基于Twin-Bennett機構固面可展開天線的優化設計

曾 祥 周怡君 袁偉欽 羅 晨

東南大學機械工程學院，南京，211189

0 引言

隨著航天事業的實施和深入，星載反射面天線逐步向大口徑方向發展，但由于受運載工具有效發射容積的限制，天線、太陽能電池板等裝備都需要折疊成收攏狀態才能送到太空，因此星載可展開反射面天線的折疊和同步收攏方案一直是研究的熱點。按照展開形式和材質的不同可將星載可展開反射面天線分為固面可展開天線[1]和柔性可展開天線[2-3]。與柔性可展開天線相比，固面可展開天線具有型面精度高、工作頻率高、機械性能好等優點，更適用于工作頻率要求高、口徑要求小的衛星上，因此固面可展開天線的發展和應用前景廣闊。

最早的固面可展開天線是美國TRW公司研制的太陽花式固面可展開天線[4]，該機構可以實現剛性天線的折疊，展開后型面的精度為0.13 mm/10 m，收攏率為44%，其型面精度高、剛度大，但是收攏能力不強，并且展開需要人工輔助。日本東芝公司在TRW公司研制的太陽花式固面可展開天線的基礎上研制出了兩級固面可展開天線[5]，提高了太陽花式天線的收攏能力，但是結構更加復雜。DORNIER和ESA公司共同研制了FIRST(far infrared and submillimeter space telescope)拋物面天線[6]，結構中加入了桁架，系統剛度高,收攏性能也好，但是展開后整體質量較大。劍橋大學研制了一種SSDA(solid surface deployable antenna)拋物面天線[7]，提高了收攏能力，但需要保證多個電機的同步性，型面精度也不高。2011年，俄羅斯 LABOCHKIN科研生產綜合體研制的RADIOASTRON射電望遠鏡發射成功，其結構類似于FIRST結構[8]，該天線通過滑盤上下移動帶動推桿轉動從而實現盤面的展開。

國內關于固面可展開天線的分割方案和展開收攏機構設計的研究相對較少。廣晨漢等[9]基于單點多折痕折紙設計了一種概念固面可展開天線，并對參數進行了優化分析。HUANG等[10]設計了一種新型花瓣式可展開天線NPDSSA(new petal-type deployable solid surface antenna)，該天線與FIRST結構類似，通過恒力彈簧實現盤面兩個方向同時收攏，收攏率能達到32%。郭宏偉等[11]采用太陽花式分割方案分析了分割單元數等參數對拋物面天線的影響，并進行了建模驗證。李忠杰[12]將Twin-Bennett(TB)機構與太陽花式固面可展開天線結合，分析了其運動學等一系列問題，并進行了樣機試驗，但是其干涉分析方案不具有普遍性，同時單電機帶動聯軸器單自由度收攏展開方案會導致電機受力不均從而使運動不同步。

對于型面精度，目前已知固面可展開天線的型面精度在0.13～0.5 mm/10 m，而太陽花式固面可展開天線型面精度高達0.13 mm/10 m，相對于其他類型的固面可展開天線型面精度更高。對于驅動方案，目前固面可展開天線采用的是電機聯軸器、六單電機、電機滑盤和恒力彈簧等驅動方式。其中單電機帶動聯軸器方案因虛約束較多而使得天線實際運行過程中同步性較差；恒力彈簧驅動方案會在天線展開起始和結束時產生較大沖擊，平穩性較差；而電機滑盤驅動方案穩定可靠，機構簡單。

天線盤面的不同分割方案關系到收攏展開過程的干涉問題，同時會影響整體的結構設計，而驅動機構也是決定固面可展開天線展開同步性和平穩性的重要影響因素。目前使用TB機構構造固面可展開天線的研究尚未見常見的盤面分割優化方法、干涉分析和自動收攏展開方案。本文使用TB機構構造固面可展開天線，對傳統太陽花式固面可展開天線的分割方案進行改進，提出一種通用的干涉分析方法，基于該干涉方法以收攏率為目標對固面可展開天線進行優化，最后根據優化結果設計單自由度傘狀同步收攏驅動機構，并通過仿真和實物模型進行驗證。

1 整體機構設計

1.1 固面可展開天線整體構型

首先確定固面可展開天線的盤面分割方案。傳統的固面可展開天線采用圖1所示的太陽花投影分割方案，該投影分割方案主要包括基圓的外接六邊形，六條副副盤分割線和十二條主副盤分割線。其中，基圓半徑為r1、切割圓半徑為ra、拋物面直徑為D。該投影分割方案將拋物面天線分割為19個單元，按照形狀可以分為底盤、主盤、副盤。改進的盤面分割方案基于太陽花分割方案并且需要在整體機構確定的基礎上提出。

圖1 太陽花式分割方案

因為整個固面可展開天線具有對稱性，所以研究其中一個運動單元即可。一個運動單元包括四個部分，分別是盤面、盤面間的鉸鏈、主動桿和機架。盤面分別為圖1中標注的5個分割盤，盤面間鉸鏈分布如圖2所示。該運動單元共有6個轉動副，其中副副鉸為復合鉸鏈，主動桿通過主鉸3和副副鉸鉸接于機架和左右副盤，用于驅動盤面的展開，而底部機架的作用是為主盤和主動桿提供鉸接點并支撐底盤。

固面可展開天線的展開過程如圖2所示，主副盤在主動桿和鉸鏈的牽引下展開，當達到完全展開狀態時，鎖定主動桿，以保證天線展開時的剛度。

(a) 整體構型收攏狀態

由圖2可以看出，該運動單元僅包含轉動副且構成雙閉環空間過約束機構，為了滿足該構型下可展開天線的單自由度展開要求，需要選擇一種空間6R過約束機構。常見的空間6R過約束機構有Sarrus、Bricard、Goldberg等，而與該構型最匹配的便是基于Myard機構提出的TB機構。

1.2 TB機構及裝配構型

設TB機構的每個軸線節點用i(i=1～6)表示，節點處的軸線用si(i=1～6)表示,而節點i和節點j間的連桿用lij表示。圖3所示的TB機構是由兩個相同的Bennett機構對稱布置，共用桿l16和軸線s1、s6組成的空間雙閉環6R機構。該機構由6個不共線的轉動副和垂直于相鄰轉動副的連桿組成。CHEN等[13]推導了該機構具有單自由度時所滿足的幾何條件：

圖3 TB機構

其中，aij表示連桿lij的長度，αij表示連桿lij兩端軸線si的夾角，不妨取a12=a，a16=b。將圖3中多個TB機構進行組網可構成一個大型可展開空間機構。n個TB機構可通過公用鄰邊形成一種單自由度的裝配體，n越大裝配體的運動性能越好，綜合考慮質量等因素，當n=6時裝配體動力學性能最優。選取α12=π/6，由式(1)可得b=2a，α34=2π/3。此時將6個TB機構的軸線s3、s4交點排列在正六邊形機架的頂點，軸線s3、s4分別與正六邊形機架的各邊重合，同時將不同TB機構各鄰邊連桿l23、l45通過平面剛性板首尾固連，便可以得到圖4所示由6個TB機構組成的裝配體，可以證明該裝配體具有單個自由度[14]。

圖4 TB機構裝配體

根據文獻[12]，TB機構是單自由度空間6R空間雙閉環機構，則圖3中的TB機構各轉動副軸線位置與圖2中一個運動單元構型中各鉸鏈軸線相互重合時，該運動單元具有單自由度；同理，當圖4中的TB裝配體每個轉動副軸線與固面拋物面可展開天線所有鉸鏈軸線重合，并且TB裝配體中平面剛性板使用主盤替代時，整個固面可展開天線展開過程具有單自由度。

圖2運動單元的理論模型如圖5所示，TB機構的節點3和節點4固定于底盤的6個頂點，各軸線與圖2鉸鏈軸線位置重合，且均為盤面間的轉動軸線。

(a) 理論構型收攏狀態

2 干涉分析與分割方案改進

2.1 固面可展開天線收攏率

固面可展開天線展開過程有兩個特征位置，即完全收攏狀態位置和完全展開狀態位置，如圖6所示。完全展開狀態盤面如圖6b所示，此時所有主副盤面邊線重合，整體構成拋物面。不同分割方案的固面可展開天線完全展開狀態是類似的，但是完全收攏狀態卻不相同，因此分割方案直接影響收攏率。下面定義該固面可展開天線完全收攏狀態。

(a) 完全收攏特征點

如圖6所示，當固面可展開天線由完全展開狀態逐漸收攏時，副盤上的A點和A′點逐漸向內靠近，當A點和A′點重合時，即在坐標系ΣO0中A點縱坐標yA=0時天線達到了收攏極限，此時如果再向內收攏則兩副盤將干涉。圖6a定義的該狀態為固面可展開天線的完全收攏狀態。

2.2 副盤間干涉分析

以固面可展開天線展開至收攏狀態為例，分析盤面的干涉情況。固面可展開天線內側面為工作面，所以主副鉸、副副鉸均需要位于拋物面天線外側。首先分析副盤之間的干涉情況。如圖7所示，副副鉸軸位于副副分割線下分兩種情況。

時

時

當理論構型的特征參數滿足式(3)和式(4)時，副副鉸軸線便位于副副分割線下，且副副盤面相對副副鉸軸線向內收攏，即副副盤面在圍繞副副鉸軸線轉動過程中不會干涉。

2.3 主副盤間干涉分析

(a) 主副分割線干涉示意圖

2.4 分割方案改進

圖9 分割改進方案

當考慮固面可展開天線的厚度時，因為主副盤相對主副鉸鏈軸線向外收攏，因此需要在主副盤分割線間留出轉動間隙δ。確定不干涉的最小間隙原理見圖10。拋物面盤面厚度為h，分割后盤面為Ω1與Ω2，Ω2分割上頂點D點與Ω1分割下頂點E點均在以主副鉸軸線為圓心、R為半徑的圓上，且圓心角為φ。以Ω1為參考，Ω2分割上頂點D距離主副軸線軸心距離為s，Ω1分割下頂點距離主副軸線軸心垂直距離為h0，當轉動間隙取最小時，可得

圖10 分割最小間隙

當δ≥δmin時，主副盤面之間不會發生干涉。

3 固面可展開天線數學建模

3.1 理論構型數學建模

基于天線結構的設計需求，拋物面口徑D=1500 mm，盤面厚度h=5 mm，拋物面方程為

x2+y2=5000z

(6)

如圖11所示，在固面可展開天線完全展開時的理論構型上建立三級坐標系，其中ΣO0為固定于底盤中心的固定坐標系，各軸方向如圖11a所示。ΣO1、ΣO2為動坐標系，旋轉軸均為z軸,z1軸與s3軸線重合，x1軸與桿l23軸線重合，z2軸與s2軸線重合，x2軸與桿l12軸線重合。y1軸與y2軸根據右手定則確定。

(a) ΣO0與ΣO1示意圖

通過TB機構的參數關系，可以得出θ6與θ3之間的關系:

為了構造轉動關節的運動旋量，注意到

取軸上的點

由此產生的運動旋量為

由Rodrigues公式和指數積公式可得

其中式(9)～式(13)中各參數具體含義見文獻[15]。

完全展開狀態下A點的齊次坐標可表示為

完全收攏狀態下A點齊次坐標為

將式(7)～式(14)及A0代入式(15)可得

(16)

由此確定了固面可展開天線完全展開和收攏狀態與設計參數的對應關系。下面確定主副分割線和收攏狀態時決定收攏率的特征點B、C的坐標。

初始拋物面方程Ω齊次坐標表示為

Ω=(x,y,z,1)T

其中，x,y∈[750,750]。

旋轉后拋物面方程Ω1齊次坐標表示為

即

(19)

其中，f1、f2、f3為x1、y1、z1的函數。則主副分割線方程為

因為B、C兩點位于主副分割線上，故天線完全展開時主副盤上的特征點B、C齊次坐標為

天線完全收攏時,B、C兩點坐標分別為

將式(14)和B0、C0坐標代入式(21)，根據式(2)便可以確定固面可展開天線的收攏率η。

3.2 優化模型的建立與求解

式(22)中第一個式子為目標函數；第二個式子為主副盤正確分割約束條件，目的是避免出現圖12所示的情況；第三個式子為2.2節中副副盤面不發生干涉的約束條件。

圖12 主副盤分割線錯誤方案

圖13 優化迭代過程

4 同步機構及驅動設計

4.1 傘狀同步機構設計

固面可展開天線由6個相同的TB機構控制，每個TB機構均有一個主動桿l16，為了保證6個主動桿l16同步運動，即整個可展開天線實現同步展開，使用曲柄滑塊機構來驅動TB機構的主動桿l16。曲柄搖桿與TB機構連接的示意圖見圖14a，圖中曲柄滑塊機構中滑塊8為主動件，其自身的直線運動轉化為曲柄l67的旋轉運動，因為曲柄l67與TB機構固連，所以曲柄l67的運動轉化為TB機構主動桿l16的運動，從而帶動主副盤的收攏展開運動。

因為整個機構具有對稱性，所以需要6個相對拋物面軸線中心對稱的曲柄滑塊機構同時驅動拋物面天線。選取絲杠模組為驅動機構，6個滑塊固定于絲杠模組的滑盤上，構成圖14b所示的傘狀同步展開機構。根據優化結果和裝配空間需求，選取滑塊與拋物面軸線的距離e=70 mm，連桿l78長度為350 mm，曲柄l67長度為24.04 mm。

(a) 滑塊TB機構示意圖

4.2 驅動機構運動規律

可展開天線展開和收攏是一對相逆的運動，為了方便在仿真模型中測量收攏率，研究驅動運動規律和運動學特征時均選取可展開天線從完全展開到完全收攏這一過程。

由4.1節可知，固面可展開天線收攏由圖14中的6個滑塊8組成的滑盤控制，所以確定驅動規律等同于確定滑塊8的運動規律。為了使固面可展開天線展開過程中不產生沖擊，主動桿l16在收攏開始時需要緩慢加速，收攏結束時需要緩慢減速，整個過程中保持平穩轉動。設整個固面可展開天線完全收攏耗時t=20 s。根據平緩運動約束使用多項式規律擬合TB機構主動桿l16轉角θ6：

θ6(t)=a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+a1t+a0

(23)

從圖14a分離出曲柄滑塊機構，如圖15所示,由4.1節可知，該曲柄滑塊機構為負偏置曲柄滑塊機構。

圖15 曲柄滑塊機構

根據復數矢量法可以得出

對時間求導可得

因為TB機構中主動桿l16與曲柄搖桿中曲柄l67固連，所以θ6=θ7，將優化結果和式(23)代入式(24)、式(25)可以得出滑塊的運動規律，如圖16所示。當固面可展開天線從完全展開狀態運動到完全收攏狀態時，滑塊行程為47.41 mm，整個收攏過程沒有沖擊。

(a) 滑塊位移

5 建模與仿真

將SolidWorks中建立的模型導入ADAMS，為各關節加上運動副，盤面和推桿都采用碳纖維增強復合材料，表面涂覆反射涂層，仿真結果如圖17所示。將4.2節中滑塊的位移數據作為絲杠模組中螺母的驅動函數，仿真時間設為20 s，步長為0.01。經測量，固面可展開天線完全展開時直徑為1500 mm，完全收攏后直徑為557.12 mm，收攏率達到37.14%。仿真顯示整個收攏過程平穩，不存在沖擊。后處理后得到驅動力和驅動功率曲線如圖18所示，主副盤面角速度、角加速度曲線如圖19所示。

(a) 完全收攏狀態

(a) 驅動力

(a) 主盤1角速度

為了驗證實物模型的準確性并確定電機驅動功率，整個固面可展開天線收攏過程仿真考慮重力因素的影響。由圖18可知，固面可展開天線完全展開時，電機提供的驅動力至少為226.1 N；拋物面天線完全收攏時，電機提供的驅動力至少為911.8 N；整個收攏過程電機提供驅動功率至少為919.6 W。為了保證拋物面天線維持收攏展開狀態，絲杠模組要能在911.8 N的作用力下自鎖。

因圖1中主副盤1的收攏實質上是旋轉運動，且盤面分割和驅動機構具有對稱性，其他盤面與主副盤1運動特性在坐標系中的分量不同，但大小相同，所以只研究主副盤1的運動特性。

由分析知，固面可展開天線收攏過程中，主盤1圍繞ΣO0的y0軸負方向逆時針轉動，所以角速度全部集中于y0軸，在x0、z0軸上分量為0，大小如圖19a所示，同時主盤1的角加速度大小如圖19b所示。

因圖1中副盤1繞空間雙軸旋轉收攏，且雙軸軸線隨時間變化，所以副盤1的角速度和角加速度在x0、y0、z0軸上均有分量，在三個軸上的分量分別如圖19c和圖19d所示。固面可展開天線主副盤1角速度和角加速度均無突變，整個收攏過程平穩，沒有沖擊。這一結果與4.2節設計時主副盤運動要求一致。

采用1∶1的比例進行固面可展開天線盤面的3D 打印模型制作，打印材質為液態光敏樹脂，厚度為5 mm。從實用性和經濟性角度出發，僅打印安裝鉸鏈的盤面部分和各盤面連接桿，模型的展開收攏狀態示意如圖20所示，實物的展開過程和圖17對應的仿真結果基本一致，整個展開過程盤面運行平穩沒有振動。

(a) 天線完全收攏狀態

在絲杠模組移動的過程中，固面可展開天線盤面和連接件之間沒有發生干涉，且僅在絲杠模組的驅動下天線可實現自動收攏和展開，不需要任何人工輔助。經過測量，完全收攏后的天線直徑最小可以達到558.5 mm，收攏率為37.23%，在誤差允許的范圍內與仿真結果一致。

6 結論

(1)為了實現固面可展開天線的單自由度展開，基于TB機構構造可展開天線，并在太陽花式分割方案的基礎上提出一種與設計參數對應的非干涉分割方案。

(2)以收攏率為優化目標，在分割對稱性、不干涉的約束條件下得到了最優的設計參數。

(3)為了提高天線展開過程的穩定性，通過絲杠模組驅動固面可展開天線，可實現天線的同步展開收攏。

(4)根據優化的設計參數進行了機構的三維模型建立和仿真分析，根據仿真結果可以確定需要的電機驅動力和驅動功率，并且主副盤面的運動學特征也驗證了設計的正確性。