基于矢量控制的永磁同步電機分數階滑模控制研究

周蔡金，孟晉哲，張偉，付文聰，申明星

（重慶理工大學，重慶 400000）

1 前言

永磁同步電機運行可靠、整體結構也比較簡單，此外還擁有比較高的功率因數等優勢，和直流伺服電機相比，它可以為性能要求比較高的系統保障快速動態響應、寬調速范圍和高功率因素等。和感應電機不同，PMSM內部結構簡單、控制方便、無勵磁損耗等，正因如此，在性能要求高、精度要求高的伺服驅動領域有著很廣闊的應用前景。但是，永磁同步電機的變量比其他電機多的多、耦合性很強，它還是非線性系統，要設計它的控制系統，會存在很多不確定性因素，比如參數變化、外部干擾，這些因素會或多或少的降低永磁同步電機控制系統的精確性，電機控制中最常用的PID控制器很難滿足控制精確度要求高的領域。為了達到復雜性、高精度、高穩定度的要求，同時考慮永磁同步電機參數的變化性、強耦合性、外部干擾這些因素的影響，利用滑模變結構控制擁有較強的魯棒性，并且參數的變化不會降低滑模控制的性能，從而有效設計PMSM的非線性控制系統。滑模控制由于有著優良的魯棒性與抗干擾性，因此能夠很好的解決永磁同步電機的控制問題。但傳統滑模控制有著很難消除的抖振現象，如何盡可能的削弱滑模抖振一直困擾著國內外科研人員。為了解決這一難題，學者們提出了很多先進的理論，比如準滑動模態法、干擾觀測器法、濾波法和高階滑模控制方法等，上面闡述的幾種理論一定程度上能削弱抖振，不過不足之處卻不容忽略，如準滑動模態以及干擾觀測器無法消除統靜態誤差，濾波方法很難確定系統是否穩定，高階滑模控制很難運用到實際工程中。綜上，本文利用分數階控制傳遞能量緩慢及分數階微積分算子能夠記憶并遺傳信息的特點，提出一種新型控制方法，將分數階理論和滑模變結構控制搭配使用：第一步改進一般滑模面的設計：引入分數階微積分的算子，不僅可以有效的緩解常規滑模控制的抖振，還能增進滑模面的自由度。第二步：文獻[9]提出一種新型的整數階趨近率，本文在其基礎上改進，使系統既能加快收斂速又能進一步削弱系統抖振，完成分數階速度控制器的設計。第三步：Lyapunov理論對設計的控制器做穩定性分析，仿真和實驗結果驗證了所提方法的正確性。

2 PMSM數學模型的建立

為了分析簡便，在構建PMSM的數學模型時，默認以下幾點假設：轉子永磁磁場在氣隙空間按正弦波分布；不考慮定子鐵心飽和，默認磁路是線性的，電感參數固定；忽略鐵心渦流和磁滯損耗；轉子上不存在阻尼繞組。按照上面的幾條假設，dq坐標系下的PMSM數學模型的電壓方程為

式中，ud、id對應d軸上的電壓分量和電流分量；uq、iq 對應 q 軸上的電壓分量和電流分量；Ld、Lq對應為直、交軸電感；R代表電機的定子繞組電阻；wre代表電機的電角速度；Ψ為永磁體與定子交鏈磁鏈。

PMSM的轉矩方程為

式中，Te是轉矩；p表示磁極對數。對于表面式PMSM有 Ld= Lq= L，所以轉矩方程可簡化為

PMSM的運動方程為

式中，TL表示負載的轉矩；ω表示電機的機械角速度；B代表電機摩擦系數，J代表轉動慣量。

3 滑模控制器的設計

取PMSM的狀態方程為

式中，w*為電機給定轉速；w為電機實際轉速。

結合式（2）、（3），有

用分數階微積分算子取代一般微積分，適當調整微積分算子參數就能提高控制系統的靈活性。本文設計的分數階滑模面為：

式中，c代表滑模面增益，Dλ是分數階微積分算子。其定義為

式中，0代表的是分數階計算的起步時刻，t表示最終時刻；λ分數階微積分階次；R(λ)代表λ的實部。

在實際工程應用中，滑模控制所包含的切換開關的時間存在一定的延遲和空間滯后、狀態檢測也存在誤差， 這些細節會降低電機運行的精確性。為了有效提高永磁同步電機調速系統的動態性能和靜態性能，基于文獻[9]，引入分數階微積分算子，該趨近律趨近速度快，穩態抖振小。新型趨近律的表達式如下：

式中，x1代表系統狀態變量，S表示滑模面，k1、k2，b為常數，可自由賦值，t為時間，sng(·)是符號函數，其定義如下：

式中， Dλsgn(S)是符號函數分數階微積分的形式。當系統狀態遠離滑模面時，兩項一起作用，系統狀態量x1的反雙曲正弦函數，這會讓趨近速度與系統狀態 1||x 相關，當x1較大時，arcsinh(b x1)較大，這段時間整體系統沿著指數趨近律 2-ks和變速趨近律快速趨近滑模面，趨近的速度快；當系統狀態離滑模面越來越遠時，指數趨近律的趨近速度約等于零， -k1arcsinh(b|x1|) · Dλsgn(s)起主要作用，采用對符號函數進行分數階化進行了作用，降低由于符號函數自身的不連續性產生的抖振。

再結合式（6）和式（8）可以設計出分數階滑模控制器的控制律為

4 滑模逼近條件

5 仿真結果分析

電機參數：磁極對數pn=4，定子電感Ls=8.5mH,定子電阻R=2.875Ω,磁鏈 φf= 0.175wb，轉動慣量J=0.003kg·m2，阻力系數 B = 0.008N·m·s。直流側電壓 Udc= 311V，PWM開關頻率設置為 fpwm= 10kHz，采用周期設置為 Ts= 10μs，采用變步長ode23tb算法，相對誤差設置為0.0001，仿真時間設置為0.6s。參考轉速 Nref= 1000r/min ，初始時刻負載轉矩TL= 0N·m，在 t = 0.3s時負載轉矩TL=4N·m。

圖1～4詳細繪制了永磁同步電機調速系統采用PI控制、滑模控制和分數階滑模控制的主要數據的輸出波形的對比圖。觀察圖1，可以看出采用PI 控制器的調速系統在啟動階段的轉速波形存在較大的超調量，本文設定的目標轉速為1000r/min,采用PI控制器的峰值甚至超過了1270r/min，這樣會較大的削弱了系統的穩定性能；普通滑模控制器在電機的啟動階段也有較大的超調量，其峰值在1200r/min左右，但相比PI控制器來說是降低了不少；而采用分數階滑模控制器，可以在較短時間內到達預先設置的轉速，最重要是波形沒有明顯的超調量，這讓整個系統具備更強的快速性和可靠的穩定性。在t=0.3s時候，給與電機一個4N·m的負載干擾，由圖2可知，PI控制器和常規的滑模控制器控制的調速系統轉速曲線都會產生一個波動，然后再回到預設轉速值，但是本文設計的分數階滑模控制器的的轉速曲線卻沒有觀測到明顯的曲線波動，所以抗干擾的性能比較強。再挖掘圖2和圖4，可以發現，采用PI控制器和常規滑模控制器的轉速和轉矩曲線都會產生明顯的抖振，而分數階滑模控制器的轉速和轉矩曲線很光滑，波動很小，且沒有觀察到明顯的抖振現象，其波形品質優良，此外，基于分數階控制器的啟動轉矩低于整數階控制器和PI控制器的啟動轉矩，這使得速度響應曲線能夠在更短的時間內到達預設的轉速值。綜上所述，本文設計的分數階滑模控制器能有效地削弱滑模控制器存在的抖振問題。

圖1 轉速輸出波形對比圖

圖2 0.3s負載擾動時轉速局部區域放大圖

圖3 轉矩輸出波形對比圖

圖4 0.3s負載擾動時轉矩局部區域放大圖

6 實驗驗證

為了驗證本文提出方法的效果利用實驗平臺進行了驗證，分別進行了分數階滑模和傳統滑模控制的實驗。實驗平臺包括：控制板、電機驅動板、永磁同步電機、編碼器（1000線）、24V直流電源、AD采集卡。實驗的預設轉速設置為Nref=1500r/min實驗得到的數據可以導入到matlab來進行畫圖。實驗的過程及結果如圖5、6。

圖5 實驗平臺的搭建

圖6 兩種控制方法的對比

由上述實驗結果可見，分數階滑模控控制器比普通滑模控制器能更快的達到預設的轉速值，在達到預設值的過程中波動更小。綜上所述，本文設計的分數階滑模控制器能有效地削弱滑模控制器存在的抖振問題。