應用波傳播方法分析了流場中圓柱殼的頻散特征。Zhang等[18]將殼體位移以波傳播的形式進行級數展開，通過正交化振動方程得到了特定模態下的頻散方程。王鵬等[19]考慮自由液面、剛性底面和組合邊界等的影響，用波傳播法和虛源法分析了聲邊界約束下水中有限長圓柱殼的聲振特性。Liu等[20]以預應力的形式考慮了殼體的流體靜壓，采用波傳播方法分析了流體靜壓對浸沒圓柱殼頻散特性的影響。Zhu等[21]考慮軸向和橫向的靜水壓力，建立了浸沒圓柱殼的流固耦合頻散方程。Ergün等[22]假定內部流體黏性不可壓縮，研究了具有初始應力的圓柱形粘彈性厚管中的諧波問題。

目前管道流固耦合的研究主要集中在內外流場的耦合作用，對管道設計中重要的軸向拉力和外部水壓的聯合作用問題較少涉及。本文基于波傳播法，采用采用Love-Timoshenko理論和Helmholtz方程建立耦合系統模型，聚焦于軸力和水壓作用下深水輸液管道濕模態殼振動特性研究，旨在為深水輸液管道結構設計和優化提供參考依據。

1 研究對象

本文以軸力和水壓作用下深水輸液管道為研究對象。如圖1所示，管道長度為L，壁厚為h，中性面半徑為R，材料密度為ρs，楊氏模量為E，泊松比為μ。管道外部為海水組成的靜止流場，靜水壓力為p0，海水密度為ρe，聲傳播速度為Ce。管道內部為流動速度為Vi的原油，原油密度為ρi，聲傳播速度為Ci。以x，θ和r分別表示管道的軸向、周向和徑向，u，v和w分別表示管道中面軸向、周向和徑向位移。管道受到外部靜水壓力為p0，兩端面受到軸向拉力為Ta。

圖1 深水輸液管道結構及其周向模態振型示意圖

2 基本理論推導

2.1 殼體動力平衡方程

根據Love-Timoshenko殼體理論[23]，管道動力平衡方程表達為

(1)

式中：Pf為原油和海水產生的流體聲壓； [L]為3×3的矩陣，各元素如下：

根據無矩理論可得單位長度的軸向力和環向力分別為

(2)

(3)

2.2 內外流場的模擬

采用波傳播方法，將殼體位移在軸向和周向展開成雙Fourier級數形式

(4)

式中，kmn為軸向波數，根據殼體兩端邊界條件確定。

假設海水和原油均是無黏、各向同性且無旋的，則可處理為理想聲介質，用具有軸向均勻流動的聲學波動方程方程[24]描述

(5)

式中：M為流體馬赫數；cf為流體中的自由波數。

考慮Sommerfeld輻射條件以及Neumanu邊界條件，采用分離變量法可得滿足方程式(5)的流體聲壓場的解

(6)

在流體和殼體的接觸面上，二者徑向位移相等

(7)

將式(4)和(6)代入式(7)，正交化處理后得到

(8)

2.3 耦合動力方程

將式(4)、(6)和(8)代入式(1)，進行正交化處理后化簡可得耦合動力方程

[S][UmnVmnWmn]T=[0 0 0]T

(9)

式中， [S]為3×3的矩陣，各元素如下：

(10)

(11)

方程式(9)必有非零解，則其系數矩陣滿足|S|=0。當給定軸向波數kmn時，|S|=0僅包含變量無量綱頻率Ω，采用可求解超越方程的改進牛頓迭代法[25]即可獲得深水輸液管道的固有頻率。

3 方法驗證與管道參數

3.1 準確性驗證

為驗證本文方法的正確性和程序的可靠性，對文獻[26-28]中的模型進行計算并對比結果。驗證模型的參數為：鋼殼體，彈性模量2.1×1011N/m2，泊松比0.3，殼體密度7 850 kg/m3，厚度0.01 m，半徑1.0 m，殼長20 m。流體聲速1 500 m/s，流體密度1 000 kg/m3，外部水壓40 kPa。計算結果對比如表1所示，顯然本文計算結果與文獻結果吻合程度非常高。因此，本文的理論模型和計算程序是準確可信的。

表1 不同狀態下圓柱殼固有頻率驗證

3.2 計算模型參數

計算模型選用材質Q235B的深水管道，涉及四種工況，分別是真空中空管道、真空中充液管道、水中空管道、水中充液管道和軸力-水壓聯合作用下水中充液管道，依次記為P1、P2、P3、P4和P5。以P5為例，主要參數如表2所示，邊界條件為兩端剛性固定(C-C)。

表2 深水管道-流場耦合模型參數

4 結果分析與討論

4.1 管道-流場耦合系統參數分析

首先開展管道-流場耦合系統參數分析，計算了兩端剛性固定(C-C)和兩端簡單支撐(S-S)兩種不同邊界條件下不同長徑比(10-60)P5工況中管道的無量綱固有頻率。采用梁函數近似模擬殼體邊界：對于C-C，kmnL=(2m+1)π/2；對于S-S，kmnL=mπ。對于管道結構，m=1時的固有頻率較小，n取小值時就足以反映結構的振動特性。因此，僅給出m=1，n=1,2,…,5時的無量綱固有頻率值，如圖2所示。

圖2 C-C和S-S下不同L/R管道無量綱固有頻率(m=1)

由圖2(a)可知，對于C-C邊界條件，不同長徑比管道高周向模態固有頻率隨著n增大而增大，但低周向模態固有頻率有所差別。對于L/R=10，n=1時無法獲得管道模態頻率，即出現模態截斷。此時，n=2為最小固有頻率，即基頻。對于L/R=20，n=1的頻率高于n=2的頻率。此時，頻率隨著n先減后增。對于更大的長徑比，基頻出現在n=2時。另外，隨著周向模態數的增大，不同長徑比對應的固有頻率趨于一致。由此可見，長徑比對管道的低周向模態固有頻率影響較大，對高周向模態固有頻率影響較小。對于較小的長徑比，基頻在(m=1，n=2)模態；對于較大的長徑比，基頻在(m=1，n=1)模態。

圖2(b)為S-S邊界條件下管道的頻率折線圖?？梢钥闯?，該頻率折線與C-C邊界條件的折線變化規律大同小異。不同的是：對于L/R=10，n=1沒有出現模態截斷，但基頻依然出現在n=2；對于L/R=20，基頻出現在n=1。比較圖2(a)和圖2(b)相同長徑比、相同模態的頻率值，發現對于低周向模態固有頻率，S-S情況總小于C-C情況，而隨著周向模態數的增大，二者差異減小。對于較大的長徑比，不同邊界條件的高周向模態固有頻率甚至相等。由此可見，邊界條件對管道的低周向模態固有頻率影響較大，對高周向模態固有頻率影響較小。

4.2 內外流場影響分析

計算了P1-P5五種工況的無量綱固有頻率，結果如圖3所示。從圖3可以看出，每個工況的固有頻率隨著周向模態先減后增，基頻出現在n=2。可見，海水和石油的存在不會改變管道固有頻率的變化趨勢，軸力和水壓的作用亦是如此。對于相同的n，頻率大小關系為P1>P2>P3>P4?？梢姡Ｋ驮蛯艿拦逃蓄l率有影響，內外流體的存在將降低管道的每一階模態的頻率。另外，P4>P5表明軸力和水壓的作用會降低管道的固有頻率。詳細地，以P1工況為參考，計算了其他工況基頻相對變化率，如表3所示。

圖3 不同工況中不同周向模態的管道無量綱固有頻率(m=1)

表3 不同工況管道最低頻率相對變化率

從表3可以看出，原油-管道耦合的基頻降低了30.67%，海水-管道耦合的基頻降低了35.46%，石油-管道-海水耦合的基頻降低了46.33%?？梢娫蛯艿雷畹凸逃蓄l率影響小于海水，兩者同時作用時的影響小于各自影響的簡單疊加。P5反映了軸力、水壓、原油和海水同時存在時管道基頻下降了66.45%。同P4對比，可見軸力和水壓作用對深水輸液管道最小固有頻率影響不可忽視，更多的討論在4.3節。

為研究管內原油流速對管道固有頻率的影響，計算了不同馬赫數下P5管道的固有頻率。參考文獻[9]，定義原油流速與振動波傳播方向相同時固有頻率為下流頻率fd(M>0)，反之為上流頻率fu(M<0)。那么，管道真實固有頻率為fm=2fdfu/(fd+fu)。以P5為參考，不同|M|值管道不同周向模態的無量綱上流頻率和下流頻率相對變化率如圖4所示。由圖4可知，管道下流頻率隨著原油流速的增大而增大，上流頻率隨著原油流速的增大而減小。對于相同的馬赫數，基礎固有頻率(n=2)變化幅值最大，而其他周向模態的變化率則與周向模態數正相關。可見，當原油流速與振動波傳播方向相反時，管道結構穩定性隨著流速增大而小幅下降。因此，應重點關注管道振動波傳播的上流區域。

圖4 不同馬赫數下管道上下流頻率變化率

利用圖4的結果計算管道真實固有頻率，其中最重要的基頻變化率如表4所示。由表4可見，原油流速對管道真實基頻的影響在1%之內。因此，分析深水輸液管道振動特性時忽略原油流速影響不會引起太大誤差。

表4 不同馬赫數管道基礎固有頻率相對變化率

4.3 軸力和外水壓影響分析

從4.2節的分析中初步可以看出，軸向拉力和外水壓的聯合作用會降低深水輸液管道的各階模態固有頻率。圖5的(a)和(b)分別給出了P5管道在不同軸向拉力和不同外水壓下固有頻率的變化情況。變化率的參考值為表2對應的管道。

(12)

從圖5(b)可以看出，外水壓對管道各個模態的固有頻率影響較大。隨著外水壓的增大，頻率減小，但各個模態變化幅度大小不一，基本與周向模態數呈正相關。特別地，n=2時頻率變化幅度最大，而且隨外水壓的增大而急劇減小。如果繼續增大外水壓，n=2時固有頻率將出現負值，意味著管道剛度喪失，結構失穩。進一步地，計算頻率為零時外水壓，即管道臨界壓力的彈性理論解。

圖5 軸向拉力和外部水壓對管道固有頻率的影響

采用文獻[21，30]的方法，計算P5和P1、P2、P3和P4四個工況的管道在外壓作用下基頻，并繪制基頻的平方與外水壓的關系圖，如圖6所示。從圖6可以看出，基頻的平方與外水壓近似呈線性關系。這與文獻[21，30]的結論一致。另外可以看出，各個直線的斜率不等，大小關系為P1

對圖6所示的五條直線進行擬合，求出直線與橫軸的交點，得到臨界壓力值如表5所示。比較P1、P2、P3和P4的臨界壓力，變化幅度小于0.2%，可以認為內外流場對管道失穩的臨界壓力不會產生影響。比較P4和P5的臨界壓力，可以發現軸力的存在將降低管道的臨界壓力值2.44%。這與文獻[3-5]發現的規律一致。

圖6 無量綱基礎頻率平方值vs外部水壓

表5 不同工況管道失穩臨界壓力值

另外，采用有限元方法開展無軸力和有軸力時管道的特征值屈曲分析，得到臨界壓力值分別為3.494 9 MPa和3.423 1 MPa，與本文計算結果相差1.51%和1.91%。本文方法與有限元方法計算結果十分接近，進一步說明了本文方法的正確性。由此可見，管道軸向受力對管道的臨界壓力存在一定影響，在管道失穩分析中軸向力不可忽略。

5 結 論

本文采用Love-Timoshenko理論和Helmholtz方程建立了軸力和水壓作用下原油-管道-海水耦合模型，計算得到了深水輸液管道殼振動周向模態的固有頻率，并研究了邊界條件、長徑比、內外流場耦合以及軸向拉力、外部水壓對管道固有頻率的影響，得到以下結論：

(1) 邊界條件和長徑比對深水輸液管道的高周向模態固有頻率影響較小，但對低周向模態固有頻率影響較大，特別是基頻。對于低周向模態固有頻率，兩端簡支情況總小于兩端剛性固定情況，而隨著周向模態數的增大，兩種邊界條件的固有頻率差異減小，最終相等。對于較小的長徑比，管道基頻在(m=1，n=2)模態；對于較大的長徑比，管道基頻在(m=1，n=1)模態。

(2) 原油、海水的存在會明顯地降低管道固有頻率。原油對管道基頻影響小于海水，兩者同時作用時的影響小于各自影響的簡單疊加。原油和海水的存在對管道失穩的臨界壓力不會產生影響。管道上流頻率隨著原油流速的增大而增大，下流頻率隨著原油流速的增大而減小，而原油流速對管道真實頻率的影響可以忽略不計。因此，對于深水輸液管道的振動分析，濕模態分析具有不可替代性。

(3) 軸向拉力會小幅降低管道基頻，進而小幅降低管道失穩臨界壓力。水壓會大幅降低管道基頻，甚至引發結構失穩。因此，在深水輸液管道濕模態分析和失穩分析中軸力和水壓作用不可忽略，特別是對水壓作用應加以重視。