碳纖維樹脂基單向板疲勞壽命預測模型

俞耀，崔海濤，張宏建

(南京航空航天大學 a. 江蘇省航空動力系統重點實驗室; b. 機械結構力學及控制國家重點實驗室; c. 能源與動力學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

隨著碳纖維樹脂基復合材料在航空航天領域的應用越來越廣泛，工程上對其力學性能的要求也越來越高。在復合材料的結構設計分析方面，疲勞失效是其主要的結構失效模式之一，因此疲勞性能問題成為航空發動機結構設計師關心的重點問題之一。

由于復合材料是多相體材料，在結構尺度方面，認為其擁有宏、細觀雙重特征。因此，對于復合材料的力學行為研究可以分為細觀尺度、中尺度以及宏觀尺度。隨著對復合材料細觀研究的深入，人們通過電鏡等設備對單向復合材料的橫截面觀測發現：纖維單絲實際排布并非均勻的，往往存在著富樹脂區和貧樹脂區，使得復合材料內部產生力學性能的非均勻性。因此，考慮纖維分布的隨機性以獲得與實際分布相近的幾何特征模型是尤為必要的。WONGSTO A等[1]采用隨機模型預測復合材料的橫向彈性模量。結果表明，相比于實驗值，隨機模型的預測值比均勻分布模型的預測值誤差顯著減小。范寅等[2]將纖維隨機分布的假設與三維剪滯模型結合，并利用蒙特卡羅方法對單向復合材料拉伸加載的過程進行了模擬。

目前國內外在細觀尺度下對復合材料的力學行為研究大多集中在靜力學方面，而針對復合材料疲勞力學行為研究卻鮮有報道。本文構建了纖維單絲隨機分布的幾何單胞模型，利用纖維單絲強度Weibull分布理論以及漸進損傷理論設計了一套針對細觀尺度的單向板縱向拉-拉疲勞壽命預測模型，并以相應的試驗數據為基礎進行了仿真對比，結果顯示誤差在兩倍壽命誤差帶內，驗證了該方法的合理性。

1 纖維隨機分布幾何單胞模型

基于李帥等[3]提出的纖維隨機碰撞方法輸出纖維單絲隨機分布的位置信息，此方法及其生成的ANSYS有限元模型有如下假設：1) 認為所有纖維單絲截面形狀一致，均為等直徑的圓形；2) 認為纖維單絲之間不存在接觸的情況，有一個最小的臨近距離；3) 認為纖維與基體之間為強界面；4) 認為基體性能在復合成型中沒有下降，與澆鑄體一致，模型中不考慮基體缺陷、空隙等；5) 在彈性范圍內求解。采用MATLAB語言編程以獲取纖維單絲隨機分布的位置信息，隨后導入ANSYS有限元軟件中建立幾何模型并劃分網格，具體流程如圖1所示。

圖1 纖維單絲隨機分布建模流程圖

為了獲取有效的纖維單絲以及基體的應力/應變場，需要對劃分好單元的有限元模型單胞添加合適的周期性邊界條件。參考XIA Z H等人[4]提出的一般周期性邊界條件，對單胞模型所施加的約束可參考圖2。

圖2 單胞示意圖

1) 針對面上的節點(不考慮線上節點，將6個面分為3組對應面，以面ABFE和面DCGH為例)。

(1)

2) 針對棱邊上的節點(不考慮角點，將12條棱邊分為3組對應邊，這里以平行于x軸的棱邊DA、CB、GF和HE的約束方程為例，其余2組棱邊的約束方程類似)。

(2)

(3)

(4)

3) 針對角節點(這里僅以角點A為例，給出它與角點D的約束關系，其余角點的約束關系與它們相似)。

(5)

4) 為了防止單胞模型存在剛體位移的情況，針對角點D約束其全部自由度。

式中：εx、εy、εz、εxy、εxz、εyz為各個主方向上所施加的主動主應變；vij(i，j=x，y，z)為j方向施加載荷所引起的i方向上的應變與j方向引起的應變之比的絕對值；vijεj為j方向施加載荷而引起的i方向的被動主應變；xx、yy、zz為相應坐標軸下單胞模型各方向的尺寸。

(6)

在求解完單胞結構的應力場后，可以利用體積平均法計算各個主方向上的等效應力以及等效應變。

2 纖維單絲強度離散性

許多學者對碳纖維的拉伸強度進行了研究，通過概率統計分析發現碳纖維的強度分布服從Weibull分布理論。一種常用的描述碳纖維拉伸強度的Weibull累積分布函數如下：

(7)

式中:F為拉伸應力為σ時所對應的累積概率分布函數，即纖維失效概率；σ0為尺度參數；m為形狀參數。

3 漸進損傷理論

本文基于以下假設：1) 考慮纖維體積分數影響的單向板強度/剛度，剩余剛度/強度模型以及疲勞壽命模型在纖維高體積分數情況下仍適用；2) 碳纖維樹脂基復合材料組分相包括纖維單絲、界面以及基體，纖維單絲與界面統一考慮在本文所建立單胞模型的纖維單絲區域中，即可用高體積分數情況下的上述模型來表征纖維單絲性能。

碳纖維樹脂基復合材料橫截面上纖維單絲的直徑以及界面的厚度，見圖3所示的尺寸示意圖。

圖3 單絲及界面尺寸示意圖

可利用面積比來代替上述模型中的纖維體積分數，從而得以利用。

(8)

式中:Vf為纖維體積分數；rf為纖維單絲半徑；ti為界面厚度。

一般來說，T300纖維單絲半徑為3.5μm，界面厚度為0.2μm，則Vf=0.9，因此，本文采用90%體積分數的單向板性能代替纖維單絲性能。

3.1 失效判定準則

本文針對纖維單絲僅考慮其縱向斷裂失效(認為橫向不發生破壞)，采用改進的三維Hashin疲勞失效準則作為其失效判據，針對樹脂采用von Mises 失效準則作為其失效判據。改進的三維Hashin疲勞失效準則如下：

(9)

式中:σ1j為纖維單絲區域內單元主軸方向上的應力分量；X11(n，T)為考慮溫度影響的纖維單絲在疲勞循環數n下的剩余縱向拉伸強度；S12(n，T)和S13(n，T)為剩余剪切強度；α為剪切權重因子(由于本章主要對單向板縱向疲勞壽命進行預測，此因子可取一個較小值)。

von Mises 失效準則如下式所示：

(σ11-σ22)2+(σ22-σ33)2+(σ11-σ33)2+

(10)

式中:σij(i,j=1,2,3)為樹脂區域內單元的應力分量；Xm(T)為考慮溫度影響的樹脂拉伸強度。

3.2 材料性能退化

本文應用的不同區域具體單元性能折減方案(即性能突降準則)如下。

1) 纖維單絲拉伸失效：相應溫度環境下的E1退化到原來的0.001，E2、E3、G12、G13、G23、ν12、ν13、ν23退化到原來的0.07；

2) 純樹脂基體拉伸失效：Em、νm退化到原來的0.4。

基于漸進損傷理論，對于不滿足失效準則的單元可以利用材料剩余剛度和剩余強度模型來反映出材料性能下降的過程(即性能的漸降準則)。本文認為只有纖維單絲區域發生漸降。采用宋健[5]基于MAO H[6]的模型引入溫度影響的相關系數，同時考慮了纖維體積分數的影響，提出了如下所示的碳纖維樹脂基復合材料的剩余剛度和剩余強度模型。

(11)

(12)

式中:E(n，Vf，T)和E(0，Vf，T)分別為纖維體積分數為Vf的纖維束在溫度T環境下第n個疲勞循環數下的剩余剛度及初始剛度；X(n，Vf，T)及X(0，Vf，T)分別為剩余強度以及初始強度；p為應力水平；T和T0分別為環境溫度及室溫；Nf為此應力水平下的材料疲勞壽命；其他參數為此模型中的擬合參數。

對于疲勞壽命模型，采用宋健基于JEN M H R等人[7]提出的考慮溫度影響的疲勞壽命模型進行改進的考慮溫度以及纖維體積分數影響的碳纖維樹脂基復合材料疲勞壽命模型，如下式所示：

(13)

式中:σmax為疲勞過程中的最大應力；σmax/X(0，Vf，T)為纖維體積分數為Vf的纖維束在溫度T環境下疲勞過程的應力水平；a、b、m、n及Tr為此疲勞壽命模型的擬合參數。

3.3 疲勞壽命預測程序設計

疲勞壽命預測程序設計流程如圖4所示。

圖4 程序流程圖

4 算例

本文基于已有的試驗數據進行仿真預測對比，相應的材料剛度/強度模型、剩余剛度/強度模型以及壽命模型采用宋健[5]的模型。通過隨機碰撞法輸出的纖維位置變化如圖5所示。

圖5 纖維位置變化圖

幾何模型參數：1) 纖維單絲數為33；2) 纖維半徑為3.7μm，纖維體積分數為52.4；對于T300纖維樹脂基復合材料，纖維單絲半徑約為3.5μm，界面厚度約為0.2μm。由于本章認為纖維單絲區域中包含了這兩相，因此模型中的纖維半徑為這兩者之和。同樣根據纖維單絲區域中截面的纖維面積占比以及試驗件纖維體積分數47.2%可以換算得到相對應的在本節單胞模型中纖維體積分數；3) 單胞橫截面上長度尺寸為55.1166μm，寬度尺寸為49.1417μm，厚度尺寸為0.15倍的寬度尺寸。

利用武玉芬等[8]對T300碳纖維Weibull強度概率分布擬合的結果，對于式中的尺度參數與形狀參數得到了以下數據：m=7.02，σ0=3.46GPa。采用MATLAB軟件生成33個對應于此分布的強度值按序賦于單胞中的纖維單絲。

按照圖4的流程對室溫以及160℃下的3種應力水平單向板的縱向疲勞壽命進行仿真預測，結果如圖6、圖7所示，預測值在兩倍壽命分散帶范圍內。

圖6 室溫下仿真值與試驗值對比圖

圖7 160℃下仿真值與試驗值對比圖

圖8以160℃環境下、85%應力水平的單向板縱向疲勞仿真損傷擴展為例。

由圖8可見：在疲勞穩定前，強度低的纖維已經發生破壞，造成內部缺陷，導致產生應力；疲勞穩定后，隨著循環數增加，纖維剛度/強度發生漸降，到一定的循環數，其強度不足以支持拉力發生破壞；最后纖維基體全部失效。樹脂區域的損傷是不斷擴展的，這是由于溫度對樹脂的性能影響較大。

圖8 160℃下損傷擴展圖

5 結語

本文針對碳纖維樹脂基單向板的縱向拉-拉疲勞提出了一種在細觀尺度下基于漸進損傷理論并考慮纖維強度離散性的疲勞壽命預測模型，并以T300/QY8911-IV單向板的試驗數據為基礎進行了仿真預測，結果顯示誤差均在兩倍壽命分散帶內，表明本文所提方法的合理性以及有效性。