以洛必達法則為例小試高等數學課堂教學法的創新

劉剛 王利巖

[基金項目]沈陽航空航天大學2021年校教改研究項目（JG2020125）;沈陽航空航天大學2021年理學院教改研究項目（JG202004A）

摘 要 “洛必達法則”是高等數學非常重要的內容之一，經過課堂的基本講解，留給學生的是抽象神秘的不定式形象和無比易行而又刻板教條的洛必達法則。隨之注入以工程實際的豐富內涵，抽絲剝繭般地給出不定式與平衡點的對應關系，揭掉了罩在不定式頭上的神秘面紗，使不定式變得豐滿鮮活起來，從而有效地點燃學生對數學學習的興趣之火，也能夠激發學生將數學聯系實際的強烈欲望，對于練好學生的數學基本功，提高分析問題和解決問題的能力和創新能力都有著極大的意義。

關鍵詞 不定式;洛必達法則;平衡點;斜率不定。

中圖分類號 O13 文獻標志碼：A

一、引言

高等數學是高校工科學生一門重要的公共基礎課，是學習后續課程必須具備的數學基礎知識，更是走上社會以后配陪伴工程技術人員走過一生的“終生伴侶”。善于用數學符號描述復雜的工程技術問題，這實在是工程技術人員必須具備的厚重內秀和不可替代的強大能力[1]。所以要求高等數學的課堂教學不僅要交待清楚基本的定理定義，而且要引領學生走出抽象的定理定義的大門，學會把定理定義工程化和實際問題數學化，深入淺出，如此一定能強化學生的分析問題、解決問題和創新能力。

咋看，高等數學從始至終都是一堆符號的集合，給人以抽象、玄虛、難以理解的印象，其實這只是它的表征，實際上數學是對具有相同共性的一類實際問題的抽象，因此善于還原抽象背后的問題原型，是引領學生走出數學抽象大門的唯一途徑。

很多從事工程實踐的人，之所以寸步難行，就是不善于透過復雜的工程現象抽象出實際問題的本質內核。究其根本原因，在他們的腦海里，從來都是數學是數學，實踐是實踐，不善于把兩者結合起來。

造成上述狀態的原因是多方面的，但作為高等數學課堂教學，首先應該思考課堂教學法的改革。對于大綱要求的基本內容要深入淺出，言簡意賅。定理定義的簡要證明是需要的是一種能讓學生的嚴密邏輯思維能力和數學抽象能力得以迅速增長的短平快的教學模式[2]。

繁瑣的定理證明，非但不能激活學生的學習興趣，反倒成了學生學習活力的凝固劑，整個的證明過程，伴隨的多是課堂上的學生一片睡。

本文將以洛必達法則為例，探討高等數學課堂因材施教的教學方法及其創新。

二、洛必達法則的基本講解

所謂基本講解，就是滿足教學大綱要求，面向全體學生的講解。

三、基本講解后留下的困惑

教材中采用柯西中值定理對洛必達法則給出了證明，但仍然顯得非常數學，式（4）那樣的書寫過程意義是什么？[4] 不定式的不定又具有哪些內涵？ 總之，多年的教學經驗，根據學生課后答疑提出的問題，感覺到學生聽過上述的基本講解之后，似如囫圇吞棗，又似霧里看花。

四、抽絲剝繭——釋惑

釋惑，就是要抽絲剝繭，剝去迷霧，把不定式的內核展現給學生。

1、不定式與系統平衡點

式（1）中的僅僅是個變量的符號，可代之以。另外，應該是兩個相關的變量，否則沒有實際意義，不妨設不定式

顯然，與互為微積分的關系。如果代表系統的廣義位移（包括機械位移、受控系統的溫度、壓力、流量等等），則表明的是系統的運動速度（包括機械運動速度、受控系統的溫度變化率、壓力變化率、流量變化率等等）[5]。不定式（5）還表明，系統的速度和加速度皆為零。從運動學角度，此時的系統應該處于靜止狀態，稱系統速度和加速度都等于零的點為平衡點。

到此，不定式（5）被賦予了實際內涵，因而不再干癟無華。

應該指出，工程實際當中的問題嚴格地講都是非線性的，不存在理想的線性關系，僅當忽略了一些非線性因素，不至于引起原則性錯誤的時候，才可以按照線性問題來處理。所以對式（7）中的不加線性約束。

2、平面上的運動規則

圖1 的上半平面滿足，速度為正，亦即速度在軸上投影指向軸的正向，即向右運動，如圖1之A。下半平面，速度為負，亦即速度在軸上投影指向軸的負向，即向左運動，如圖1之B。于是穿越軸的運動必定是垂直穿越，如圖1之C、D。

3、平衡點蘊含的特性

如前所述，系統受到擾動而發生運動而偏離了平衡點，問題是當擾動撤出以后，系統還能回到平衡點嗎？回答是可能回到平衡點，也可能會不到平衡點，這個問題留待后續的相關課程解決。

究竟怎樣回到平衡點和怎樣離開平衡點的問題可以獲得解決。

由式（9）可知，是函數在平面上的曲線斜率，而

就是說曲線通過平衡點時的斜率不定[6]，

不定就是不確定，或者說有多個可能的斜率， 換言之，通過平衡點處的曲線有無窮多條，好似地球無窮多條磁力線聚于地球南北磁極一樣。原來看似干癟無華的不定式原來卻有這么豐富的內涵，如圖2所示。

五、結束語

經過上述對洛必達法則兩個步驟的講解和抽絲剝繭般的釋惑，不定式不再干癟無華，而是有著豐富的內涵。如此可以盡可能的展現給學生更寬的學術視野，培養學生邏輯思維的能力，有效地點燃學生對數學學習的興趣之火，也能夠激發學生將數學聯系實際的強烈欲望。若能將深刻的數學思想深入淺出地傳授給學生，同時加上學生技能的訓練學習，學生的數學素質會得到顯著得高，那么我們的教學就會收到事半功倍的成效。

參考文獻

[1] 畢予華。從洛必達法則求極限教學探討參與式教學法[J]。數學學習與研究2016，5：48

[2]袁建軍， 歐增奇。 高等數學中用洛必達法則求極限需注意的問題[J]。 西南師范大學學報（自然科學版），2012，6：40-42

[3]同濟大學數學系編，高等數學[M]（第7版）。北京：高等教育出版社，2014，132-136

[4] 張國銘。 改進的L'Hospital 法則的證明及其應用[J]。 高等數學研究， 2010，5：63-65

[5] 平艷茹，張漢林。 工科高等數學中洛必達法則的教學思考[J]。 高等數學研究， 2007，5：55-57

[6] 姬小龍，常方平。二階線性微分方程通解在Riccati方程解下的積分表示[J]。益陽師專學報，2002，3：30-33