最優(yōu)爐溫曲線與確定其工藝參數(shù)問題

李楠，王曉杰，杜詠昊

（東北林業(yè)大學(xué)，黑龍江哈爾濱市，150000）

1 模型假設(shè)與約定

理想情況下回焊爐不同溫區(qū)溫腔內(nèi)溫度能快速準(zhǔn)確達(dá)到指定值，但由于爐前區(qū)域、爐后區(qū)域和小溫區(qū)之間的間隙不做特殊溫度控制，其溫度以及各溫區(qū)邊界附近的溫度也可能收到相鄰溫區(qū)的影響。本問題求解在已設(shè)定溫區(qū)溫度下，還需滿足制成界限。考慮主要因素，忽略必要影響，建立時間和溫度分段進(jìn)行回歸分析和微分方程。

1.1 假設(shè)內(nèi)容

（1）各小溫區(qū)在題目已定溫度下，溫腔內(nèi)溫度視為準(zhǔn)確、均勻、穩(wěn)定狀態(tài)。

（2）忽略一個大溫區(qū)的各個小溫區(qū)之間間隙的溫度變化。

（3）電路板尺寸很小，其內(nèi)部溫差可忽略，看作溫度分布均勻。

（4）電路板的厚度可忽略不計，對電路板采用薄材分析法或集總參數(shù)分析法。

（5）在溫度變化的情況下，牛頓冷卻模型中的比例系數(shù)k值[12]相同

1.2 假設(shè)可行性

（1）回焊爐各溫區(qū)均采用強制獨立循環(huán)，獨立控制，上下同時加熱的方式，使得各個溫腔內(nèi)的溫度均勻、準(zhǔn)確，回焊爐啟動后，爐內(nèi)空氣溫度會在短時間內(nèi)達(dá)到均勻、準(zhǔn)確、穩(wěn)定狀態(tài)。

（2）由于一個大溫區(qū)的各個小溫區(qū)之間間隙長度相對于小溫區(qū)的長度可忽略，且兩個相鄰小溫區(qū)溫度相同，間隙溫度同時受到兩側(cè)小溫區(qū)的同時傳熱，間隙溫度梯度可近似認(rèn)為大溫區(qū)設(shè)定溫度。

（3）電路板進(jìn)入回焊爐前具有和室溫相同的均勻初始溫度。

（4）溫度變化差異不是很大的時候，牛頓冷卻模型中的比列系數(shù)k可以近似認(rèn)為不變。

2 模型建立

在研究熱量傳輸時，把研究的對象電路板的溫度場看成連續(xù)的，因此溫度的全微分可表示為：

即：

該非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題為最簡單的一維問題，導(dǎo)熱方程為偏微分方程，由于電路板焊接區(qū)域中心溫度梯度較小，故其非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程可用集總參數(shù)分析法求解[1]。

為了使每一個節(jié)點的熱平衡方程具有唯一解，需要附加一定的邊界條件和初始條件，統(tǒng)稱為定解條件。溫度場分析通常有三類邊界條件[13]，而本文研究問題是基于回焊爐傳熱方式為對流傳熱分析，故主要應(yīng)為第三類邊界條件。

（1）第一類邊界條件是指物體邊界上的溫度函數(shù)已知，即：

（2）第二類邊界條件是指物體邊界上的熱流密度q已知，即：

（3）第三類邊界條件是指與物體相接觸流體介質(zhì)的溫度Tf和換流系數(shù)h已知，即：

回流焊實際焊接中存在的是第一和第三類邊界條件，在本模型中將問題簡化——將第一類邊界條件轉(zhuǎn)換為第三類邊界條件，這樣，在仿真過程只考慮轉(zhuǎn)換后的第三類邊界條件進(jìn)行施加載荷[14]。

2.1 牛頓冷卻定理

物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定理來描述：物體溫度對時間的變化率與物體溫度和它周圍介質(zhì)溫度之差成正比。

記物體在時刻t的溫度為x=x(t)，它周圍介質(zhì)的溫度為A,設(shè)A保持不變，則根據(jù)牛頓冷卻定律建立微分方程模型

其中比例系數(shù)k＞0

微分方程滿足初始x(t0) =x0的特解為：

當(dāng)x0=A時有x(t)=A,即微分方程的常數(shù)解，

當(dāng)x0＞A0時，且A時有x(t)＞A，

當(dāng)x0＜A時，且A時有x(t)＜A且limx(t)=A

解得x=A,這是微分方程唯一的臨界點（即平衡點）。以上分析說明臨界點x=A是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

PCB板不管處于何種焊接狀態(tài)，皆滿足牛頓冷卻定律，在同一個溫區(qū)k值恒定不變，由已知數(shù)據(jù)可知傳送帶的過爐速度為70cm/min；溫度傳感器在焊接區(qū)域中心的溫度達(dá)到300C時開始工作，電路板進(jìn)入回焊爐開始計時。

2.2 牛頓冷卻定理

物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定理來描述：物體溫度對時間的變化率與物體溫度和它周圍介質(zhì)溫度之差成正比，基于第一問函數(shù)結(jié)果及其計算方式和牛頓冷卻定率可得：

圖1 爐溫曲線

由表1的 制程界限中的第四條限制關(guān)系：溫度大于217oC的時間最長為90s，最低為40s。

由5個溫區(qū)的函數(shù)關(guān)系式可以初步判斷，只有在第三個溫區(qū)和第四個溫區(qū)溫度才可能達(dá)到217oC，中間有一個峰值,解方程組：