微分中值定理的研究

白瑞霞

（南京工業(yè)大學(xué)浦江學(xué)院，江蘇南京 211134）

0 引言

中值定理在數(shù)學(xué)分析起著重要的作用,而導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上只反映函數(shù)在一點(diǎn)的局部特征，如果我們希望了解一個(gè)函數(shù)的整體特性，我們就必須在局部與整體之間建立某種聯(lián)系，而建立此聯(lián)系的橋梁正是作為核心的中值定理,同時(shí)也是探究函數(shù)在某個(gè)區(qū)間性質(zhì)的強(qiáng)有力的工具。微分中值定理不僅在理論上很重要，而且在我們?nèi)粘Ｉ钪械膽?yīng)用也很廣泛。在這篇短文中，我們?cè)噲D對(duì)中值定理的應(yīng)用做一個(gè)較為系統(tǒng)的闡述和總結(jié)，希望能夠拋磚引玉，對(duì)中值定理的研究和教學(xué)起到一定的參考作用。

1 微分中值定理

1.1微分中值定理的簡(jiǎn)述

我們知道，羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理。它們之間有著密切的聯(lián)系，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，它們之間的具體關(guān)系我們可以用下面的例題來將它們聯(lián)系起來。

例1.1.1設(shè)f(x)，g(x)，

?

(x)在[a,b]內(nèi)可導(dǎo)，試證：存在ζ∈（a,b）使得

F

= 則Cauchy中值定理就變成Lagrange定理。從而Cauchy中值定理可視為L(zhǎng)agrange定理在表達(dá)形式上的推廣。

1.2 微分中值定理的推廣

前面我們已經(jīng)討論了中值定理之間的關(guān)系，接下來我們來看它們的推廣。從前面的內(nèi)容我們知道，這三個(gè)定理都要求函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)。那么如果我們把定理中的閉區(qū)間推廣到無限區(qū)間，再把開區(qū)間推廣到無限區(qū)間的話，則這些定理是否還能滿足條件，或者我們能得出哪些相應(yīng)的定理或結(jié)論呢？

通過討論研究我們知道，按照以上的想法把中值定理的區(qū)間推廣到無限區(qū)間上可以得到幾個(gè)相應(yīng)的定理，本文在此只提到其中的一個(gè)，下面給出定理。

1.2.1 泰勒(Taylor)定理

若函數(shù)f在[a,b]上存在n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在（a,b）上存在（n+1）階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的x，x∈[a,b]，至少存在一個(gè)點(diǎn)ζ∈（a,b），使得

1.2.2 帶佩亞諾(Peano)型余項(xiàng)的泰勒公式

稱此式為(帶佩亞諾(Peano)余項(xiàng)的)麥克勞林公式。

1.2.3 帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式

2 微分中值定理的應(yīng)用

2.1 討論存在性

例2.1.2：設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)=0，求證：存在ζ∈（a,b），使

2.2 利用Lagrange中值定理證不等式[3]

例2.4.1利用微分中值定理證明：

2.3 證明恒等式及等式

2.4 求近似值

幾個(gè)微分中值定理給出了計(jì)算近似值減少誤差的方法，若能構(gòu)造出合適的輔助函數(shù)，利用具體的中值定理就能得出近似值。

當(dāng)要求的算式不能得出它的準(zhǔn)確值時(shí)，即只能求出其近似值,這時(shí)微分中值定理是解決這種問題的最好方法。

3 微分中值定理的應(yīng)用總結(jié)

上述我們已經(jīng)詳細(xì)的給出了微分中值定理的一部分應(yīng)用，另外微分中值定理還有求行列式的值、求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值、求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式、判斷函數(shù)的極值等的應(yīng)用，我們就不在這里一一舉例。