原地生成宇宙成因核素暴露和埋藏年齡計(jì)算方法的統(tǒng)一*

黃費(fèi)新 程楊 李巖 李廣偉 董國成 梁霞

1. 中國冶金地質(zhì)總局礦產(chǎn)資源研究院，北京 101300 2. 南京大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210023 3. 中國科學(xué)院地球環(huán)境研究所，西安 710061 4. 西安加速質(zhì)譜中心，西安 710061 5. 中國地質(zhì)科學(xué)院地質(zhì)力學(xué)研究所，北京 100081

原地生成宇宙成因測年技術(shù)中，暴露年齡、埋藏年齡及侵蝕速率是其中三個(gè)重要研究方向(Dunai, 2010; Gosse and Phillips, 2001; Lal, 1991; Granger and Muzikar, 2001; 孔屏, 2002, 2012; Blardetal., 2019; 黃費(fèi)新等, 2019)。其中暴露年齡的研究得到了最為廣泛的應(yīng)用，國內(nèi)的相關(guān)研究也很多(黃費(fèi)新等, 2004, 2005; 李廣偉等, 2009; 董國成等, 2014; Kongetal., 2010, 2011; 張金玉等, 2018)。埋藏年齡的研究方法也逐漸在國內(nèi)得到推廣(Kongetal., 2012; Liuetal., 2013; 劉彧等, 2013; 鄭勇等, 2014; 韓非等, 2016; 陳清敏等, 2018)。侵蝕速率方面，受方法學(xué)本身的局限，大多僅限于假設(shè)侵蝕速率恒定時(shí)計(jì)算得到最大侵蝕速率(Lal, 1991; Kongetal., 2007)或侵蝕速率有限次數(shù)變化的情況(Carracedoetal., 2019; Granger and Riebe, 2014)，對侵蝕速率連續(xù)變化時(shí)的研究探索非常少(Knudsenetal., 2019)。其中，計(jì)算埋藏年齡的關(guān)鍵，應(yīng)是埋藏理論模式的建立，從而確定埋藏前核素的濃度，以及埋藏過程中核素有無新生量。目前，埋藏理論模式中快速深埋藏模式比較受到重視，這種忽略埋藏速率大小，把埋藏過程看成極短時(shí)間完成的最簡單化的埋藏模式，除了洞穴沉積物比較接近實(shí)際情況外，其它情況可能相距實(shí)際較遠(yuǎn)從而帶來很大的研究誤差(Knudsen and Egholm, 2018)。自然界較普遍的情況，應(yīng)是具有埋藏前濃度的樣品，埋藏深度在埋藏速率變化的情況下發(fā)生變化(若埋藏深度不變視為埋藏速率為0，埋藏深度減小視為埋藏速率為負(fù)值)。根據(jù)埋藏前樣品是否具有原始濃度，以及埋藏速率的不同變化情況，可以建立不同的埋藏理論模式，并推導(dǎo)出不同埋藏理論模式下核素濃度的計(jì)算等式，進(jìn)而計(jì)算埋藏年齡。暴露和埋藏在以往的研究中是當(dāng)成兩個(gè)彼此相對獨(dú)立的研究領(lǐng)域，并且彼此間往往成為研究中的干擾因素。雖然已經(jīng)有研究者開始嘗試推導(dǎo)針對侵蝕和埋藏過程利用拉格郎日方法(以樣品為研究關(guān)注點(diǎn))或歐拉方法(以地表位置為關(guān)注點(diǎn))推導(dǎo)核素濃度的數(shù)學(xué)計(jì)算方法(Knudsenetal., 2019)，但尚沒有明確提出將侵蝕速率和埋藏速率視為同一參數(shù)。實(shí)際上，如果將侵蝕和埋藏對樣品距離地表深度的改變效果關(guān)聯(lián)起來考慮，它們其實(shí)是一種反向過程：暴露或埋藏過程中，侵蝕使樣品距離地表越來越近，埋藏使樣品距離地表越來越遠(yuǎn)。

原地生成宇宙成因放射性核素的濃度和暴露年齡、侵蝕速率之間的通用計(jì)算等式為(Lal, 1991)：

(1)

(1)式為樣品有原始濃度時(shí)的核素濃度與暴露時(shí)間的計(jì)算關(guān)系式，等式右邊第一項(xiàng)為核素新生濃度，第二項(xiàng)為暴露年齡計(jì)時(shí)前已有的濃度衰變后的繼承濃度。式中N是目前樣品中的放射性核素濃度(atoms/g)，N0是暴露年齡計(jì)時(shí)前已有的濃度。P是核素的地表生成速率(atoms/(g·yr))，數(shù)值隨地磁緯度及高程的變化而變化。λ是核素的衰變常數(shù)(穩(wěn)定核素可視為λ=0的放射性核素)。ρ是巖石密度(g/cm3)。ε是地表侵蝕速率(cm/yr)。Λ是宇宙成因核素的吸收深度(g/cm2)。T是樣品的暴露年齡(yr)。

如果暴露計(jì)時(shí)前樣品無原始濃度即繼承濃度為0，得：

(2)

(3)

如果侵蝕速率很小可忽略，(2)式改寫為得到廣泛運(yùn)用的最小暴露年齡的計(jì)算等式：

(4)

等式(1)中繼承濃度這一項(xiàng)N0e-λT也能代表樣品中的原始放射性核素濃度隨暴露時(shí)間增加而衰變的過程。埋藏年齡的計(jì)算方法，與這一衰變過程的濃度變化計(jì)算原理密切相關(guān)。最簡單的情況，即在快速深埋藏模式下，設(shè)樣品在暴露期間的最后濃度是N0，其后迅速埋藏到足夠深度(通常認(rèn)為大于20m)，不再產(chǎn)生新的核素，只有衰變過程，則樣品中的核素濃度和埋藏年齡(T2)的計(jì)算關(guān)系如下(注意此時(shí)等式中代表原始濃度的N0較(1)式已經(jīng)有新的地質(zhì)含義，即代表的已經(jīng)是埋藏前已有濃度，而不是暴露計(jì)時(shí)前已有的濃度)：

N=N0e-λT2

(5)

(5)式其實(shí)就是利用了放射性核素濃度衰變計(jì)算等式，是計(jì)算快速深埋藏年齡的實(shí)質(zhì)性核心原理，求解過程則只不過是計(jì)算技巧和參數(shù)代入方面的問題：利用兩種放射性核素(比如常用的10Be和26Al)，將其埋藏前的原始濃度N0替換為(3)式即假設(shè)埋藏前為穩(wěn)態(tài)侵蝕(增加未知數(shù)埋藏前侵蝕速率ε)或(4)式即假設(shè)0侵蝕速率(增加未知數(shù)埋藏前暴露時(shí)間T1)的濃度計(jì)算關(guān)系式，就可聯(lián)立方程解出兩個(gè)未知數(shù)T2和ε(或T1)(Granger and Muzikar, 2001; 孔屏等, 2012; Granger, 2014)。有時(shí)也采取更簡單的策略，即假設(shè)埋藏前的核素濃度比值就等于核素生成速率比值，埋藏年齡就是由等于核素生成速率比值的原始濃度比值因衰變而逐漸減小，最后達(dá)到實(shí)測核素濃度比值所需要的時(shí)間。當(dāng)然只有在埋藏前暴露時(shí)間較短或者侵蝕速率很高時(shí)，樣品的埋藏前核素濃度比值才接近其生成速率比值(Lal, 1991; Matmonetal., 2014)。由于放射性核素的濃度衰變計(jì)算等式即(5)式在溫度、壓力等物理?xiàng)l件變化下是不變的，所以，求解不同埋藏理論模式下的埋藏年齡，關(guān)鍵是要確定出每種核素在該種埋藏模式下的核素原始濃度、埋藏后有無新生濃度，以及有新生濃度時(shí)的濃度生成規(guī)律，然后求解埋藏過程涉及到多少個(gè)獨(dú)立未知數(shù)，就要測試多少種放射性核素(不同穩(wěn)定核素只能建立一個(gè)同質(zhì)的濃度計(jì)算等式，僅能視為同一種放射性核素)，聯(lián)立多少個(gè)濃度方程來求解。求解方程的過程其實(shí)不應(yīng)該是重點(diǎn)，如果不能得到代數(shù)解析解，至少是可以采用賦值逼近法計(jì)算的。

計(jì)算最小暴露年齡的(4)式和描述快速埋藏過程的(5)式，其實(shí)都是可統(tǒng)一于通用等式(1)中的。其它較為復(fù)雜的埋藏過程，是否也能統(tǒng)一于等式(1)中呢？為了探討這個(gè)問題，并建立不同埋藏理論模式下的濃度計(jì)算等式，首先需要探討埋藏和侵蝕在核素濃度計(jì)算中所起作用的區(qū)別和聯(lián)系。

1 埋藏速率可視為負(fù)侵蝕速率的數(shù)學(xué)證明

宇宙成因核素的生成速率可劃分為三個(gè)主要部分，即散裂反應(yīng)、快μ介子和負(fù)μ介子對應(yīng)的生成速率部分(Dunai, 2010; Heisingeretal., 2002a, b)。散裂反應(yīng)對應(yīng)的生成速率部分，隨樣品距地表深度x(cm)的增加呈指數(shù)關(guān)系快速下降(即P樣=P地表e-ρx/Λ散)，快μ介子和負(fù)μ介子對應(yīng)的生成速率隨深度增加基本上也是呈指數(shù)關(guān)系下降的，但下降速率要慢，即散裂反應(yīng)、快μ介子和負(fù)μ介子對應(yīng)的核素吸收深度Λ數(shù)值不同。由于在地表位置，快μ介子和負(fù)μ介子對地表核素生成速率貢獻(xiàn)比例不大，在計(jì)算地表樣品的暴露年齡時(shí)往往不區(qū)分散裂反應(yīng)、快μ介子和負(fù)μ介子對應(yīng)的生成速率部分，而綜合成地表生成速率。在計(jì)算埋藏年齡時(shí)，由于快μ介子和負(fù)μ介子對應(yīng)的生成速率隨埋藏深度的增加而下降的速率相對較慢，隨深度增加在核素生成濃度的占比中越來越高。埋藏至一定深度(一般認(rèn)為20m)后，散裂反應(yīng)、快μ介子和負(fù)μ介子對應(yīng)的生成速率都將下降到0。除了快速深埋藏模式，為減小誤差，淺埋藏、慢速深埋藏模式計(jì)算核素濃度與埋藏時(shí)間關(guān)系時(shí)，應(yīng)該區(qū)分散裂反應(yīng)、快μ介子和負(fù)μ介子對應(yīng)的生成速率部分對核素總濃度的影響。

針對有侵蝕的暴露過程，先僅考慮散裂反應(yīng)對應(yīng)的生成速率部分，xcm深度處無原始濃度的樣品濃度變化的微分方程是dN/dt=-λN+P樣=-λN+Pe-ρx/Λ(此處P專指樣品對應(yīng)的地表散裂反應(yīng)核素生成速率，不是樣品所在深度xcm處的散裂反應(yīng)核素生成速率，Λ專指散裂反應(yīng)對應(yīng)的吸收深度)。設(shè)總暴露時(shí)間為T，侵蝕速率ε恒定，在0-T時(shí)間內(nèi)，隨著侵蝕的進(jìn)行樣品從深部逐漸接近地表，t時(shí)刻樣品距地表深度x=ε(T-t)，濃度變化的微分方程將是dN/dt=-λN+Pe-ρε(T-t)/Λ，解此微分方程得到等式(2)(黃費(fèi)新等, 2019)。注意所研究的樣品因侵蝕逐漸變淺，T時(shí)刻即目前已經(jīng)在地表，樣品的散裂反應(yīng)核素生成速率P樣已經(jīng)等于地表散裂反應(yīng)核素生成速率P。

埋藏過程中，設(shè)無原始濃度的樣品初始時(shí)刻在地表，在埋藏過程持續(xù)的總時(shí)間T內(nèi)以恒定埋藏速率β(burial第一個(gè)字母)逐漸埋藏于地表之下(注意埋藏過程中也有侵蝕存在，但可視為抵扣了最上層的埋藏量，抵扣了埋藏過程中的侵蝕量后的凈埋藏速率才是β，因此侵蝕量在推導(dǎo)埋藏過程中濃度的計(jì)算等式時(shí)是已經(jīng)抵扣過的)。那么埋藏過程中的t時(shí)刻樣品的深度x=βt。此時(shí)的濃度變化微分方程為：

(6)

此微分方程解法完全類似dN/dt=-λN+Pe-ρε(T-t)/Λ且更簡單(黃費(fèi)新等，2019)，解得：

(7)

(7)式中P仍為地表核素生成速率，但當(dāng)前時(shí)刻樣品已經(jīng)在地表下βTcm處(即采樣深度xcm)，故其生成速率為P樣=Pe-ρβT/Λ，代入(7)式得：

(8)

比較(2)式和(8)式，形式幾乎一樣，差別處是(2)式的P在(8)式中為P樣，λ+ρε/Λ換為λ-ρβ/Λ，相差一個(gè)正負(fù)號。(2)式中由于地表核素生成速率即樣品的生成速率，因此(2)式和(8)式可以統(tǒng)一，意味著以樣品當(dāng)前所在深度的生成速率為參照，勻速埋藏速率可視為負(fù)勻速侵蝕速率。樣品的濃度計(jì)算等式統(tǒng)一為：

(9)

那么，(9)式中參數(shù)ε既可代表侵蝕速率，又可代表埋藏速率(視為侵蝕速率取負(fù)值，即β=-ε)，侵蝕速率和埋藏速率可以統(tǒng)一由同一參數(shù)指代。P樣是樣品在目前位置處(核心要素是樣品距地表深度和所在地質(zhì)體密度)的核素生成速率。

由于核素衰變快慢與樣品所處深度無關(guān)，同理，等式(1)中將P替換為P樣，再視ε=-β，就不僅是勻速侵蝕時(shí)暴露年齡的計(jì)算等式，也是勻速埋藏時(shí)埋藏年齡的計(jì)算等式。即：

(10)

快μ介子和負(fù)μ介子對應(yīng)的生成速率部分，與散裂反應(yīng)對應(yīng)的生成速率部分隨樣品距地表深度下降呈指數(shù)函數(shù)變小的規(guī)律是相同的，同理可知埋藏速率可視為負(fù)侵蝕速率的原理對快μ介子和負(fù)μ介子對應(yīng)的生成速率部分也是成立的。

非勻速侵蝕和非勻速埋藏下，可以利用(8)式和(9)式分別對t求導(dǎo)，得到濃度瞬時(shí)變化的計(jì)算式，前者N′=P樣e-(λ-ρβ/Λ)t，后者N′=P樣e-(λ+ρε/Λ)t，埋藏速率仍然可視為負(fù)侵蝕速率，由于每一瞬間埋藏速率都相應(yīng)可視為負(fù)侵蝕速率，最終求積分結(jié)果埋藏速率可視為負(fù)侵蝕速率的規(guī)律仍然成立。由于侵蝕速率或埋藏速率連續(xù)變化的情況下，求濃度的微積分過程中涉及到形如e-t2函數(shù)的求積分，其結(jié)果不是初等函數(shù)，所以侵蝕速率或埋藏速率連續(xù)變化情況下濃度計(jì)算解析式的推導(dǎo)，是比較困難的，只能限定侵蝕或埋藏速率的變化次數(shù)有限。埋藏速率僅一次變化的情況相對簡單又較具有現(xiàn)實(shí)意義，因此后文只推導(dǎo)埋藏速率一次變化情況下的濃度計(jì)算等式。

埋藏速率可視為負(fù)侵蝕速率，在直觀上是比較容易理解的，對于距地表x0cm深度處的樣品，侵蝕Δxcm將使其深度變?yōu)閤0-Δxcm，埋藏Δxcm將使其深度變?yōu)閤0+Δxcm，從而使樣品距地表深度的變化量互為相反數(shù)。

埋藏速率可視為負(fù)侵蝕速率的原理，將給各種埋藏理論模式下的濃度計(jì)算等式的推導(dǎo)帶來極大方便，從而無需每種埋藏理論模式最終核素濃度的計(jì)算都需要求解復(fù)雜的微分方程。

2 勻速埋藏模式下埋藏年齡的計(jì)算原理

由于采樣時(shí)樣品的當(dāng)前埋藏深度是可直接測量的，所以相對于暴露過程的侵蝕量無法測量，埋藏過程相當(dāng)于多了一個(gè)已知條件，因此埋藏過程相對于暴露過程，具有獨(dú)特的計(jì)算等式。下列推導(dǎo)的計(jì)算等式中如出現(xiàn)含埋藏深度“x”的參數(shù)項(xiàng)，則是埋藏模式特有計(jì)算等式，如不出現(xiàn)“x”，則不僅適用于埋藏，也適用于將侵蝕速率視為負(fù)埋藏速率的對應(yīng)暴露過程。

快速深埋藏模式使用較多，此處不再討論，下面推導(dǎo)一些新的埋藏理論模式的濃度計(jì)算方法。

2.1 無原始濃度勻速埋藏

由于快μ介子和負(fù)μ介子對應(yīng)的生成速率較散裂反應(yīng)對應(yīng)的生成速率隨著距地表深度增加而下降的速度要慢，因此用(8)計(jì)算勻速埋藏情況的埋藏年齡將帶來較大誤差，應(yīng)對散裂反應(yīng)、快μ介子和負(fù)μ介子對應(yīng)的生成速率部分都應(yīng)用(8)式：

注意P散、P快、P負(fù)對應(yīng)的都是樣品所在深度位置而不是地表的生成速率。上式可簡化為：

(11)

可變化為包含當(dāng)前樣品深度“x”而不包含埋藏年齡“T”參數(shù)的形式：

其中下標(biāo)i=1對應(yīng)樣品的散裂反應(yīng)部分，i=2對應(yīng)樣品的快μ介子部分，i=3對應(yīng)樣品的負(fù)μ介子部分，可通過Pi=Pi地表e-ρx/Λi將樣品核素生成速率置換為地表核素生成速率。不同經(jīng)緯度和高程的Λi值可以查閱相關(guān)文獻(xiàn)得到，Pi地表可通過特定經(jīng)緯度和高程位置的生成速率計(jì)算方法計(jì)算獲得(Granger, 2014; Dunai, 2000, 2010; Stone, 2000; Liftonetal., 2008, 2014)。

(11)式中表面上看有兩個(gè)變量，即埋藏時(shí)間T和勻速埋藏速率β，但由于T=x/β，而埋藏深度x在采樣時(shí)可測量得到，因此變化形式后只有一個(gè)獨(dú)立變量即一個(gè)未知數(shù)β，測試單種核素濃度就可解出來勻速埋藏速率β，并進(jìn)而得到埋藏年齡T。

無原始濃度勻速埋藏對應(yīng)無原始濃度勻速侵蝕暴露。后者需求ε和T兩個(gè)未知數(shù)，而前者由于埋藏深度已知的條件，只需求β一個(gè)未知數(shù)，因此僅測量一種放射性核素，也可以求解出埋藏年齡。

埋藏前地表侵蝕速率極快從而樣品中的核素濃度很小，或者勻速埋藏過程持續(xù)時(shí)間長達(dá)4～5個(gè)核素半衰期因而埋藏前濃度衰變基本清零，接近無埋藏前原始濃度的假設(shè)。

2.2 有原始濃度勻速埋藏

埋藏前沒有原始濃度的可能性不是很大，考慮埋藏前存在原始濃度N0，(11)式改寫為：

(12)

變化形式得：

(12)式實(shí)質(zhì)上和(1)式或(10)式是相同的，因此可視為統(tǒng)一的等式。可仍然將其中N0替換為假設(shè)埋藏前為穩(wěn)態(tài)侵蝕(增加未知數(shù)埋藏前侵蝕速率ε)或0侵蝕速率(增加未知數(shù)埋藏前暴露時(shí)間T0)來聯(lián)立方程。在此模式下需要測試樣品的兩種放射性宇宙成因核素(如10Be和26Al)濃度，來解出埋藏速率β，以及埋藏前侵蝕速率ε(或暴露時(shí)間T0)兩個(gè)未知數(shù)，并由T=x/β求解出埋藏時(shí)間T。

快速深埋藏模式可作為此模式β非常大的特例，此時(shí)(12)式中新生濃度：

N=N0e-λT

由于計(jì)算N0需要增加一個(gè)條件(未知數(shù))，該模式需要測量兩種放射性核素濃度。

如果是有原始濃度的快速淺埋藏，那么埋藏就位后既有繼承濃度，又有新生濃度，但侵蝕或埋藏速率變?yōu)?。

有原始濃度的勻速埋藏對應(yīng)有原始濃度勻速侵蝕暴露。快速深埋藏模式對應(yīng)有原始濃度而開始侵蝕速率極大，隨后侵蝕速率為0且無新生濃度的一種相對“奇特”的暴露；有原始濃度快速淺埋藏對應(yīng)有原始濃度而初始侵蝕速率極大，后期侵蝕速率為0的暴露，后兩種暴露模式應(yīng)屬于極不常見情況。

2.3 無原始濃度埋藏速率一次變化

在此模式下可將埋藏總時(shí)間T劃分為T1、T2兩個(gè)階段，T1階段勻速埋藏速率為β1，T2階段勻速埋藏速率為β2，此模式下將樣品的核素生成速率Pi換算為地表對應(yīng)的Pi地表來計(jì)算比較方便。樣品當(dāng)前濃度為第一階段生成濃度在第二階段時(shí)間衰變后的余量與第二階段的生成濃度之和。

(13)

改變形式：

此時(shí)有埋藏速率β1、β2，埋藏階段T1、埋藏階段T2四個(gè)變量需求解，即使加上x=β1T1+β2T2的限定條件，仍然需要三個(gè)獨(dú)立方程解三個(gè)未知數(shù)。因此如只能測試兩種核素，此種模式就只適用于早期勻速埋藏后期埋藏速率停止的特殊模式(即β2=0，本質(zhì)上是自然埋藏速率等于自然侵蝕速率)，這時(shí)就僅需要同一樣品測試兩種核素(如10Be和26Al)來解出β1、T2兩個(gè)未知數(shù)(T1可由T1=x/β1解出)，此時(shí)等式改變?yōu)椋?/p>

(14)

變化形式：

無原始濃度埋藏速率一次變化對應(yīng)無原始濃度侵蝕速率一次變化暴露歷史。

2.4 有原始濃度埋藏速率變化的通用模式

該種模式應(yīng)屬于自然界埋藏的最普遍模式，對應(yīng)有原始濃度侵蝕速率連續(xù)變化的暴露過程，也是難以用微積分方法得到初等函數(shù)關(guān)系式的，但可以利用埋藏速率可視為負(fù)侵蝕速率的原理，以數(shù)列累加方法模擬埋藏過程中核素濃度的變化規(guī)律(黃費(fèi)新等, 2020)，相應(yīng)的參數(shù)ε采用負(fù)值。由于這種模式過于復(fù)雜，僅適宜以計(jì)算機(jī)編程模擬反演埋藏過程。

此種模式下可推導(dǎo)一些相對簡單的情況，即埋藏速率僅發(fā)生一次變化，則參考(13)式，得：

(15)

該式中有T1、T2、β1、β2，以及替換N0將產(chǎn)生的初始暴露時(shí)間T0或初始暴露期間侵蝕速率ε五個(gè)變量，雖然x=β1T1+β2T2可以提供一個(gè)限定條件減少方程組中的一個(gè)方程，理論上同一樣品仍需測試四種放射性核素得出四個(gè)方程方能求解，目前的實(shí)驗(yàn)精度可能滿足不了求解需要。因此設(shè)第二階段埋藏速率β2為0，可以繼續(xù)簡化求解條件，從而得到：

(16)

此時(shí)有T0、T2和β1三個(gè)未知數(shù)(T1可由T1=x/β1解出)，只需測量三種放射性核素。如測試樣品為石英，可考慮測量10Be、26Al和21Ne(視為半衰期為0的放射性核素)。

如果再假設(shè)第一階段埋藏足夠快(T1=0)，就變回了有原始濃度快速淺埋藏模式：

(17)

此時(shí)就只需測量兩種核素了。

以上埋藏模式對應(yīng)有原始濃度而侵蝕速率各種不同變化情況下的暴露過程。

3 誤差估計(jì)

為了簡單化，誤差估計(jì)中僅考慮濃度測試誤差引起的年齡誤差，其它參數(shù)方面的誤差將使總誤差變大。以下各式如最后埋藏年齡誤差計(jì)算中出現(xiàn)負(fù)值，則取絕對值得到正值。

3.1 無原始濃度勻速埋藏模式埋藏年齡的誤差

該埋藏模式的埋藏年齡由T=x/β計(jì)算得到，設(shè)x測量很準(zhǔn)確，那么T誤差主要由N測量誤差導(dǎo)致的β計(jì)算誤差傳遞，即dT=-x/β2dβ。誤差dβ可根據(jù)(11)式的變化形式對β求導(dǎo)得到：

dβ=N(β)′dN

3.2 有原始濃度勻速埋藏模式埋藏年齡的誤差

該埋藏模式需要測定兩種核素，設(shè)為A、B，埋藏年齡仍然由T=x/β計(jì)算得到，同樣設(shè)x測量很準(zhǔn)確，那么dT=-x/β2dβ。dβ根據(jù)(12)式的變化形式，以早期暴露期間為穩(wěn)態(tài)侵蝕方案為例，組成方程組來推導(dǎo)：

這是有兩個(gè)變量ε、β(NA、NB是ε、β的函數(shù))的方程組求導(dǎo)問題，可根據(jù)全微分公式，先求偏微分，再由偏微分得出全微分。

方程組對β求偏微分：

埋藏速率變化情況下，埋藏年齡的誤差估計(jì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式將更為復(fù)雜，但可參考以上方法估算。或者，也可以采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法估計(jì)誤差，即對多個(gè)樣品測試計(jì)算結(jié)果進(jìn)行相對其算術(shù)平均值的誤差統(tǒng)計(jì)。

4 討論

原地生成宇宙成因核素測年方法中，暴露年齡計(jì)算一般都只計(jì)算最小暴露年齡，忽略侵蝕速率的影響，在求得的最小暴露年齡在十萬年級別以上時(shí)，會產(chǎn)生較大的誤差，從而可能和別的測年方法得到的年齡數(shù)值無法進(jìn)行對比。在埋藏年齡計(jì)算時(shí)，由于侵蝕發(fā)揮作用很小(尤其是只考慮扣除侵蝕量以后的凈埋速率時(shí))，因而侵蝕的影響不會如計(jì)算暴露年齡時(shí)那樣對埋藏年齡計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生很大的誤差。不過，由于難以確定埋藏前的準(zhǔn)確濃度，以及難以明確埋藏的實(shí)際進(jìn)行過程，即使選擇了比較合理的埋藏模式，受方法學(xué)本身的限制，計(jì)算結(jié)果可能仍然誤差較大。例如，侵蝕速率和埋藏速率實(shí)際上可能一直在持續(xù)變化，但目前的研究水平，侵蝕速率和埋藏速率的實(shí)際歷史變化情況很少得到系統(tǒng)性研究(有時(shí)采用模型模擬)，在暴露和埋藏年齡計(jì)算時(shí)都只能當(dāng)成恒定值處理，最多假設(shè)有限次變化，而侵蝕速率和埋藏速率分別對最終暴露年齡或埋藏年齡計(jì)算結(jié)果往往具有實(shí)質(zhì)性影響，有可能導(dǎo)致與實(shí)際情況相距甚遠(yuǎn)。利用多樣品的埋藏年齡剖面法，有助于從數(shù)據(jù)間的對比關(guān)系判斷結(jié)果的合理性。

另外，在推導(dǎo)侵蝕和埋藏過程中核算濃度的計(jì)算等式中，默認(rèn)了樣品對應(yīng)的地表高程不變。實(shí)際上，侵蝕和埋藏都會改變樣品對應(yīng)的地表高程，但一般情況下，被研究樣品所處的地表環(huán)境，樣品所在位置的侵蝕厚度往往僅在米級或十米級，而埋藏厚度則常在二十米級，再考慮地殼均衡作用的彌補(bǔ)，侵蝕或埋藏對樣品對應(yīng)的地表高程改變量會更小，這樣小的地表高程變化對地表核素生成速率的影響非常微弱，因此對暴露或埋藏年齡計(jì)算結(jié)果影響很小，但如果侵蝕量極大或是巨厚沉積，侵蝕或埋藏過程中對應(yīng)的地表核素生成速率變化將很明顯，由此將對暴露或埋藏年齡計(jì)算結(jié)果帶來較大誤差。

埋藏年齡的計(jì)算結(jié)果，顯然與采用何種埋藏模式緊密相關(guān)。究竟應(yīng)該采用何種模式來計(jì)算應(yīng)綜合已知資料進(jìn)行分析，或者在野外調(diào)查時(shí)，對照樣品所處自然條件和周邊環(huán)境，對涉及的埋藏過程進(jìn)行初步判斷，也可從多個(gè)樣品間埋藏年齡的內(nèi)協(xié)性，確定采用的埋藏模式是否合理。

5 結(jié)論

(1)埋藏速率和侵蝕速率可作為互為相反數(shù)的同一參數(shù)，即埋藏速率視為負(fù)侵蝕速率，從而原地生成宇宙成因核素暴露和埋藏年齡的計(jì)算方式可以統(tǒng)一起來。

(2)埋藏過程除洞穴沉積等快速深埋藏模式外，應(yīng)考慮埋藏是一個(gè)持續(xù)過程，因此需要考慮埋藏速率對核素最終濃度的影響，從而推導(dǎo)不同埋藏模式的核素濃度計(jì)算方式。

(3)埋藏速率變化下核素濃度的計(jì)算等式，也適用于對應(yīng)的侵蝕速率變化下的暴露過程核素濃度的計(jì)算。