一種穩健超增益波束形成方法

于瑩，林曉烘，周夢嬋

（1.海軍工程大學，湖北武漢,430032；2.武漢市建設學校，湖北武漢,430051）

0 引言

在各向同性噪聲場中，當相鄰陣元間距小于半個波長時，端射線陣的陣列增益比傳統的波束形成器增加很多，這是眾所周知的端射線陣超增益現象。在各向同性球面噪聲場中，具有M個非常緊密陣元間距的線陣可以實現接近M2的超增益[1]。

然而，由于這些高調諧系統對于現實應用中遇到的微小隨機誤差極度敏感，所以在實際應用中無法獲得最佳性能的理論增益[2]。如果違反傳感器陣列的一些基本設置，則性能下降。對角加載類算法就是最常見的穩健方法之一[3]。然而，對角加載類算法的主要問題是如何選擇對角加載量。

陣列傳感器的通道幅相誤差和陣元位置誤差在各陣元之間彼此獨立，這與空間白噪聲在各陣元之間的關系極其相似，所以誤差對波束形成器的影響與空間白噪聲對波束形成器的影響其實是一樣的[4]。Cox等人[5]提出使用所謂白噪聲增益約束算法來獲得對角加載量的合理值。遺憾的是，對角加載量與白噪聲增益約束的參數之間并不是簡單的關系，為了滿足這個約束，需要多步迭代過程來調整對角加載量[5]。

對于一個任意M元矢量傳感器陣列，窄帶波束形成器的輸出可以表示為

其中k 是時間因子，x(k)是陣列接收的復矢量信號，w是波束形成器4M×1維的復加權向量，(?)H表示共軛轉置。陣列接收的數據向量為可以寫成

由式(8)可以發現，真實的波束響應幅度平方的期望值可以寫成兩部分之和，第一部分是波束響應的平方整體乘上一個衰減的指數因子，這會使波束響應整體減小（達不到0dB），但是不會對陣增益的大小有影響，而第二部分是MVDR的加權向量二范數的平方乘上不同誤差的方差，導致陣增益下降的正是這一部分，它會使波束旁瓣響應的期望值增加，后端的算法處理不能夠直接減小誤差的方差，所以只能選擇盡可能地減小加權向量的二范數。

1 白噪聲增益約束波束形成優化問題的轉化

2 穩健波束形成的二階錐規化求解方法

二階錐規劃是一類特殊的優化問題，它是凸規劃問題的一個子集。二階錐規劃問題就是在滿足一組二階錐約束及線性等式與不等式約束條件下使某線性函數最小化。參考文獻概述二階錐規劃的實例和應用。

凸二階錐優化可由SeDuMi內點求解器建立，SeDuMi可同時處理二階錐和線性約束。在SeDuMi中，將凸錐優化問題的對偶形式定義為

綜上所述，將穩健的波束形成問題（18）轉化為使用標準高效的內點法軟件工具如SeDuMi的SOCP問題，其所需要的計算量為O(12M3)[10]。

3 仿真分析

假設10元均勻圓陣的圓心坐標為(0,0)，現用MATLAB依據仿真條件表示出10元圓陣各個陣元的位置如圖1所示。

圖1 圓陣各個陣元的位置

在無陣列傳感器誤差和陣列誤差的幅度和相位標準偏差為σg=0.1，σφ=0.5°的情況下分別畫出CBF、純MVDR波束形成和WNC波束形成的陣列增益和頻率之間的關系如圖2所示。

圖2 存在通道幅相誤差時3種波束形成陣列增益和頻率的關系

從圖2可以看出，當頻率較低時，CBF的穩健性非常好，不受仿真中給定的陣列傳感器誤差的影響，然而純MVDR波束形成的性能急劇下降，陣列增益甚至低于CBF，因為在低頻帶，白噪聲增益太小。頻率越低，純MVDR過程的穩健性越差。而WNC波束形成的陣列增益在存在通道誤差的情況下只下降一點點。WNC波束形成表現出了抗陣列傳感器誤差的極佳穩健性。

對于存在隨機陣列位置擾動的情況，假設擾動是具有標準偏差σp的統計獨立的零均值高斯隨機變量，其中σp=0，0.005m，0.01m和0.02m。畫出純MVDR波束形成的陣列增益在不同σp2下和頻率關系的圖象如圖3。陣列擾動導致陣列流形向量不匹配。波束形成器試圖消除失配信號，陣列增益尤其是低頻處的陣列增益下降。σp2越大，陣列增益下降的越多。

圖3 MVDR陣列增益在不同下和頻率的關系

WNC過程的陣列增益在不同σp2下和頻率的關系如圖4所示。可以看出陣列增益只在低頻處下降一點。在陣列位置擾動誤差存在的情況下，WNC波束形成有良好的穩健性。

圖4 WNC陣列增益在不同下和頻率的關系

4 結論

MVDR在低頻時具有超增益的現象。近幾年，圓陣的超增益現象及其穩健性問題受到越來越多的關注。圓陣的超指向陣列增益雖然不像端射線陣那么極端，但在各向同性噪聲場中，當陣元間距小于半個波長時，其性能遠遠優于傳統的波束形成器。然而，最優波束形成算法對陣列特性中的微小誤差非常敏感。如果違反傳感器陣列的一些基本設置，它的性能將會下降。因此，可以采用白噪聲增益約束（white noise gain constraint，WNC）算法來提高超增益波束形成受隨機誤差擾動影響的魯棒性。本文證明了穩健的超增益波束形成可以用二階錐規劃（SOCP）或者數值計算的方法公式化，且用上述方法簡便地求解，并給出了計算機仿真結果來說明所提出的方法。