求解Z- K 方程的變分迭代法

郭 田 張 睿 喬銀春

（東北大學(xué)，遼寧 沈陽110004）

近年來，變分迭代法廣受關(guān)注，主要用于求解各種偏微分方程。目前用變分迭代法解決Z-K 方程[3]的問題的研究較少。本文具體討論了如何用變分迭代法[1]求解兩類二維Z-K 方程。

1 Z-K 方程的由來

1895 年，荷蘭著名數(shù)學(xué)家Korteweg 和他的學(xué)生de.Vries 研究潛水運(yùn)動找到了一種流體中單項波傳播的數(shù)學(xué)模型，即著名的KdV 方程[4]：

對上述方程做適當(dāng)?shù)淖宰兞亢臀粗瘮?shù)的線性變換，可得標(biāo)準(zhǔn)的KdV 方程：

KdV 方程一直被認(rèn)為是孤立波的一維模型，而KdV 方程的二維典型演化形式為Kadomtsov-Petviashivili 方程：

和Zakharov-Kuznestov 方程：

2 變分迭代原理

為了說明變分迭代法的基本概念，我們考慮以下微分方程：

其中L 是線性微分算子，N 是非線性算子，g(t)是已知的連續(xù)函數(shù)。變分迭代法的基本步驟為：

2.1 構(gòu)造方程（1）的校正泛函：

2.2 通過對（2）式等號左右兩端同時進(jìn)行限制變分求出Lagrange 乘子 λ(t)。

2.3 將上述求得的Lagrange 乘子 λ（t）代入（2）式，得其變分迭代公式

2.4 根據(jù)給定的初始條件求得其解析近似解。

下面主要從二維Z-K 方程的兩種不同分類出發(fā)討論其解析近似解。

(1)二維線性Z-K 方程

考慮二維線性Z-K 方程

初始條件u（x,y, 0） =ex+y

根據(jù)變分迭代算法，構(gòu)造時間t-方向上的校正泛函如下：

變分過程：

解得 λ=-1，代入（5）得到迭代公式如下：

取初值條件u0（x,y,t）=u（x,y, 0） =ex+y，迭代求解得到：

表1 a = b = 1, x = y =1時二維線性Z-K 方程的誤差分析

故二維線性Z-K 方程的解析近似解為u=e-（γ+β）t+x+y。

(2) 二維非線性Z-K 方程

構(gòu)造時間t-方向上的校正泛函

對上式方程左右兩邊同時進(jìn)行變分得：

令 δun+1（x,y,t）=0，得

解得 λ=-1，代入（6）式得其迭代公式

取初值條件u0（x,y,t）=xy，迭代求解得到

表2 給出在節(jié)點(diǎn)ti處的方程誤差。