基于二分迭代法的三心圓復曲線優化算法及程序設計

熊江陵 曾凡云 唐俊成 韓 揚

(中國電建集團中南勘測設計研究院有限公司 長沙 410014)

在傳統的公路及城市道路設計中，通常將平面交叉口右轉彎車道邊線簡化為單圓曲線形式，一方面是為了便于施工，另一方面原因是雙心圓及三心圓等復曲線無法通過固定的公式進行直接計算。但是在高等級公路及渠化城市道路設計中，將交叉口右轉彎車道邊線設計為雙心圓或三心圓復曲線具有一定的必要性，因為它能有效提高右轉彎通行能力和行車舒適性。蔡偉等[1]研究了不同類型彎道路緣石對車輛在交叉口轉彎處行駛速度和軌跡的影響，結果表明在交叉口彎道處采用三心圓曲線進行布設，不但節約用地資源，也有利于提高車輛在交叉口轉彎處行車的舒適性。JTG D20-2017《公路路線設計規范》[2]在10.4.3條規定：渠化平面交叉的右轉彎車道，在內側路面邊緣應采用三心圓復曲線。文獻[3]指出以鉸接列車控制設計時，相交路面的邊緣應采用復曲線。在三心圓復曲線的計算方法方面，相關研究較少，朱家兵等[4]根據相交道路線形，分左直右直、左直右曲、左曲右直、左曲右曲等情況，提出一種以切線長度為逼近目標的三心圓復曲線計算方法，但該方法在曲線相交的交叉口中計算誤差較大(1 m)，并且文獻中沒有對進、出口道均為曲線的形式進行詳細論證。

為研究三心圓復曲線的通用計算方法，基于三心圓復曲線終點坐標計算公式，提出以終點距離為逼近目標的二分迭代法，并對該方法收斂性和迭代初始值區間選取進行論證。通過在實際項目中的應用結果表明：該算法能正確求解任意線形相交的交叉口右轉彎車道三心圓復曲線，具有更好的通用性、穩定性和求解精度，同時也具有較高計算效率。

1 三心圓復曲線切線長公式及應用

根據文獻[5]中介紹的方法，進、出口道為直線時，左、右側切線長Tq、Th分別為

Tq=(R1-R2)sinα+[R3-(R3-R2) cosγ]/

sinδ-[R1-(R1-R2)cosα]/tanδ

(1)

Th=(R3-R2)sinγ+[R1-(R1-R2) cosα]/

sinδ-[R3-(R3-R2)cosγ]/tanδ

(2)

式中：R1、R2、R3分別為3段圓弧的半徑，R2小于R1、R3；α、β、γ分別為3段圓弧對應的轉角；δ為三段圓弧旋轉角度之和，各參數示意圖見圖1。

圖1 三心圓復曲線切線長公式參數示意圖

假定3段圓弧長度分別為L1、L2、L3，則有公式

α=(L1/R1)·(180°/π)

(3)

β=(L2/R2)·(180°/π)

(4)

γ=(L3/R3)·(180°/π)

(5)

δ=α+β+γ

(6)

通過確定R1、R2、R3，并且確定3段圓弧中任意2段的長度，或選擇3段圓弧相等，利用式(1)～(6)可求出Tq和Th，進而可以計算出A、D的位置和確定3段圓弧的準確位置。

當進、出口道為曲線時，文獻[4]以切線長T值為目標進行迭代逼近，目標控制條件為Th-Th′<10-10，其中Th為根據公式(2)計算得到的切線長，Th′為迭代點處實際的切線長。經測試，該方法結果存在較大誤差，原因是路線的圓弧半徑較大，δ的微小變化對Th結果影響較小，但對Th′影響較明顯。

2 基于終點距離逼近的二分迭代法

為解決上述三心圓復曲線計算的誤差問題，并考慮相交道路線形的任意性，提出以終點距離為逼近目標的二分迭代法。

由于相交道路幾何條件的不確定性，對于曲線相交的交叉口，三心圓復曲線僅在某一范圍存在可能解，可以視為局部收斂的非線性問題[6]。局部收斂非線性問題求解，需要解決如下3個問題。

1) 選擇合適的迭代公式。

2) 選擇合適的迭代初始值。

3) 保證迭代的收斂性。

2.1 選擇迭代公式：基于終點距離逼近的迭代方程

當相交道路線形為曲線時(見圖2)，三心圓復曲線終點切向量及坐標計算公式如下。

圖2 三心圓復曲線終點切向量及坐標計算參數示意圖

Ve=R(Vs,δ)

(7)

Pe=Ps+R1·(υ1+υ1′)+

R2·(υ2+υ2′)+R3·(υ3+υ3′)

(8)

式中：Ve為復曲線終點向量；Vs為起點向量；R(Vs,δ)為將向量Vs順時針旋轉δ角度；Pe為復曲線終點坐標；Ps為復曲線起點坐標；υ1、υ2、υ3分別為3段圓弧起點處指向圓心的單元向量，υ1′、υ2′、υ3′分別為3段圓弧終點處背向圓心的單位向量。

三心圓復曲線在終點需與邊線相切，即應滿足如下2個條件。

1) 復曲線終點切向量與終點在邊線上投影處的切向量相等。

2) 復曲線終點與終點在邊線上投影點距離為0。

用公式表示為

D(Ve,Ve′)≤ε

(9)

D(Pe,Pe′)≤ε

(10)

以式(10)為逼近目標建立二分法迭代方程，其中式(10)應以滿足式(9)為前提，他們的因變量分別為起點切向量Vs和Ps起點坐標。

2.2 選擇迭代初始值區間

對于迭代方程為y=f(x)的二分迭代法，需要確定迭代求解的初始值區間[X1,X2]，保證[X1,X2]對應的目標值y1，y2滿足y1×y2≤0。對于式(9)，假設復曲線終點向量目標解為Ve*，則初始值區間[Vs1,Vs2]應滿足復曲線終點向量Ve1、Ve2分別在Ve*的兩側。對于式(10)，初始值區間[Ps1,Ps2]應滿足復曲線終點坐標Pe1、Pe2分別在出口車道邊線的兩側。

由于路線幾何的不確定性，可能收斂區間[Ps1,Ps2]僅存在于路線中很短的一段距離，為了快速、準確地找出初始值區間[Ps1,Ps2]，參考文獻[4]，可以先利用式(1)、(2)以切線長為逼近目標迭代求解到復曲線起點Ps，然后再在Ps附近找出符合上述條件的[Ps1,Ps2]，此處不再贅述。

2.3 迭代收斂性論證

迭代方程為y=f(x)在區間[X1,X2]能否收斂，除需要滿足對應的目標值y1×y2≤0外，還應滿足y=f(x)在區間[X1,X2]連續。

根據式(3)～(8)，可以得到

Pe=Ps+f(Vs,δ)

(11)

當三心圓復曲線起點Ps確定時，Vs能唯一確定，而δ的大小也與起點位置有關，也就是說Pe可以表示為

Pe=F(Ps)

(12)

為保證行車的順暢性，路線在幾何上也必然是連續且光滑的，也就是說Ps是連續變化的，所以基于終點距離逼近的迭代方程D(Pe,Pe′)≤i也具備連續性。

分別對相交道路為直-圓、圓-直、圓-圓等情況進行測試，終點距離D(Pe,Pe′)值迭代收斂過程圖見圖3。

圖3 二分法迭代計算收斂過程圖

3 以終點距離逼近為目標的二分法迭代計算流程圖

根據上述分析，以終點距離逼近為目標的二分迭代法需要如下過程。

1) 根據切線長預估復曲線起點位置。

2) 在預估的起點附近確定迭代區間初始值。

3) 以終點距離逼近為目標進行二分迭代計算。

算法流程圖設計見圖4。

圖4 三心圓復曲線終點逼近二分迭代法計算流程圖

其中三心圓復曲線終點切向量迭代逼近的算法包含在“根據Ps計算三心圓終點Pe”這一步驟中，迭代步驟與計算Pe相同，不再贅述。

4 項目應用

金山大道位于廣西省河池市，設計長度2 350 m，雙向八車道，設計速度60 km/h，為城市主干路。其中金山大道與開元大道相交的交叉口位于K1+062.705處，相交處道路主線段為半徑625m的圓弧，支線段為直線，最小交角約為78°，該右轉區間行車道邊線選擇三心圓復曲線，R1、R2、R3分別為25,15,25 m，3段圓弧長度相等。

基于上述三心圓復曲線算法，利用三維道路軟件OpenRoads Designer進行二次開發，完成“交叉口右轉邊線”設計功能。經測試，該功能可以正確生成該交叉口右轉彎車道三心圓復曲線，邊線圖見圖5，三維實體模型圖見圖6。

圖5 交叉口右轉彎車道邊線圖

圖6 交叉口三維實體模型圖

5 結語

1) 利用以終點距離逼近為目標的二分迭代法，計算三心圓復曲線，計算結果精度高，能夠將復曲線起、終點誤差控制在10-8m以內。

2) 該算法具有通用性，能夠應用于進、出口車道為直-直、直-曲、曲-直、曲-曲等不同情形。

3) 該算法在進、出口車道足夠長的前提下，能保證收斂性，并且迭代計算效率較高。

3) 僅通過修改迭代目標公式，該算法框架可擴展應用于雙心圓復曲線的計算。

4) 該算法在逼近方法、初始值選取、收斂性論證等方面，對道路路線中復雜復曲線計算有一定參考價值。