基于小位移旋量的旋翼系統公差建模及分析

劉壯壯，韓東

（南京航空航天大學 直升機旋翼動力學國家級重點實驗室，南京210016）

0 引 言

機械加工精度在很大程度上影響著工藝裝配體的整體性能，在工程實踐中須慎重考慮。如果考慮不周，可能會導致結構的磨損疲勞、振動破壞等問題。直升機的振動問題與加工制造技術有著緊密聯系。若制造裝配工藝不達標，就會造成各片槳葉對旋翼中心的質心和質量靜矩不平衡、相鄰槳葉夾角不相同等旋翼質量不平衡問題，以及各片槳葉的扭轉剛度不相同，進而帶來旋翼氣動不平衡等問題。為了降低直升機的振動水平，對旋翼系統的三維公差進行建模分析也非常有必要。

目前，在零件三維公差建模分析方面，國內外采用的主要方法包括T-Map法［1-2］、雅可比旋量法［3-5］以及小位移旋量（SDT）法［6-8］等。這些方法均是把零件看作剛體，利用幾何誤差累計進行模型精度求解。T-Map法的計算精度較高，以基于公差域的邊界及變動要素進行公差建模，以所有符合公差要求的點的集合來對各類誤差特征進行計算，然而使用T-Map法難以描述零件間誤差的作用關系及其分布情況［6］。雅可比旋量法將雅可比方法和旋量方法相結合對公差進行數學建模，可同時處理尺寸公差、幾何公差。雅可比方法是以點集的形式表示微小位移，以機器人剛體運動學變換理論來表征開環鏈路上的微小位移；旋量法是采用小角度假設，以受約束的旋轉矢量來表征微小變動量；雅可比旋量法算法簡潔，但變換矩陣規模不一，可移植性不強。

小位移旋量（SDT）法是把表征實際特征與理想特征之間的誤差用小位移旋轉矢量的方法表示出來，然后基于誤差傳遞的誤差累計進行計算。任何零件的幾何特征可用點和法線矢量表示。采用小位移旋量法，即將一個理想表面的幾何特征位置相對于另一理想表面的幾何特征位置的剛體運動用六個運動分量精確表示，即三個平動矢量和三個轉動矢量。吳兆強［9］研究了小位移旋量的公差建模方法，結合齊次坐標變換理論完成了對裝配路徑上的公差建模分析，并通過實例驗證了該 方 法 的 可 行 性；J.N.Asante［10］將 累 計 的 誤 差 用小位移旋量參數進行表示，并通過公差模型的求解計算獲得零件的加工特征邊界；呂程等［8］利用小位移旋量理論，結合蒙特卡羅與響應面相結合的圓柱度公差建模分析方法，驗證了該方法在提高機床精度設計時的實用性；S.Jin等［11］將小位移旋量法應用于圓錐模型的公差求解，提出一種圓錐表面及其公差模型的表示方法，并通過實例獲得統計分析結果；孫巖輝等［6］利用零部件間的約束定位關系，采用小位移旋量及齊次坐標變換相結合的方法，統計分析了主軸幾何回轉精度的問題；黃康等［12］將小位移旋量和響應面法相結合，建立了齒輪的公差模型求解方法，并通過實例分析證明了該方法具有較高的精度。雖然國內外在小位移旋量法的理論及實例分析方面均做了大量研究，但是將其應用于直升機方面卻鮮有報道。

隨著直升機技術的不斷發展，對現代直升機的性能在各方面都有了更高的要求。為了能有效降低直升機的振動，有必要從降低制造誤差方面進行建模分析。本文通過旋翼傳動系統模型，依據小位移旋量（SDT）的公差建模，結合齊次坐標逐次變換公差累計分析［13］，對旋翼上各個槳葉在旋轉時的幾何回轉精度進行計算。

1 旋翼公差模型的建立及分析

1.1 旋翼系統模型的建立

本文研究旋翼系統幾何回轉精度計算，即單個槳葉的根部安裝位置在整個旋翼系統空間的變動情況。本文所建立的旋翼系統模型包括傳動—變速齒輪組、行星減速器齒輪系統，旋翼軸，槳轂架，變距、揮舞、擺振鉸，如圖1所示。其中，行星減速器齒輪系統根據文獻［14-15］所建，其余均根據旋翼特性而建。對于旋翼系統，從傳動變速齒輪組到行星減速器，再到旋翼軸、槳葉根部就是一個完整的鏈路。計算該路徑上的模型公差得到的回轉誤差即是旋翼系統的旋轉精度。

圖1 旋翼傳動系統模型Fig.1 Rotor drive system model

所建模型采用小位移旋量法進行公差建模。對于零件本身，在加工制造中必然存在加工精度問題。即零件本身存在的形狀尺寸誤差和配合表面形位誤差，導致相鄰元件間的實際配合表面與名義配合表面存在偏差。實際配合表面相對于名義配合表面的空間位置變動量即為系統的精度誤差值。對于旋翼系統，采用隨機模擬的方法，用齊次坐標轉換矩陣表征實際配合表面相對于名義配合表面的誤差值，并沿著裝配鏈路將所有相鄰元件的配合表面誤差進行累計，獲得裝配鏈路上的誤差變動范圍。

1.2 小位移旋量的公差建模

小位移旋量（SDT）法將剛體的運動用六個運動分量表示，可以用來表征理想形狀物體各個方向上的運動，即可以實現剛體間配合表面的偏離運動。

對于實際的機械加工產品，其加工表面是一個與理想表面存在偏差的特征表面。任何零件的幾何特征可用點和法線矢量表示。而幾何特征的變動量又可以用三個平動矢量和三個轉動矢量精確表示。采用小位移旋轉矢量法，即表示一個理想表面S2的幾何特征相對于另一理想表面S1的幾何特征位置的坐標變換，如圖2所示。

圖2 理想表面S2相對于S1的幾何特征位置坐標變換示意圖Fig.2 Schematic diagram of the coordinate transformation of the geometric feature position of the ideal surface S2 relative to S1

S1X1Y1Z1、S2X2Y2Z2分別表示理想表面S1、S2的幾何特征坐標系。小位移旋量D由旋轉矢量ρ和平移矢量ε這兩組矢量組成［9］，即

式中：α、β、γ為單位旋轉矢量在局部坐標系x、y、z軸上的投影；u、v、w為單位平移矢量在局部坐標系軸上的投影。

通過機器人運動學坐標變換理論，將公差模型表示成4×4的齊次坐標變換矩陣（Homogeneors Transformation Matrix，簡稱HTM）形式T［9，13］：

P點坐標位置由坐標系S2X2Y2Z2轉換到S1X1Y1Z1下的轉換關系為

在誤差計算模型中主要存在兩種公差，一是尺寸公差，二是形位公差。對尺寸公差的影響可以假定所有零件為剛體。對于零件本身，尺寸公差只影響其端面的法向位移或柱面的同軸膨脹，不存在小角度假設問題。因此同樣可以采用小位移法將尺寸公差轉換成齊次變換矩陣進行累計計算。對形位公差，常見的公差類型有形狀公差（如直線度、平面度、圓度等），定向公差（如垂直度、傾斜度、平行度等），定位公差（如同軸度、對稱度、位置度等）三類。形位公差變動類型及所建模型的樣例如表1所示。

表1 形位公差建模［9］Table 1 Geometric tolerance modeling［9］

1.3 齊次坐標逐次變換分析

齊次坐標是用n+1維坐標來描述n維坐標的向量，在數學表達中用齊次坐標變換矩陣可以很方便地將一個齊次坐標從一個空間坐標系映射到另一個空間坐標系。在零件間配合面處分別建立名義配合表面幾何特征坐標系和實際配合表面幾何特征坐標系，如圖3所示，運用齊次坐標變換矩陣可以將測量點P從名義坐標系下的位置坐標轉換成實際坐標系下的位置坐標，實現測量點P從一個空間坐標系到另一個空間坐標系的映射。其中O i為名義特征表面坐標系，O ii為實際特征表面坐標系。

圖3 裝配體公差傳遞路徑Fig.3 Assembly tolerance transmission path

裝配體中任一配合表面從名義特征坐標系轉換到實際特征坐標系都會影響后續零件在全局坐標系內的空間姿態。對于測量點P來說，其在全局坐標系下的空間位姿會受到裝配路徑上各個環節配合表面變動的多重影響。其數學描述為用傳遞路徑上所有相鄰坐標系間變換矩陣串聯形式的叉乘。則測量點P的空間變動為實際配合下的全局坐標與名義配合下的全局坐標的差值。

式中：T11、T22和T33為零件P1、P2和P3之間實際配合表面相對于名義配合表面的坐標變換矩陣；T12和T23為零件P1到P2和P2到P3之間名義坐標相對變化矩陣。

2 基于小位移旋量的公差建模方法驗證

為了驗證小位移旋量的公差建模方法，對液力變矩器泵輪轂（如圖4所示）進行公差建模。由于液力變矩器的葉窩外形難以用數學描述，僅將液力變矩器的泵輪轂作為研究對象。張海寧等［16］中給出了泵輪轂軸的徑向圓跳動公差值、外徑公差帶、軸向尺寸公差值實驗測量數據，如表2所示。

表2 實驗測量數據Table 2 Experimental measurement data

圖4 液力變矩器泵輪轂簡圖［16］Fig.4 Schematic diagram of the hydraulic torque converter pump hub［16］

采用小位移旋量的公差建模方法，計算液力變矩器泵輪轂軸的各個對應公差值。首先在泵輪轂一端建立全局坐標系（如圖4所示）。由于基本尺寸不影響公差建模，設定泵輪轂外徑尺寸為a，軸向尺寸為b。根據文獻［16］測量范圍標定理論公差值如圖4所示。在泵輪轂軸側表面及端面取任一點M、N作為待測點。結合小位移旋量公差理論，計算得到的力變矩器泵輪轂軸的徑向圓跳動公差值、外徑公差值、軸向尺寸公差值如圖5～圖7所示，并對每種公差類型進行4組模擬仿真。

圖5 徑向跳動公差值仿真與實驗結果Fig.5 Simulation and experimental results of radial runout tolerance

圖6 泵輪轂外徑公差值仿真與實驗結果Fig.6 Simulation and experimental results of the tolerance value of the outer diameter of the pump hub

圖7 軸向尺寸公差值仿真與實驗結果Fig.7 Axial dimensional tolerance value simulation and experimental results

從圖5～圖7可以看出：仿真結果公差數據圍繞實驗測量數據波動，且所有數據均滿足在要求的測量范圍內。

3 旋翼公差模型的實例分析與仿真

3.1 旋翼公差模型的實例分析與計算

將行星減速器齒輪系統、旋翼、槳轂架以及變距、揮舞、擺振鉸作為一個完整鏈路計算旋翼的旋轉精度。首先對裝配路徑上的零件及零件與零件的配合表面處分別建立如圖8所示的坐標系，定義O0x0y0z0為全局坐標系，建立在變速傳動齒輪下底面旋轉中心位置處；局部坐標系O1x1y1z1建立在太陽輪上表面的旋轉中心處；局部坐標系O2x2y2z2建立在與行星架連接位置處的旋翼軸端面形心處；局部坐標系O3x3y3z3建立在槳轂架底座上表面的形心位置處；局部坐標系O4x4y4z4建立在揮舞鉸連接件孔的形心位置處。

圖8 旋翼傳動系統模型Fig.8 Rotor drive system model

待測點P在局部坐標系O4x4y4z4下的齊次坐標表示為P局部=[0 63 0 1]T。

求解名義裝配下P點的全局坐標位置點。由全局坐標系O0x0y0z0到局部坐標系O1x1y1z1只需要z方向的平移得到。則相應的小位移旋量及齊次變換矩陣表示為

同理，可得相鄰局部坐標系O1x1y1z1、O2x2y2z2、O3x3y3z3及O4x4y4z4之間的齊次坐標變換矩陣T12、T23、T34。則名義裝配下P點的全局坐標為

對實際裝配下的模型進行誤差建模并求解實際裝配下P點的全局坐標。首先對本文的模型進行誤差分析。

對小位移旋量D中的參數進行統一編號表示：(αi，βi，γi，ui，v i，w i)，下標i代表第i種公差類型產生的誤差值。則本文所建模型在誤差傳遞路徑上具體存在的關鍵公差類型及相應的齊次坐標變換矩陣如表3所示。

表3 對零部件裝配路徑上的關鍵公差進行建模Table 3 Modeling the key tolerances on the component assembly path

續表

實際裝配下P點的全局坐標為

根據裝配路徑，求解P點相對于全局坐標系的變動范圍：

3.2 采用蒙特卡洛仿真對公差模型進行分析

采用蒙特卡洛法對旋翼系統旋轉精度進行仿真分析，具體流程如圖9所示。

圖9 旋翼傳動系統裝配精度分析流程Fig.9 Assembly accuracy analysis process of the rotor drive system

通過隨機誤差取值，模擬配合表面的空間變動情況。名義配合表面相對于實際配合表面的隨機誤差取值以滿足各個形位誤差和尺寸誤差的約束方程有效。

對于尺寸公差，其公差域圍繞x、y、z軸三個方向的平動，約束方程為

式中：ui、v i、w i為三個方向的實際尺寸公差；H為理論尺寸公差。

對于形位公差，根據不同的形位公差變動類型有不同的約束條件。在平面配合中，其平面度公差域圍繞x、y軸的轉動和z方向的平動，約束方程為

式中：αi、βi、w i為實際形位公差；A、B為裝配平面x、y方向特征長度；H為理論形位公差。

對旋翼系統傳動公差模型進行12 000次隨機模擬，得到P點相對于名義全局坐標的空間變動范圍，如圖10所示，可以看出：在x方向P點的變動范圍為-0.430 992到0.423 266，在y方向的變動范圍為-0.440 133到0.414 551，在z方向的變動范圍為-0.659 146到0.663 532，分別如圖10～圖13所示。

圖10 測量點P在全局坐標系下的空間變動范圍Fig.10 Spatial variation range of measuring point P in the global coordinate system

圖12 測量點P在全局坐標系下的y向變動范圍Fig.12 Range of y-direction variation of measuring point P in the global coordinate system

圖13 測量點P在全局坐標系下的z向變動范圍Fig.13 Range of z-direction variation of measuring point P in the global coordinate system

從圖10可以看出：P點在全局坐標系下的空間變動范圍近似呈現為一種橢球形。

從圖11～圖13可以看出：測量點P在x、y方向的誤差限接近，其波動差值為0.854 684，所占誤差百分比約為0.58%，而在z方向的誤差限較大些，波動差值為1.322 678，所占誤差百分比約為0.89%。

圖11 測量點P在全局坐標系下的x向變動范圍Fig.11 Range of x-direction variation of measuring point P in the global coordinate system

旋翼系統上的槳葉在旋轉一周過程中的波動情況如圖14所示，可以看出：旋翼槳根部位呈現高度復雜的波浪運動。

圖14 旋翼上的槳葉在旋轉一周過程中的波動情況Fig.14 Fluctuation of the blades on the rotor during one revolution

4 結 論

（1）本文依據小位移旋量的公差模型及齊次坐標變換的方法可以近似精確模擬旋翼槳葉在槳盤平面內及垂直槳盤平面的波動情況。

（2）通過對旋翼系統的公差模型分析可知，旋翼槳葉根部存在復雜的三維波動情況。其空間變動范圍近似呈現為一種橢球形，這與旋翼自身的結構對稱性相對應。

（3）通過誤差限的精確計算，有利于工程實踐中更精確地了解旋翼槳葉振動的干擾因素，并提高對不合格設計結果的改進效率。