基于球面并聯(lián)機(jī)器人空間定位技術(shù)的動(dòng)力學(xué)控制研究

張林，郭旭俠，師朝陽，史革盟

(1. 寶雞文理學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 寶雞 721013；2. 包神鐵路集團(tuán)機(jī)務(wù)分公司，陜西 神木 719316)

0 引言

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，傳統(tǒng)的陀螺儀定位導(dǎo)航裝置越來越難以滿足復(fù)雜環(huán)境下的定位跟蹤要求，人們開始考慮將高靈活性的并聯(lián)機(jī)器人技術(shù)應(yīng)用其中，但其復(fù)雜的機(jī)構(gòu)學(xué)特征使得機(jī)器人動(dòng)力學(xué)層面的問題變得異常復(fù)雜，學(xué)者們對(duì)此提出了多種不同的方法來分析不同構(gòu)型下機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)問題。魯開講等[1]利用Kane法得到平面3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程。李永泉等[2]結(jié)合拉格朗日方程和鍵合圖法建立了2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型。柳賀等[3]通過計(jì)算機(jī)器人力矩輸出的前饋值，使得機(jī)器人轉(zhuǎn)矩輸出實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)調(diào)整。王中雙等[4]利用向量鍵合圖法對(duì)空間并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。劉涼等[5]利用自然坐標(biāo)法和絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法構(gòu)建了3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人的正、逆動(dòng)力學(xué)模型。MAZARE M[6]利用拉格朗日法推導(dǎo)了3自由度并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型。STAICU S[7]基于虛功原理和拉格朗日乘子法建立了6-6 Stewart機(jī)構(gòu)的逆動(dòng)力學(xué)方程。ENFERADI J等[8]基于虛功原理和螺旋理論，得到了3-RRCP的動(dòng)力學(xué)方程。ZHANG B等[9]利用虛功原理，建立了3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。SHARIFZADEH M等[10]采用輸入輸出黑盒辨識(shí)技術(shù)提出了一種多項(xiàng)式回歸的逆動(dòng)力學(xué)模型。本文將球面3自由度并聯(lián)機(jī)器人用于3自由度陀螺平臺(tái)定位的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，采用拉格朗日法建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)微分方程，導(dǎo)出主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩的表達(dá)式，得到影響機(jī)器人主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩的主要因素，為機(jī)器人動(dòng)力學(xué)性能分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)打下基礎(chǔ)。

1 機(jī)器人速度分析

空間球面3自由度并聯(lián)機(jī)器人上、下角錐均為正三棱錐。如圖1所示，它們之間通過3條相同的3轉(zhuǎn)動(dòng)副運(yùn)動(dòng)鏈連接，機(jī)器人全部轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線匯交于一點(diǎn)O，上角錐可實(shí)現(xiàn)繞O的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。取參考坐標(biāo)系O-i1i2i3，基矢量i3垂直于下角錐底面B1B2B3，基矢量i1的方向由b1×i3確定。在上角錐固連動(dòng)坐標(biāo)系O-e1e2e3，基矢量e3垂直于上角錐底面V1V2V3，基矢量e1的方向由v1×e3確定。

圖1 球面3自由度并聯(lián)機(jī)器人

機(jī)器人上、下角錐之間的旋轉(zhuǎn)變換采用3個(gè)歐拉角描述，并取為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)，上角錐在參考坐標(biāo)系的角速度為

(1)

式中：i3、p、e3為歐拉變換瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)軸方向的單位矢量；ψ、φ、δ為歐拉角，即系統(tǒng)廣義坐標(biāo)。

利用影響系數(shù)法[11]建立各分支關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角速度對(duì)上角錐轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的影響關(guān)系：

(2)

(3)

(4)

2 系統(tǒng)動(dòng)能的計(jì)算

2.1 主動(dòng)連桿動(dòng)能計(jì)算

機(jī)器人主動(dòng)桿一端與下角錐以轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)相連，所以主動(dòng)桿的運(yùn)動(dòng)是繞br定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，絕對(duì)角速度矢量

(5)

主動(dòng)桿動(dòng)能

(6)

式中Ibr為主動(dòng)連桿繞瞬時(shí)角速度矢量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；α1為arc(Br，Wr)對(duì)應(yīng)的圓心角；ρ為主動(dòng)桿線密度，單位為kg/m。

2.2 從動(dòng)桿動(dòng)能計(jì)算

在連桿上建立局部坐標(biāo)系O-x′y′z′，如圖2所示。

圖2 機(jī)器人從動(dòng)桿

x′軸的方向與關(guān)節(jié)軸線wr的方向一致，y′軸取在從動(dòng)連桿所在平面，z′軸的方向垂直于連桿所在的平面。從動(dòng)連桿隨主動(dòng)桿轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)又繞wr軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其絕對(duì)角速度矢量

今天，要在“老實(shí)人”后面添兩個(gè)字造句，第一反應(yīng)往往是“老實(shí)人吃虧”；再來，“老實(shí)人倒霉”；再來，“老實(shí)人背（黑）鍋”——而“老實(shí)人光榮”恐怕是造不出來的。說起“老實(shí)”的涵義，倒也知道是“守規(guī)矩”，但這里面的“味兒”卻又不一樣了。乃至于《現(xiàn)代漢語詞典》也要再加一條解釋：婉辭，指人不聰明。

(7)

從動(dòng)桿的運(yùn)動(dòng)可看作是繞瞬時(shí)角速度矢量軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，其動(dòng)能

(8)

式中：Iar為從動(dòng)連桿繞瞬時(shí)角速度矢量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；α2為arc(Wr，Vr)對(duì)應(yīng)的圓心角；ρ為從動(dòng)桿線密度。

2.3 上角錐動(dòng)能計(jì)算

在機(jī)器人上角錐建立直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)軸方向與動(dòng)坐標(biāo)系O-e1e2e3一致。上角錐速度以歐拉角的形式給出，將其投影在動(dòng)坐標(biāo)系中：

上角錐的運(yùn)動(dòng)可看作是繞瞬時(shí)角速度軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，其動(dòng)能

(9)

式中：Is為上角錐繞瞬時(shí)角速度矢量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ρ2為下角錐的體積密度。

由上述計(jì)算可知系統(tǒng)動(dòng)能具有如下形式，它是廣義坐標(biāo)、廣義速度及時(shí)間的函數(shù)。

(10)

3 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

將式(10)代入拉格朗日第二類動(dòng)力學(xué)方程，可得機(jī)器人運(yùn)動(dòng)微分方程

(11)

由于機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)只能實(shí)現(xiàn)上角錐繞下角錐的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中系統(tǒng)只傳遞轉(zhuǎn)矩。根據(jù)虛位移原理，主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩做的元功。

(12)

由上式可求得廣義力Q：

(13)

將以上結(jié)果代入式(11)，得機(jī)器人系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

(14)

(15)

4 應(yīng)用實(shí)例

在剛體定位控制問題中，一般采用對(duì)應(yīng)于歐拉角順序的3自由度陀螺平臺(tái)進(jìn)行定位，結(jié)合球面3-RRR并聯(lián)機(jī)器人上平臺(tái)3維轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將陀螺平臺(tái)附加在球面機(jī)器人上，如圖3所示。該執(zhí)行機(jī)構(gòu)可以在空間目標(biāo)移動(dòng)的過程中，控制陀螺平臺(tái)搜索目標(biāo)信號(hào)，對(duì)陀螺的姿態(tài)進(jìn)行穩(wěn)定補(bǔ)償，使陀螺平臺(tái)實(shí)時(shí)跟蹤空間目標(biāo)。在陀螺平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)軸上安裝傳感器AH500，此傳感器是基于三軸磁力計(jì)、三軸陀螺儀以及三軸加速度計(jì)進(jìn)行設(shè)計(jì)的穩(wěn)定跟蹤傳感器。三軸磁力計(jì)可測量出空間目標(biāo)的方位角；加速度計(jì)可測量單軸的線加速度，經(jīng)過雙目測距原理，得出目標(biāo)在陀螺儀坐標(biāo)系的向徑，進(jìn)而可將運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的線加速度轉(zhuǎn)化為陀螺儀的角加速度；陀螺儀可測量出空間目標(biāo)的角速度。通過數(shù)據(jù)融合，系統(tǒng)可以實(shí)時(shí)地輸出空間目標(biāo)的進(jìn)動(dòng)角、章動(dòng)角、自轉(zhuǎn)角及其角速度、加速度等數(shù)據(jù)，輸出的進(jìn)動(dòng)角ψ、章動(dòng)角φ、自轉(zhuǎn)角δ可作為球面機(jī)器人的3個(gè)廣義坐標(biāo)。

圖3 基于球面3自由度并聯(lián)機(jī)器人的空間定位執(zhí)行機(jī)構(gòu)

選取并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)如下，上、下角錐的錐半角分別為γ=30°、β=45°；連桿BrWr和WrVr的圓心角分別為α1=90°、α2=90°。給定機(jī)構(gòu)上角錐的運(yùn)動(dòng)規(guī)律ψ=0.56sin(1.2t-59.9)，φ=-0.4cos(0.4t-20),δ=-0.36sin(0.6t-30) ，t=[0，6.5]s。

對(duì)于給定的上角錐運(yùn)動(dòng)，由式(4)求得主動(dòng)關(guān)節(jié)角速度的變化歷程，如圖4所示，角速度曲線光滑連續(xù)表明機(jī)器人具有較好的運(yùn)動(dòng)傳遞性。由式(15)可知，主動(dòng)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力由加速度項(xiàng)、速度項(xiàng)和重力項(xiàng)3部分組成。1個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)，主動(dòng)關(guān)節(jié)加速度項(xiàng)和速度項(xiàng)引起驅(qū)動(dòng)力矩的變化曲線分別如圖5、圖6所示。為了清楚加速度項(xiàng)與速度項(xiàng)對(duì)驅(qū)動(dòng)力的影響程度，圖7給出了上角錐在1個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩的總體變化曲線。對(duì)比圖5-圖7可看出影響驅(qū)動(dòng)力大小的主要因素是加速度項(xiàng)和速度項(xiàng)，而重力項(xiàng)影響很小。本文按照預(yù)訂的定位軌跡，計(jì)算出主動(dòng)關(guān)節(jié)的力矩作為控制量，是一種動(dòng)力學(xué)層面上的開環(huán)控制，如果系統(tǒng)存在不確定因素和隨機(jī)擾動(dòng)，就必須建立帶有反饋環(huán)路的閉環(huán)控制，以抑制不確定性因素和擾動(dòng)引起的定位誤差。

圖4 機(jī)器人主動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度

圖5 加速度項(xiàng)對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩的影響

圖6 速度項(xiàng)對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩的影響

圖7 機(jī)器人主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩

5 結(jié)語

1)選取機(jī)器人3個(gè)歐拉角為廣義坐標(biāo)，采用拉格朗日法從機(jī)械能的觀點(diǎn)出發(fā)導(dǎo)出了機(jī)器人轉(zhuǎn)動(dòng)構(gòu)件動(dòng)能計(jì)算式，建立了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)微分方程，避免在約束方程出現(xiàn)較為復(fù)雜的眾多約束力和約束力偶，并且所得方程易于轉(zhuǎn)化為形式簡單的狀態(tài)方程，便于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)性能分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

2)以球面3自由度并聯(lián)機(jī)器人在目標(biāo)跟蹤問題的應(yīng)用為例，設(shè)計(jì)出執(zhí)行機(jī)構(gòu)姿態(tài)角檢測方案，以目標(biāo)對(duì)象的姿態(tài)角為輸入量，得到施加于機(jī)器人主動(dòng)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩。仿真結(jié)果表明，影響驅(qū)動(dòng)力大小的主要因素是加速度項(xiàng)和速度項(xiàng)，而重力項(xiàng)影響很小。